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如图,小明同学用自制的直角三角形纸板 $DEF$ 测量树的高度 $AB$,他调整自己的位置,设法使斜边 $DF$ 保持水平,并且边 $DE$ 与点 $B$ 在同一直线上.已知纸板的两条直角边 $DE = 40\,\mathrm{cm}$,$EF = 20\,\mathrm{cm}$,测得边 $DF$ 离地面的高度 $AC = 1.5\,\mathrm{m}$,$CD = 8\,\mathrm{m}$,则树高 $AB$ 为
【点睛】注意对应边不要搞错,不要忘了加 $AC$.
5.5
$\mathrm{m}$.【点睛】注意对应边不要搞错,不要忘了加 $AC$.
答案
5.5
解析
∵∠DEF=∠DCB=90°，∠D=∠D，
∴△DEF∽△DCB，
∴$\frac{DE}{DC}=\frac{EF}{CB}$，
DE=40cm=0.4m，EF=20cm=0.2m，CD=8m，
$\frac{0.4}{8}=\frac{0.2}{CB}$，解得CB=4m，
AB=AC+CB=1.5+4=5.5m.
1. (2025 广西模拟)如图所示,某校数学兴趣小组利用标杆 $BE$ 测量建筑物的高度,已知标杆 $BE$ 高 $1.5\,\mathrm{m}$,测得 $AB = 1\,\mathrm{m}$,$BC = 9\,\mathrm{m}$,则建筑物 $CD$ 的高是
15
$\mathrm{m}$.答案
15
解析
因为 $BE ⊥ AC$，$CD ⊥ AC$，所以 $∠ ABE = ∠ ACD = 90°$。又因为 $∠ A = ∠ A$，所以 $△ ABE ∼ △ ACD$。则 $\frac{BE}{CD} = \frac{AB}{AC}$。已知 $AB = 1\,\mathrm{m}$，$BC = 9\,\mathrm{m}$，所以 $AC = AB + BC = 1 + 9 = 10\,\mathrm{m}$。$BE = 1.5\,\mathrm{m}$，代入得 $\frac{1.5}{CD} = \frac{1}{10}$，解得 $CD = 15\,\mathrm{m}$。
2. 如图,某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 $DEF$ 来测量操场旗杆 $AB$ 的高度,他们通过调整测量位置,使斜边 $DF$ 与地面保持平行,并使边 $DE$ 与旗杆顶端 $A$ 在同一直线上.已知 $DE = 0.5\,\mathrm{m}$,$EF = 0.25\,\mathrm{m}$,目测点 $D$ 到地面的距离 $DG = 1.5\,\mathrm{m}$,到旗杆的水平距离 $DC = 20\,\mathrm{m}$,则旗杆的高度为
11.5
$\mathrm{m}$.答案
11.5
解析
∵DF//地面，DC为水平距离，∴∠EDF=∠ADC（同位角相等）。
∵△DEF是直角三角形，∠DEF=90°，DC⊥AB（AB为旗杆，竖直；DC水平），∴∠DCA=90°。
∴△DEF∽△DCA（两角对应相等，两三角形相似）。
由相似三角形性质得：$\frac{EF}{AC}=\frac{DE}{DC}$。
已知DE=0.5m，EF=0.25m，DC=20m，代入得：$\frac{0.25}{AC}=\frac{0.5}{20}$，解得AC=10m。
∵DG=1.5m（D到地面距离），DC水平，∴C到地面距离=DG=1.5m，即BC=1.5m。
∴旗杆高度AB=AC+BC=10+1.5=11.5m。
∵△DEF是直角三角形，∠DEF=90°，DC⊥AB（AB为旗杆，竖直；DC水平），∴∠DCA=90°。
∴△DEF∽△DCA（两角对应相等，两三角形相似）。
由相似三角形性质得：$\frac{EF}{AC}=\frac{DE}{DC}$。
已知DE=0.5m，EF=0.25m，DC=20m，代入得：$\frac{0.25}{AC}=\frac{0.5}{20}$，解得AC=10m。
