8. 如图，网格中的小正方形的边长均为 1，点 $A$，$B$，$C$ 都在格点上，则 $\sin∠ ABC$ 的值为。

$\frac{\sqrt {5}}{5}$

9. 如图，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$DE⊥ AB$ 于点 $E$，$AB = 10$，$AC = 8$，则 $\sin∠ BDE$ 的值为。

3/5

在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=10，AC=8，由勾股定理得BC=√(AB²-AC²)=√(10²-8²)=6。
∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，则∠BDE+∠B=90°。
又∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，故∠BDE=∠A。
在Rt△ACB中，sin∠A=BC/AB=6/10=3/5，∴sin∠BDE=sin∠A=3/5。

10. 如图，$O$ 是等腰 $△ ABC$ 的底边 $BC$ 的中点，腰 $AC$ 与半圆 $O$ 相切于点 $D$，$BC$ 与半圆 $O$ 交于 $E$，$F$ 两点，连接 $OA$。若 $CD = 4$，$CF = 2$，则 $\sin∠ OAC$ 的值为。

$\frac{4}{5}$

设半圆O的半径为$r$，则$OE=OF=OD=r$。
∵O是等腰$△ABC$底边$BC$的中点，∴$OA⊥BC$，$OC=OB$。
∵$CF=2$，$F$在$BC$上，∴$OC=OF+CF=r+2$。
∵$AC$与半圆$O$相切于$D$，∴$OD⊥AC$，则$△ODC$为直角三角形。
在$Rt△ODC$中，$OD=r$，$CD=4$，$OC=r+2$，由勾股定理得：
$(r+2)^2=r^2+4^2$，解得$r=3$，∴$OC=3+2=5$。
由切割线定理：$CD^2=CE·CF$，$CE=CO+OE=5+3=8$，验证$4^2=8×2$成立。
设$AD=x$，则$AC=x+4$。在$Rt△AOD$中，$OA^2=AD^2+OD^2=x^2+9$；在$Rt△AOC$中，$OA^2=AC^2-OC^2=(x+4)^2-25$。
联立得$x^2+9=(x+4)^2-25$，解得$x=\frac{9}{4}$，∴$AC=\frac{9}{4}+4=\frac{25}{4}$。
在$Rt△AOC$中，$\sin∠OAC=\frac{OC}{AC}=\frac{5}{\frac{25}{4}}=\frac{4}{5}$。

11. 如图，在 $△ ABC$ 中，$∠ C = 90^{\circ}$。
(1) 实践操作：用尺规作图法作 $∠ A$ 的平分线 $AD$ 交 $BC$ 于点 $D$；(不写作法，保留作图痕迹)
(2) 问题解决：在(1)的条件下，若 $BD = 2CD$，求 $\sin∠ BAC$ 的值。

√3/2

(1) 作图痕迹略（以A为圆心画弧交AC、AB于两点，再分别以两点为圆心画弧交于一点，过A和交点作射线AD交BC于D）。
(2) 设CD=x，则BD=2x，BC=3x。由角平分线定理得AB/AC=BD/DC=2/1，设AC=b，则AB=2b。在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，即b²+(3x)²=(2b)²，解得b=√3 x。故sin∠BAC=BC/AB=3x/(2b)=3x/(2√3 x)=√3/2。

12. (1)【问题背景】如图 1，锐角三角形 $ABC$ 内接于半径为 $r$ 的 $\odot O$，求证：$\frac{BC}{\sin A}=2r$；
(2)【问题解决】如图 2，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ C = 90^{\circ}$，$BC = 9$，$AC = 12$，经过点 $B$ 的 $\odot O$ 交 $AB$ 于点 $D$，交 $CB$ 的延长线于点 $E$。
① 直接写出 $\sin∠ ABC$ 的值为；

② 连接 $DE$。若 $\odot O$ 的半径为 5，求 $DE$ 的长。

(2)①$\frac{4}{5}$；②8

(1)作直径$BD$，连$CD$，则$∠ BCD=90^{\circ}$，$∠ A=∠ D$。在$Rt△ BCD$中，$\sin D=\frac{BC}{BD}=\frac{BC}{2r}$，故$\sin A=\frac{BC}{2r}$，即$\frac{BC}{\sin A}=2r$。
(2)①在$Rt△ ABC$中，$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{12^{2}+9^{2}}=15$，$\sin∠ ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$。
②由(1)知$\frac{DE}{\sin∠ DBE}=2r=10$。$∠ DBE=180^{\circ}-∠ ABC$，$\sin∠ DBE=\sin∠ ABC=\frac{4}{5}$，故$DE=10×\frac{4}{5}=8$。