7. 方程$x^2 - \sqrt{49} = 0$的根是()

A.$x_1 = -7$，$x_2 = 7$
B.$x_1 = x_2 = 7$
C.$x_1 = x_2 = \sqrt{7}$
D.$x_1 = \sqrt{7}$，$x_2 = -\sqrt{7}$

7. D

解：方程$x^2 - \sqrt{49} = 0$可化简为$x^2 - 7 = 0$，即$x^2 = 7$，解得$x_1 = \sqrt{7}$，$x_2 = -\sqrt{7}$。
D

8. 已知关于$x$的一元二次方程$(2x + 5)^2 + 3n - 4 = 0$有实数根，则$n$的取值范围是.

8. $ n \leq \frac{4}{3} $

解：方程整理为$(2x + 5)^2 = 4 - 3n$，
因为方程有实数根，所以$(2x + 5)^2 \geq 0$，
即$4 - 3n \geq 0$，
解得$n \leq \frac{4}{3}$。

9. 如果关于$x$的一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$的两个根分别是$x_1 = m + 1$，$x_2 = 2m - 4$，那么$\frac{b}{a}$的值为.

9. 4 解析：由题意，可得 $ m+1+2m-4=0 $，解得 $ m=1 $，则 $ x_{1}=2, x_{2}=-2 $，
∴ $ x^{2}=4 $。将 $ x^{2}=4 $ 代入 $ ax^{2}=b $，得 $ \frac{b}{a}=4 $。

10. 用直接开平方法解下列方程：
（1）$(x + \frac{1}{9})^2 = 0$；
（2）$\frac{1}{2}(x - 5)^2 - 16 = 0$；
（3）$(y + 0.3)(y - 0.3) - 0.16 = 0$；
（4）$4(2m - 3)^2 = 9(m - 1)^2$.

10. (1) $ x_{1}=x_{2}=-\frac{1}{9} $ (2) $ x_{1}=-4 \sqrt{2}+5, x_{2}=4 \sqrt{2}+5 $ (3) $ y_{1}=0.5, y_{2}=-0.5 $ (4) $ m_{1}=3, m_{2}=\frac{9}{7} $

（1）$(x + \frac{1}{9})^2 = 0$
$x + \frac{1}{9} = 0$
$x_{1}=x_{2}=-\frac{1}{9}$
（2）$\frac{1}{2}(x - 5)^2 - 16 = 0$
$\frac{1}{2}(x - 5)^2 = 16$
$(x - 5)^2 = 32$
$x - 5 = \pm 4\sqrt{2}$
$x_{1}=-4\sqrt{2}+5$，$x_{2}=4\sqrt{2}+5$
（3）$(y + 0.3)(y - 0.3) - 0.16 = 0$
$y^2 - 0.09 - 0.16 = 0$
$y^2 = 0.25$
$y = \pm 0.5$
$y_{1}=0.5$，$y_{2}=-0.5$
（4）$4(2m - 3)^2 = 9(m - 1)^2$
$2(2m - 3) = \pm 3(m - 1)$
当$2(2m - 3) = 3(m - 1)$时，$4m - 6 = 3m - 3$，$m = 3$
当$2(2m - 3) = -3(m - 1)$时，$4m - 6 = -3m + 3$，$7m = 9$，$m = \frac{9}{7}$
$m_{1}=3$，$m_{2}=\frac{9}{7}$

11. 若$(a^2 + b^2 - 1)^2 = 17$，求$a^2 + b^2$的值.

11. 令 $ y=a^{2}+b^{2} $，则原方程可化简为 $ (y-1)^{2}=17 $，解得 $ y_{1}=-\sqrt{17}+1, y_{2}=\sqrt{17}+1 $。
∵ $ y=a^{2}+b^{2} \geq 0 $，
∴ $ y=\sqrt{17}+1 $，即 $ a^{2}+b^{2}=\sqrt{17}+1 $

12. （新考法·新定义题）定义$[x]$为不超过实数$x$的最大整数，如$[1.8] = 1$，$[-1.4] = -2$，$[-3] = -3$. 函数$y = [x]$在$-2\leqslant x ＜ 2$范围内的图像如图所示，试求当$-2\leqslant x ＜ 2$时，$[x] = \frac{1}{2}x^2$的$x$的值.

12. 当 $ 1 \leq x ＜ 2 $ 时，$ \frac{1}{2} x^{2}=1 $，即 $ x^{2}=2 $，解得 $ x_{1}=\sqrt{2}, x_{2}=-\sqrt{2} $ (不合题意，舍去)；当 $ 0 \leq x ＜ 1 $ 时，$ \frac{1}{2} x^{2}=0 $，即 $ x^{2}=0 $，解得 $ x_{3}=x_{4}=0 $；当 $ -1 \leq x ＜ 0 $ 时，$ \frac{1}{2} x^{2}=-1 $，方程没有实数根；当 $ -2 \leq x ＜ -1 $ 时，$ \frac{1}{2} x^{2}=-2 $，方程没有实数根。综上所述，当 $ -2 \leq x ＜ 2 $ 时，满足 $ [x]=\frac{1}{2} x^{2} $ 的 $ x $ 的值为 $ \sqrt{2} $ 或 0

解：当$-2 \leq x ＜ -1$时，$[x] = -2$，则$\frac{1}{2}x^2 = -2$，方程无实数根；
当$-1 \leq x ＜ 0$时，$[x] = -1$，则$\frac{1}{2}x^2 = -1$，方程无实数根；
当$0 \leq x ＜ 1$时，$[x] = 0$，则$\frac{1}{2}x^2 = 0$，解得$x = 0$；
当$1 \leq x ＜ 2$时，$[x] = 1$，则$\frac{1}{2}x^2 = 1$，即$x^2 = 2$，解得$x = \sqrt{2}$（$x = -\sqrt{2}$舍去）。
综上所述，$x$的值为$0$或$\sqrt{2}$。