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23.(10分)如图，已知抛物线$y = x^2 + bx + c$与$x$轴交于$A$，$B$两点，与$y$轴交于点$C$，$O$是坐标原点，点$A$的坐标是$(-1,0)$，点$C$的坐标是$(0, -3)$.在第四象限内的抛物线上有一动点$D$，过点$D$作$DE \bot x$轴，垂足为$E$，交$BC$于点$F$.设点$D$的横坐标为$m$.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)连接$AC$，$AF$，若$\angle ACB = \angle FAB$，求点$F$的坐标.
(3)在直线$DE$上作点$H$，使点$H$与点$D$关于点$F$对称，以$H$为圆心、$HD$长为半径作$\odot H$，当$\odot H$与其中一条坐标轴相切时，求$m$的值.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)连接$AC$，$AF$，若$\angle ACB = \angle FAB$，求点$F$的坐标.
(3)在直线$DE$上作点$H$，使点$H$与点$D$关于点$F$对称，以$H$为圆心、$HD$长为半径作$\odot H$，当$\odot H$与其中一条坐标轴相切时，求$m$的值.
答案
(1) 将点$A(-1,0)$，$C(0,-3)$代入$y = x^2 + bx + c$，得$\begin{cases}1 - b + c = 0 \\ c = -3\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = -2 \\ c = -3\end{cases}$，故抛物线表达式为$y = x^2 - 2x - 3$。
(2) 令$y = 0$，解方程$x^2 - 2x - 3 = 0$，得$x = -1$或$x = 3$，则$B(3,0)$。设直线$BC$解析式为$y = kx + d$，将$B(3,0)$，$C(0,-3)$代入，得$\begin{cases}3k + d = 0 \\ d = -3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 1 \\ d = -3\end{cases}$，故$BC:y = x - 3$。设$F(m, m - 3)$，$\angle ACB = \angle FAB$，由$\tan\angle ACB = 2$，$\tan\angle FAB = \frac{3 - m}{m + 1}$，得$\frac{3 - m}{m + 1} = 2$，解得$m = \frac{1}{3}$，故$F\left(\frac{1}{3}, -\frac{8}{3}\right)$。
(3) $D(m, m^2 - 2m - 3)$，$F(m, m - 3)$，$H$与$D$关于$F$对称，得$H(m, -m^2 + 4m - 3)$，半径$HD = 2|m - 3 - (m^2 - 2m - 3)| = 2m(3 - m)$。
① 与$x$轴相切：$| -m^2 + 4m - 3 | = 2m(3 - m)$，解得$m = \frac{1}{3}$（$m = 3$舍去）。
② 与$y$轴相切：$m = 2m(3 - m)$，解得$m = \frac{5}{2}$（$m = 0$舍去）。
综上，$m = \frac{1}{3}$或$m = \frac{5}{2}$。
答案：(1)$y = x^2 - 2x - 3$；(2)$\left(\frac{1}{3}, -\frac{8}{3}\right)$；(3)$\frac{1}{3}$或$\frac{5}{2}$。
(2) 令$y = 0$，解方程$x^2 - 2x - 3 = 0$，得$x = -1$或$x = 3$，则$B(3,0)$。设直线$BC$解析式为$y = kx + d$，将$B(3,0)$，$C(0,-3)$代入，得$\begin{cases}3k + d = 0 \\ d = -3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 1 \\ d = -3\end{cases}$，故$BC:y = x - 3$。设$F(m, m - 3)$，$\angle ACB = \angle FAB$，由$\tan\angle ACB = 2$，$\tan\angle FAB = \frac{3 - m}{m + 1}$，得$\frac{3 - m}{m + 1} = 2$，解得$m = \frac{1}{3}$，故$F\left(\frac{1}{3}, -\frac{8}{3}\right)$。
