5.从地面竖直向上抛出一个小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的函数关系如图所示.下列结论:①小球在空中经过的路程是40 m;②小球抛出3 s后,速度越来越大;③小球抛出3 s时速度为0;④小球的高度$h=30$ m时,$t=1.5$ s.其中正确的是 ( )
A. ①④
B. ①②
C. ②③④
D. ②③

D

6. 一座拱桥的轮廓是抛物线形(如图所示),桥高为8米,拱高6米,跨度20米.相邻两支柱间的距离均为5米,则支柱MN的高度为______米.

$3.5$

7.一条隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长为8 m,宽为2 m,隧道的最高点P位于AB 的中央且距地面6 m,建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)一辆货车高4 m,宽2 m,能否从该隧道内顺利通过,为什么?
(3)如果隧道内设双行道,那么这辆货车是否可以顺利通过,为什么?

解：​$(1)$​由题意可知抛物线经过点​$A(0，2)，$​​$P(4，6)，$​​$B(8，2)，$​设抛物线的函数表达式为​$y = ax^2+bx + c，$​将点​$A，$​​$P，$​​$B$​的坐标代入，得​$\begin {cases}c = 2，\\16a + 4b + c = 6，\\64a + 8b + c = 2，\end {cases}$​解得​$\begin {cases}a = -\frac {1}{4}，\\b = 2，\\c = 2，\end {cases}$​​$ $​故该抛物线的函数表达式为​$y = -\frac {1}{4}x^2+2x + 2.$​​$ (2)$​能​$.$​理由：令​$y = 4，$​则有​$-\frac {1}{4}x^2+2x + 2 = 4，$​​$ $​解得​$x_{1} = 4 + 2\sqrt {2}，$​​$x_{2} = 4 - 2\sqrt {2}.$​ ∵​$|x_{2} - x_{1}| = 4\sqrt {2}＞2，$​ ∴该货车能从该隧道内顺利通过.​$ (3)$​能​$.$​理由： ∵由​$(2)$​可知​$\frac {1}{2}|x_{2} - x_{1}| = 2\sqrt {2}＞2，$​ ∴这辆货车可以顺利通过.

8.如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从点O正上方2 m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足函数表达式$y=a(x-7)^2+h$,已知球网与点O的水平距离为9 m,高度为2.24 m.球场的边界与点O的水平距离为18 m.
(1)当$h=2.7$时,求y与x的函数表达式;(不要求写出自变量x的取值范围)
(2)当$h=2.7$时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由;
(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围.

解：​$(1)$​当​$h = 2.7$​时，​$y = a(x - 7)^2+2.7，$​ ∵此抛物线过点​$(0，2)，$​ ∴​$2 = a(0 - 7)^2+2.7，$​解得​$a = -\frac {1}{70}，$​ ∴​$y = -\frac {1}{70}(x - 7)^2+2.7.$​​$ (2)$​当​$h = 2.7$​时，球能越过球网，会出界. 理由：将​$x = 9$​代入​$y = -\frac {1}{70}(x - 7)^2+2.7，$​得​$y = -\frac {1}{70}(9 - 7)^2+2.7≈2.643，$​ ∵​$2.643＞2.24，$​ ∴球能越过球网.​$ $​将​$y = 0$​代入​$y = -\frac {1}{70}(x - 7)^2+2.7，$​得​$x≈- 6.75($​舍去​$)$​或​$x≈20.75.$​ ∵​$20.75＞18，$​ ∴球会出界.​$ (3)$​由题意，得​$\begin {cases}a(18 - 7)^2+h＜0，\\a (9 - 7)^2+h＞2.24，\\2 = a(0 - 7)^2+h，\end {cases}$​​$ $​解得​$h＞3.36.$​ 即球一定能越过球网，又不出边界，​$h $​的取值范围是​$h＞3.36.$​