7. 反比例函数 $ y = \frac{k - 1}{x} $ 的图象在第一、三象限，则点 $ (k,-3) $ 在第象限.

四

因为反比例函数 $y = \frac{k - 1}{x}$ 的图象在第一、三象限，根据反比例函数的性质，当 $y = \frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的图象在第一、三象限时，$k＞0$，所以在 $y = \frac{k - 1}{x}$ 中，$k - 1＞0$，即 $k＞1$。
对于点$(k,-3)$，因为 $k＞1$，所以点$(k,-3)$的横坐标为正，纵坐标为负，那么该点在第四象限。

8. (2025 内蒙古中考)已知点 $ A(m,y_1) $，$ B(m + 1,y_2) $ 都在反比例函数 $ y = -\frac{3}{x} $ 的图象上，则下列结论一定正确的是()
A.$ y_1 ＞ y_2 $
B.$ y_1 ＜ y_2 $
C.当 $ m ＜ 0 $ 时，$ y_1 ＜ y_2 $
D.当 $ m ＜ -1 $ 时，$ y_1 ＜ y_2 $

D

已知点 $A(m, y_1)$ 和 $B(m+1, y_2)$ 在反比例函数 $y = -\frac{3}{x}$ 上，故：
$y_1 = -\frac{3}{m}$，
$y_2 = -\frac{3}{m+1}$。
比较 $y_1$ 和 $y_2$ 的大小：
$y_1 - y_2 = -\frac{3}{m} + \frac{3}{m+1} = \frac{3(m - (m+1))}{m(m+1)} = \frac{-3}{m(m+1)}$。
当 $m ＜ -1$ 时，$m$ 和 $m+1$ 均为负，故 $m(m+1) ＞ 0$，因此 $y_1 - y_2 = \frac{-3}{m(m+1)} ＜ 0$，即 $y_1 ＜ y_2$。

9. (2025 莆田)函数 $ y = ax^2 - a $ 与 $ y = \frac{a}{x}(a ≠ 0) $ 在同一直角坐标系中的图象可能是()

 

D

当$ a ＞ 0 $时，二次函数$ y = ax^2 - a $开口向上，顶点$(0, -a)$在$ y $轴负半轴，反比例函数$ y = $在一、三象限；当$ a ＜ 0 $时，二次函数开口向下，顶点$(0, -a)$在$ y $轴正半轴，反比例函数在二、四象限。选项D中，抛物线开口向下（$ a ＜ 0 $），顶点在$ y $轴正半轴，反比例函数在第二、四象限，符合$ a ＜ 0 $的情况。

10. 已知反比例函数 $ y = (k + 2)x^{|k| - 4} $.
(1)若该函数的图象位于第二、四象限，求 $ k $ 的值；
(2)若该函数的图象在每一象限内，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小，求 $ k $ 的值.

(1) $k = -3$
(2) $k = 3$

(1) 由于函数图象位于第二，四象限，所以该函数为反比例函数且系数小于0，即$\{\begin{matrix|k|-4=-1,\\k + 2＜0.\end{matrix} $
解得：$|k| = 3$ ，且$k + 2 ＜ 0$得到$k=-3$。
(2) 由于函数的图象在每一象限内，$y$随$x$的增大而减小，该函数为反比例函数且系数大于0，即：
$\{\begin{matrix|k|-4=-1,\\k + 2＞0.\end{matrix} $
解得：$|k| = 3$，且$k + 2 ＞ 0$得到$k = 3$。

11. (2025 武昌区)已知反比例函数 $ y = (m - 1)x^{m^2 - m - 7} $.
(1)填空：$ m $ 的值为；
(2)若该函数的图象如图所示，当 $ x = -1 $ 时，求 $ y $ 的值；

(3)在(2)的条件下，结合图象，直接写出：
① 当 $ x ＜ -1 $ 时，$ y $ 的取值范围是；
② 当 $ y ＜ -3 $ 时，$ x $ 的取值范围是.

(1) -2
(2) 3
(3) ① 0 ＜ y ＜ 3
② 0 ＜ x ＜ 1

(1) 由反比例函数定义知，指数为-1且系数不为0，即$m^2 - m - 7 = -1$且$m - 1 ≠ 0$。解方程$m^2 - m - 6 = 0$得$m = 3$或$m = -2$。结合图象（双曲线在第二、四象限），系数$m - 1 ＜ 0$，故$m = -2$。
(2) 函数为$y = -3/x$，当$x = -1$时，$y = -3/(-1) = 3$。
(3) ① $x ＜ -1$时，$y$随$x$增大而增大，$x = -1$时$y = 3$，$x$趋近负无穷时$y$趋近0，故$0 ＜ y ＜ 3$；② $y ＜ -3$时，$x ＞ 0$，解$-3/x ＜ -3$得$0 ＜ x ＜ 1$。