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23. （11 分）在矩形 $ ABCD $ 中，$ AB = a $，$ BC = b $，动点 $ M $ 从点 $ A $ 出发沿边 $ AD $ 向点 $ D $ 运动。
（1）如图①，当 $ b = 2a $，点 $ M $ 运动到边 $ AD $ 的中点时，请证明 $ ∠ BMC = 90^{\circ} $；
（2）如图②，当 $ b ＞ 2a $ 时，点 $ M $ 在运动的过程中，是否存在 $ ∠ BMC = 90^{\circ} $？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，当 $ b ＜ 2a $ 时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由。
（1）如图①，当 $ b = 2a $，点 $ M $ 运动到边 $ AD $ 的中点时，请证明 $ ∠ BMC = 90^{\circ} $；
（2）如图②，当 $ b ＞ 2a $ 时，点 $ M $ 在运动的过程中，是否存在 $ ∠ BMC = 90^{\circ} $？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，当 $ b ＜ 2a $ 时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由。
答案
23. (1) 略 (2) 当 $b ＞ 2a$ 时存在 $∠ BMC = 90^{\circ}$ (3) 不成立
解析
（1）证明：
∵ 矩形 $ABCD$，$AB=a$，$BC=b=2a$，$M$ 为 $AD$ 中点，
∴ $AD=BC=2a$，$AM=MD=a$，$∠ A=∠ D=90°$，$AB=CD=a$。
在 $△ ABM$ 和 $△ DCM$ 中，
$AB=AM=a$，$CD=DM=a$，
∴ $△ ABM$ 和 $△ DCM$ 均为等腰直角三角形，
∴ $∠ AMB=∠ DMC=45°$，
∴ $∠ BMC=180°-∠ AMB-∠ DMC=90°$。
（2）存在。
证明：设 $AM=x$，则 $MD=b-x$。
∵ $∠ BMC=90°$，
∴ $∠ AMB+∠ DMC=90°$。
∵ $∠ ABM+∠ AMB=90°$，
∴ $∠ ABM=∠ DMC$。
又 $∠ A=∠ D=90°$，
∴ $△ ABM ∼ △ DMC$，
∴ $\frac{AM}{DC}=\frac{AB}{DM}$，即 $\frac{x}{a}=\frac{a}{b-x}$，
整理得 $x^2 - bx + a^2 = 0$。
判别式 $\Delta = b^2 - 4a^2$，
∵ $b ＞ 2a$，
∴ $\Delta ＞ 0$，方程有两实根，
∴ 存在点 $M$ 使 $∠ BMC=90°$。
（3）不成立。
理由：由（2）得方程 $x^2 - bx + a^2 = 0$，
判别式 $\Delta = b^2 - 4a^2$，
∵ $b ＜ 2a$，
∴ $\Delta ＜ 0$，方程无实根，
∴ 不存在点 $M$ 使 $∠ BMC=90°$。
∵ 矩形 $ABCD$，$AB=a$，$BC=b=2a$，$M$ 为 $AD$ 中点，
∴ $AD=BC=2a$，$AM=MD=a$，$∠ A=∠ D=90°$，$AB=CD=a$。
在 $△ ABM$ 和 $△ DCM$ 中，
$AB=AM=a$，$CD=DM=a$，
∴ $△ ABM$ 和 $△ DCM$ 均为等腰直角三角形，
∴ $∠ AMB=∠ DMC=45°$，
∴ $∠ BMC=180°-∠ AMB-∠ DMC=90°$。
（2）存在。
证明：设 $AM=x$，则 $MD=b-x$。
∵ $∠ BMC=90°$，
∴ $∠ AMB+∠ DMC=90°$。
∵ $∠ ABM+∠ AMB=90°$，
∴ $∠ ABM=∠ DMC$。
又 $∠ A=∠ D=90°$，
∴ $△ ABM ∼ △ DMC$，
∴ $\frac{AM}{DC}=\frac{AB}{DM}$，即 $\frac{x}{a}=\frac{a}{b-x}$，
整理得 $x^2 - bx + a^2 = 0$。
判别式 $\Delta = b^2 - 4a^2$，
∵ $b ＞ 2a$，
∴ $\Delta ＞ 0$，方程有两实根，
∴ 存在点 $M$ 使 $∠ BMC=90°$。
（3）不成立。
理由：由（2）得方程 $x^2 - bx + a^2 = 0$，
判别式 $\Delta = b^2 - 4a^2$，
∵ $b ＜ 2a$，
∴ $\Delta ＜ 0$，方程无实根，
∴ 不存在点 $M$ 使 $∠ BMC=90°$。
24. （12 分）如图，一次函数 $ y = kx + b $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac{m}{x}(x ＜ 0) $ 的图象相交于点 $ A(-1,6) $，与 $ x $ 轴交于点 $ C $，且 $ ∠ ACO = 45^{\circ} $。
