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1. 如图，在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，直线 $ AC $ 与反比例函数在第一象限内的图象交于点 $ A $，$ C $，连接 $ OA $，$ OC $，过点 $ A $ 作 $ AB ⊥ x $ 轴于点 $ B $，交 $ OC $ 于点 $ D $，且 $ △ AOB $ 为等腰直角三角形，$ \tan ∠ COB = \frac{1}{3} $，$ S_{△ OBD} = 2 $。求双曲线的解析式。
答案
1. $ y = \dfrac { 1 6 } { x } $
解析
解：设点$B$的坐标为$(m,0)$，$m＞0$。
因为$△ AOB$为等腰直角三角形，$AB ⊥ x$轴，所以$OB=AB=m$，则点$A$的坐标为$(m,m)$。
设直线$OC$的解析式为$y=kx$，因为$\tan ∠ COB = \frac{1}{3}$，所以$k = \tan ∠ COB=\frac{1}{3}$，即$y = \frac{1}{3}x$。
点$D$在$AB$上，横坐标为$m$，代入$y = \frac{1}{3}x$得$D(m,\frac{1}{3}m)$。
$S_{△ OBD} = \frac{1}{2} × OB × BD = \frac{1}{2} × m × \frac{1}{3}m = 2$，即$\frac{1}{6}m^2=2$，解得$m^2 = 12$，$m = 2\sqrt{3}$（$m＞0$）。
点$A(m,m)$在反比例函数$y = \frac{k}{x}$上，所以$k = m × m = m^2 = 12$，故双曲线的解析式为$y = \frac{12}{x}$。
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因为$△ AOB$为等腰直角三角形，$AB ⊥ x$轴，所以$OB=AB=m$，则点$A$的坐标为$(m,m)$。
设直线$OC$的解析式为$y=kx$，因为$\tan ∠ COB = \frac{1}{3}$，所以$k = \tan ∠ COB=\frac{1}{3}$，即$y = \frac{1}{3}x$。
点$D$在$AB$上，横坐标为$m$，代入$y = \frac{1}{3}x$得$D(m,\frac{1}{3}m)$。
$S_{△ OBD} = \frac{1}{2} × OB × BD = \frac{1}{2} × m × \frac{1}{3}m = 2$，即$\frac{1}{6}m^2=2$，解得$m^2 = 12$，$m = 2\sqrt{3}$（$m＞0$）。
点$A(m,m)$在反比例函数$y = \frac{k}{x}$上，所以$k = m × m = m^2 = 12$，故双曲线的解析式为$y = \frac{12}{x}$。
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2. 如图，已知抛物线 $ y = ax^{2} + bx - 3(a ≠ 0) $ 经过点 $ A(-3,0) $，$ B(1,0) $ 两点，与 $ y $ 轴交于点 $ C $。
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 若抛物线的顶点为 $ P $，连结 $ AP $，$ AC $，求 $ ∠ PAC $ 的正切值。
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 若抛物线的顶点为 $ P $，连结 $ AP $，$ AC $，求 $ ∠ PAC $ 的正切值。
答案
2. (1) $ y = x ^ { 2 } + 2 x - 3 $ (2) $ \dfrac { 1 } { 3 } $
解析
(1) 解：将点$A(-3,0)$，$B(1,0)$代入$y = ax^{2} + bx - 3$，得
$\begin{cases}9a - 3b - 3 = 0 \\a + b - 3 = 0\end{cases}$
解得$a = 1$，$b = 2$，
$\therefore$抛物线的解析式为$y = x^{2} + 2x - 3$。
(2) 解：$\because y = x^{2} + 2x - 3=(x + 1)^{2}-4$，
$\therefore$顶点$P(-1,-4)$。
令$x = 0$，则$y=-3$，$\therefore C(0,-3)$。
$\because A(-3,0)$，$C(0,-3)$，$P(-1,-4)$，
