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9. (2025长春中考改编)将直角三角形纸片$ABC(∠ C = 90^{\circ})$按如图方式折叠两次再展开，则$\frac{PQ}{BC}$的值是
1/4
。答案
1/4
解析
设BC=a，第一次折叠后，折痕与AC、AB交于点M、N，使点A落在BC上的点D处，由折叠性质得△AMN≌△DMN，故∠MDN=∠A，又∠C=90°，则∠MDB=∠B，∴MD=MB，设AM=MD=MB=x，AB=2x。由△CMD∽△CBA（AA），得CD/CB=CM/CA=MD/AB=1/2，即CD=BC/2=a/2。第二次折叠，将点C沿PQ折叠到MD上的点P处，折痕PQ交BC于Q，交MD于P，同理△CQP∽△CMD（AA），相似比为1/2，∴PQ=MD/2=BC/4。故PQ/BC=1/4。
10. 如图，$AB// CD// EF$，$AF$与$BE$相交于点$G$，且$DG = 2$，$DF = 8$，$\frac{BC}{BE}=\frac{3}{8}$，则$AG$的长为
$\frac{14}{5}$
。答案
$\frac{14}{5}$
解析
∵AB//CD//EF，∴由平行线分线段成比例定理得：$\frac{AD}{DF}=\frac{BC}{CE}$。
∵$\frac{BC}{BE}=\frac{3}{8}$，设$BE=8k$，则$BC=3k$，$CE=BE-BC=5k$，∴$\frac{BC}{CE}=\frac{3}{5}$。
∵$DF=8$，∴$\frac{AD}{8}=\frac{3}{5}$，解得$AD=\frac{24}{5}$。
∵$AD=AG+DG$，$DG=2$，∴$AG=AD-DG=\frac{24}{5}-2=\frac{14}{5}$。
∵$\frac{BC}{BE}=\frac{3}{8}$，设$BE=8k$，则$BC=3k$，$CE=BE-BC=5k$，∴$\frac{BC}{CE}=\frac{3}{5}$。
∵$DF=8$，∴$\frac{AD}{8}=\frac{3}{5}$，解得$AD=\frac{24}{5}$。
∵$AD=AG+DG$，$DG=2$，∴$AG=AD-DG=\frac{24}{5}-2=\frac{14}{5}$。
11. 在$□ ABCD$中，按以下步骤作图：①以点$B$为圆心，以适当长为半径作弧，分别交$BA$，$BC$于点$M$，$N$；②分别以点$M$，$N$为圆心，以大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧，两弧在$∠ ABC$内交于点$O$；③作射线$BO$，交$AD$于点$E$，交$CD$延长线于点$F$。若$CD = 3$，$DE = 2$，则$\frac{BE}{EF}=$
3/2
。答案
3/2
解析
在□ABCD中，AB=CD=3，AD=BC，AB//CD，AD//BC。由作图知BO平分∠ABC，故∠ABE=∠CBE。
∵AD//BC，∴∠AEB=∠CBE（内错角相等），∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB=3。
∵DE=2，∴AD=AE+DE=5，即BC=5。
∵AB//CD，∴∠ABE=∠F，∠BAE=∠FDE（同位角相等），∴△ABE∽△DFE（AA）。
相似比为AE/DE=3/2，故BE/EF=AE/DE=3/2。
∵AD//BC，∴∠AEB=∠CBE（内错角相等），∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB=3。
∵DE=2，∴AD=AE+DE=5，即BC=5。
∵AB//CD，∴∠ABE=∠F，∠BAE=∠FDE（同位角相等），∴△ABE∽△DFE（AA）。
相似比为AE/DE=3/2，故BE/EF=AE/DE=3/2。
12. (2025湖北模拟)如图，$E$是$□ ABCD$的边$AD$上一点，连接$BE$，$AC$相交于点$F$，过点$F$作$AD$的平行线，交$AB$于点$G$。若$BF = 2FE$，$FG = 2$，求$BC$的长。
答案
6
解析
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AD=BC。
∵FG//AD，AD//BC，∴FG//BC，FG//AE。
在△ABE中，FG//AE，∴△BGF∽△BAE（AA）。
∵BF=2FE，∴BF:BE=2:3，∴FG:AE=BF:BE=2:3。
∵FG=2，∴2:AE=2:3，解得AE=3。
∵AD//BC，∴∠AEF=∠CBF，∠EAF=∠BCF，∴△AFE∽△CFB（AA）。
∵FE:BF=1:2，∴AE:BC=1:2，∴BC=2AE=2×3=6。
13. 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，$AD$平分$∠ BAC$，点$E$在$AD$上，射线$BE$交$AC$于点$F$。若$\frac{AE}{ED}=\frac{1}{2}$，$AB = 10$，求$AF$的长。
答案
2
解析
过点D作DG//BF交AC于点G。
∵DG//BF，∴$\frac{AF}{FG}=\frac{AE}{ED}=\frac{1}{2}$（平行线分线段成比例定理），设$AF=x$，则$FG=2x$。
∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴D为BC中点（等腰三角形三线合一）。
∵DG//BF，D为BC中点，∴G为FC中点（中位线性质），即$FG=GC=2x$。
∵AC=AF+FG+GC，AC=AB=10，∴$x+2x+2x=10$，解得$x=2$，即AF=2。
∵DG//BF，∴$\frac{AF}{FG}=\frac{AE}{ED}=\frac{1}{2}$（平行线分线段成比例定理），设$AF=x$，则$FG=2x$。
∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴D为BC中点（等腰三角形三线合一）。
∵DG//BF，D为BC中点，∴G为FC中点（中位线性质），即$FG=GC=2x$。
∵AC=AF+FG+GC，AC=AB=10，∴$x+2x+2x=10$，解得$x=2$，即AF=2。