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）点 $ D $ 是线段 $ AC $ 上一点，且 $ ∠ AOD = 45^{\circ} $，求点 $ D $ 的坐标；
（3）在（2）的条件下，在 $ x $ 轴上找一点 $ P $，使 $ △ ODP $ 的面积与 $ △ AOD $ 的面积相等，直接写出点 $ P $ 的坐标。
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）点 $ D $ 是线段 $ AC $ 上一点，且 $ ∠ AOD = 45^{\circ} $，求点 $ D $ 的坐标；
（3）在（2）的条件下，在 $ x $ 轴上找一点 $ P $，使 $ △ ODP $ 的面积与 $ △ AOD $ 的面积相等，直接写出点 $ P $ 的坐标。
答案
24. (1) 反比例函数的解析式为 $y = -\dfrac{6}{x}(x ＜ 0)$，一次函数的解析式为 $y = -x + 5$ (2) $D(\dfrac{25}{12},\dfrac{35}{12})$ (3) $P(\dfrac{37}{7},0)$ 或 $(-\dfrac{37}{7},0)$
解析
（1）解：因为点$A(-1,6)$在反比例函数$y = \frac{m}{x}(x ＜ 0)$的图象上，所以$6=\frac{m}{-1}$，解得$m=-6$，反比例函数的解析式为$y=-\frac{6}{x}(x ＜ 0)$。
设点$C$的坐标为$(c,0)$，过点$A$作$AE⊥ x$轴于点$E$，则$E(-1,0)$，$AE=6$，$CE = c - (-1)=c + 1$。
因为$∠ ACO = 45^{\circ}$，所以$\tan∠ ACO=\frac{AE}{CE}=1$，即$\frac{6}{c + 1}=1$，解得$c = 5$，所以$C(5,0)$。
将$A(-1,6)$，$C(5,0)$代入$y = kx + b$，得$\begin{cases}-k + b = 6 \\5k + b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1 \\b = 5\end{cases}$，一次函数的解析式为$y=-x + 5$。
（2）解：设$D(t,-t + 5)$，过点$D$作$DF⊥ x$轴于点$F$，则$F(t,0)$，$DF=-t + 5$，$OF = t$。
因为$∠ AOD = 45^{\circ}$，$∠ AOE = 90^{\circ}$，所以$∠ AOD = ∠ DOE = 45^{\circ}$，$\tan∠ AOE=\frac{AE}{OE}=6$，$\tan∠ DOE=\frac{DF}{OF}=\frac{-t + 5}{t}$。
由$\tan(∠ AOE - ∠ DOE)=\tan45^{\circ}=1$，$\tan(∠ AOE - ∠ DOE)=\frac{\tan∠ AOE - \tan∠ DOE}{1 + \tan∠ AOE\tan∠ DOE}=\frac{6 - \frac{-t + 5}{t}}{1 + 6×\frac{-t + 5}{t}}=1$，解得$t=\frac{25}{12}$，所以$D(\frac{25}{12},\frac{35}{12})$。
（3）$P(\frac{37}{7},0)$或$(-\frac{37}{7},0)$
设点$C$的坐标为$(c,0)$，过点$A$作$AE⊥ x$轴于点$E$，则$E(-1,0)$，$AE=6$，$CE = c - (-1)=c + 1$。
因为$∠ ACO = 45^{\circ}$，所以$\tan∠ ACO=\frac{AE}{CE}=1$，即$\frac{6}{c + 1}=1$，解得$c = 5$，所以$C(5,0)$。
将$A(-1,6)$，$C(5,0)$代入$y = kx + b$，得$\begin{cases}-k + b = 6 \\5k + b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1 \\b = 5\end{cases}$，一次函数的解析式为$y=-x + 5$。
（2）解：设$D(t,-t + 5)$，过点$D$作$DF⊥ x$轴于点$F$，则$F(t,0)$，$DF=-t + 5$，$OF = t$。
因为$∠ AOD = 45^{\circ}$，$∠ AOE = 90^{\circ}$，所以$∠ AOD = ∠ DOE = 45^{\circ}$，$\tan∠ AOE=\frac{AE}{OE}=6$，$\tan∠ DOE=\frac{DF}{OF}=\frac{-t + 5}{t}$。
由$\tan(∠ AOE - ∠ DOE)=\tan45^{\circ}=1$，$\tan(∠ AOE - ∠ DOE)=\frac{\tan∠ AOE - \tan∠ DOE}{1 + \tan∠ AOE\tan∠ DOE}=\frac{6 - \frac{-t + 5}{t}}{1 + 6×\frac{-t + 5}{t}}=1$，解得$t=\frac{25}{12}$，所以$D(\frac{25}{12},\frac{35}{12})$。
（3）$P(\frac{37}{7},0)$或$(-\frac{37}{7},0)$