$\therefore AC=\sqrt{(-3 - 0)^{2}+(0 + 3)^{2}}=3\sqrt{2}$，
$AP=\sqrt{(-3 + 1)^{2}+(0 + 4)^{2}}=2\sqrt{5}$，
$PC=\sqrt{(0 + 1)^{2}+(-3 + 4)^{2}}=\sqrt{2}$。
$\because AC^{2}+PC^{2}=(3\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}=20$，$AP^{2}=(2\sqrt{5})^{2}=20$，
$\therefore AC^{2}+PC^{2}=AP^{2}$，$\therefore ∠ ACP = 90^{\circ}$。
$\therefore \tan∠ PAC=\dfrac{PC}{AC}=\dfrac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}=\dfrac{1}{3}$。
$\begin{cases}9a - 3b - 3 = 0 \\a + b - 3 = 0\end{cases}$
解得$a = 1$，$b = 2$，
$\therefore$抛物线的解析式为$y = x^{2} + 2x - 3$。
(2) 解：$\because y = x^{2} + 2x - 3=(x + 1)^{2}-4$，
$\therefore$顶点$P(-1,-4)$。
令$x = 0$，则$y=-3$，$\therefore C(0,-3)$。
$\because A(-3,0)$，$C(0,-3)$，$P(-1,-4)$，
$\therefore AC=\sqrt{(-3 - 0)^{2}+(0 + 3)^{2}}=3\sqrt{2}$，
$AP=\sqrt{(-3 + 1)^{2}+(0 + 4)^{2}}=2\sqrt{5}$，
$PC=\sqrt{(0 + 1)^{2}+(-3 + 4)^{2}}=\sqrt{2}$。
$\because AC^{2}+PC^{2}=(3\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}=20$，$AP^{2}=(2\sqrt{5})^{2}=20$，
$\therefore AC^{2}+PC^{2}=AP^{2}$，$\therefore ∠ ACP = 90^{\circ}$。
$\therefore \tan∠ PAC=\dfrac{PC}{AC}=\dfrac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}=\dfrac{1}{3}$。
3. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $ y = ax^{2} + 6x + c $ 的图象经过点 $ A(4,0) $，$ B(-1,0) $，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，点 $ D $ 在线段 $ OC $ 上，$ OD = t $，点 $ E $ 在第二象限，$ ∠ ADE = 90^{\circ} $，$ \tan ∠ DAE = \frac{1}{2} $，$ EF ⊥ OD $，垂足为 $ F $。
(1) 求这个二次函数的解析式；
(2) 求线段 $ EF $，$ OF $ 的长（用含 $ t $ 的代数式表示）。
(1) 求这个二次函数的解析式；
(2) 求线段 $ EF $，$ OF $ 的长（用含 $ t $ 的代数式表示）。
答案
3. (1) $ y = - 2 x ^ { 2 } + 6 x + 8 $ (2) $ E F = \dfrac { 1 } { 2 } t $，$ O F = t - 2 $
解析
(1) 解：因为二次函数$y = ax^{2} + 6x + c$的图象经过点$A(4,0)$，$B(-1,0)$，所以将$A$、$B$两点坐标代入函数可得：
$\begin{cases}16a + 24 + c = 0 \\a - 6 + c = 0\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程可得：$15a + 30 = 0$，解得$a = -2$。
将$a = -2$代入$a - 6 + c = 0$，可得$-2 - 6 + c = 0$，解得$c = 8$。
所以二次函数的解析式为$y = -2x^{2} + 6x + 8$。
(2) 解：由(1)可知$C$点坐标为$(0,8)$，因为点$D$在线段$OC$上，$OD = t$，所以$D$点坐标为$(0,t)$。
因为$∠ ADE = 90^{\circ}$，$\tan∠ DAE=\frac{1}{2}$，设$DE = m$，则$AD = 2m$。