(3) $D(m, m^2 - 2m - 3)$，$F(m, m - 3)$，$H$与$D$关于$F$对称，得$H(m, -m^2 + 4m - 3)$，半径$HD = 2|m - 3 - (m^2 - 2m - 3)| = 2m(3 - m)$。
① 与$x$轴相切：$| -m^2 + 4m - 3 | = 2m(3 - m)$，解得$m = \frac{1}{3}$（$m = 3$舍去）。
② 与$y$轴相切：$m = 2m(3 - m)$，解得$m = \frac{5}{2}$（$m = 0$舍去）。
综上，$m = \frac{1}{3}$或$m = \frac{5}{2}$。
答案：(1)$y = x^2 - 2x - 3$；(2)$\left(\frac{1}{3}, -\frac{8}{3}\right)$；(3)$\frac{1}{3}$或$\frac{5}{2}$。
解析
(1) 将点$A(-1,0)$，$C(0,-3)$代入$y = x^2 + bx + c$，得$\begin{cases}1 - b + c = 0 \\ c = -3\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = -2 \\ c = -3\end{cases}$，故抛物线表达式为$y = x^2 - 2x - 3$。
(2) 令$y = 0$，解方程$x^2 - 2x - 3 = 0$，得$x = -1$或$x = 3$，则$B(3,0)$。设直线$BC$解析式为$y = kx + d$，将$B(3,0)$，$C(0,-3)$代入，得$\begin{cases}3k + d = 0 \\ d = -3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 1 \\ d = -3\end{cases}$，故$BC:y = x - 3$。设$F(m, m - 3)$，$\angle ACB = \angle FAB$，由$\tan\angle ACB = 2$，$\tan\angle FAB = \frac{3 - m}{m + 1}$，得$\frac{3 - m}{m + 1} = 2$，解得$m = \frac{1}{3}$，故$F\left(\frac{1}{3}, -\frac{8}{3}\right)$。
(3) $D(m, m^2 - 2m - 3)$，$F(m, m - 3)$，$H$与$D$关于$F$对称，得$H(m, -m^2 + 4m - 3)$，半径$HD = 2|m - 3 - (m^2 - 2m - 3)| = 2m(3 - m)$。
① 与$x$轴相切：$| -m^2 + 4m - 3 | = 2m(3 - m)$，解得$m = \frac{1}{3}$（$m = 3$舍去）。
② 与$y$轴相切：$m = 2m(3 - m)$，解得$m = \frac{5}{2}$（$m = 0$舍去）。
综上，$m = \frac{1}{3}$或$m = \frac{5}{2}$。
(2) 令$y = 0$，解方程$x^2 - 2x - 3 = 0$，得$x = -1$或$x = 3$，则$B(3,0)$。设直线$BC$解析式为$y = kx + d$，将$B(3,0)$，$C(0,-3)$代入，得$\begin{cases}3k + d = 0 \\ d = -3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 1 \\ d = -3\end{cases}$，故$BC:y = x - 3$。设$F(m, m - 3)$，$\angle ACB = \angle FAB$，由$\tan\angle ACB = 2$，$\tan\angle FAB = \frac{3 - m}{m + 1}$，得$\frac{3 - m}{m + 1} = 2$，解得$m = \frac{1}{3}$，故$F\left(\frac{1}{3}, -\frac{8}{3}\right)$。
(3) $D(m, m^2 - 2m - 3)$，$F(m, m - 3)$，$H$与$D$关于$F$对称，得$H(m, -m^2 + 4m - 3)$，半径$HD = 2|m - 3 - (m^2 - 2m - 3)| = 2m(3 - m)$。
① 与$x$轴相切：$| -m^2 + 4m - 3 | = 2m(3 - m)$，解得$m = \frac{1}{3}$（$m = 3$舍去）。
② 与$y$轴相切：$m = 2m(3 - m)$，解得$m = \frac{5}{2}$（$m = 0$舍去）。
综上，$m = \frac{1}{3}$或$m = \frac{5}{2}$。