∵DG=1.5m（D到地面距离），DC水平，∴C到地面距离=DG=1.5m，即BC=1.5m。
∴旗杆高度AB=AC+BC=10+1.5=11.5m。
3. 如图,为了测量一棵树 $AB$ 的高度,测量者在 $D$ 点立一根高 $2\,\mathrm{m}$ 的标杆 $CD$,现测量者从 $E$ 处可以看到杆顶 $C$ 与树顶 $A$ 在同一直线上.如果测得 $BD = 20\,\mathrm{m}$,$FD = 4\,\mathrm{m}$,$EF = 1.8\,\mathrm{m}$,则树 $AB$ 的高度为
3
$\mathrm{m}$.答案
3
解析
过E作水平线交CD于M，交AB于N。
∵EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB，∴EF//CD//AB，
则EM=FD=4m，EN=FD+DB=4+20=24m，
CM=CD-EF=2-1.8=0.2m。
∵△ECM∽△EAN，∴$\frac{CM}{AN}=\frac{EM}{EN}$，
即$\frac{0.2}{AN}=\frac{4}{24}$，解得AN=1.2m。
∴AB=AN+EF=1.2+1.8=3m。
∵EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB，∴EF//CD//AB，
则EM=FD=4m，EN=FD+DB=4+20=24m，
CM=CD-EF=2-1.8=0.2m。
∵△ECM∽△EAN，∴$\frac{CM}{AN}=\frac{EM}{EN}$，
即$\frac{0.2}{AN}=\frac{4}{24}$，解得AN=1.2m。
∴AB=AN+EF=1.2+1.8=3m。
4. (2025 福州模拟)在数学综合与实践活动课上,小南提出利用现有的小尺来测量学校旗杆的高度.如图,小南把手臂水平向前伸直,手持小尺保持竖直,瞄准小尺的两端 $E,F$,不断调整站立的位置,使站在点 $D$ 处正好看到旗杆的底部 $A$ 和顶部 $B$,如果小南的手臂长 $l = 50\,\mathrm{cm}$,小尺的长 $a = 15\,\mathrm{cm}$,点 $D$ 到旗杆底部的距离 $AD = 40\,\mathrm{m}$,则旗杆的高度为
12
$\mathrm{m}$.答案
12
解析
过点C作CH⊥AB于H，交EF于G。
∵EF⊥CD，AB⊥AD，CD⊥AD，
∴四边形CDAG是矩形，CH=AD=40m，CG=CD=50cm=0.5m。
∵EF//AB，
∴△CEF∽△CBA。
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{CG}{CH}$，即$\frac{0.15}{AB}=\frac{0.5}{40}$。
解得AB=12m。
∵EF⊥CD，AB⊥AD，CD⊥AD，
∴四边形CDAG是矩形，CH=AD=40m，CG=CD=50cm=0.5m。
∵EF//AB，
∴△CEF∽△CBA。
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{CG}{CH}$，即$\frac{0.15}{AB}=\frac{0.5}{40}$。
解得AB=12m。
5. (2024 湖北中考改编)如图,已知小明身高 $1.6$ 米,他测得 $C$ 地与树 $AB$ 相距 $10$ 米,在 $C$ 处放一面镜子,后退 $2$ 米到达点 $E$,眼睛 $D$ 在镜子 $C$ 中恰好看树 $AB$ 的顶端 $A$.求树 $AB$ 的高度.(结果保留整数)
答案
8
解析
由题意知，∠DCE=∠ACB（反射角等于入射角），∠DEC=∠ABC=90°，故△DCE∽△ACB。则有$\frac{DE}{AB}=\frac{EC}{BC}$。已知DE=1.6米，EC=2米，BC=10米，代入得$\frac{1.6}{AB}=\frac{2}{10}$，解得AB=8米。