过$E$作$EF⊥ OD$于$F$，设$E$点坐标为$(-x,y)$（$x＞0$，$y＞0$），则$EF = x$，$DF = t - y$。
因为$∠ ADE = 90^{\circ}$，所以$△ DEF∼△ DAO$（$∠ EDF + ∠ ADO = 90^{\circ}$，$∠ DAO + ∠ ADO = 90^{\circ}$，故$∠ EDF = ∠ DAO$，且$∠ EFD = ∠ AOD = 90^{\circ}$）。
所以$\frac{EF}{OD}=\frac{DF}{OA}$，即$\frac{x}{t}=\frac{t - y}{4}$。
又因为$\tan∠ DAE=\frac{DE}{AD}=\frac{1}{2}$，且$AD=\sqrt{OA^{2} + OD^{2}}=\sqrt{16 + t^{2}}$，所以$DE=\frac{1}{2}\sqrt{16 + t^{2}}$。
同时$DE=\sqrt{EF^{2} + DF^{2}}=\sqrt{x^{2} + (t - y)^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{16 + t^{2}}$，即$x^{2} + (t - y)^{2}=\frac{1}{4}(16 + t^{2})$。
由$\frac{x}{t}=\frac{t - y}{4}$可得$t - y = \frac{4x}{t}$，代入上式可得$x^{2} + (\frac{4x}{t})^{2}=\frac{1}{4}(16 + t^{2})$，解得$x = \frac{t}{2}$（$x＞0$），即$EF=\frac{t}{2}$。
则$t - y = \frac{4×\frac{t}{2}}{t}=2$，所以$y = t - 2$，即$OF = y = t - 2$。
综上，$EF = \frac{1}{2}t$，$OF = t - 2$。
$\begin{cases}16a + 24 + c = 0 \\a - 6 + c = 0\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程可得：$15a + 30 = 0$，解得$a = -2$。
将$a = -2$代入$a - 6 + c = 0$，可得$-2 - 6 + c = 0$，解得$c = 8$。
所以二次函数的解析式为$y = -2x^{2} + 6x + 8$。
(2) 解：由(1)可知$C$点坐标为$(0,8)$，因为点$D$在线段$OC$上，$OD = t$，所以$D$点坐标为$(0,t)$。
因为$∠ ADE = 90^{\circ}$，$\tan∠ DAE=\frac{1}{2}$，设$DE = m$，则$AD = 2m$。
过$E$作$EF⊥ OD$于$F$，设$E$点坐标为$(-x,y)$（$x＞0$，$y＞0$），则$EF = x$，$DF = t - y$。
因为$∠ ADE = 90^{\circ}$，所以$△ DEF∼△ DAO$（$∠ EDF + ∠ ADO = 90^{\circ}$，$∠ DAO + ∠ ADO = 90^{\circ}$，故$∠ EDF = ∠ DAO$，且$∠ EFD = ∠ AOD = 90^{\circ}$）。
所以$\frac{EF}{OD}=\frac{DF}{OA}$，即$\frac{x}{t}=\frac{t - y}{4}$。
又因为$\tan∠ DAE=\frac{DE}{AD}=\frac{1}{2}$，且$AD=\sqrt{OA^{2} + OD^{2}}=\sqrt{16 + t^{2}}$，所以$DE=\frac{1}{2}\sqrt{16 + t^{2}}$。
同时$DE=\sqrt{EF^{2} + DF^{2}}=\sqrt{x^{2} + (t - y)^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{16 + t^{2}}$，即$x^{2} + (t - y)^{2}=\frac{1}{4}(16 + t^{2})$。
由$\frac{x}{t}=\frac{t - y}{4}$可得$t - y = \frac{4x}{t}$，代入上式可得$x^{2} + (\frac{4x}{t})^{2}=\frac{1}{4}(16 + t^{2})$，解得$x = \frac{t}{2}$（$x＞0$），即$EF=\frac{t}{2}$。
则$t - y = \frac{4×\frac{t}{2}}{t}=2$，所以$y = t - 2$，即$OF = y = t - 2$。
综上，$EF = \frac{1}{2}t$，$OF = t - 2$。
