2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司八年级数学华师大版第5页答案
18. 观察下列各式:
$\frac {1}{2}= \frac {1}{1×2}= \frac {1}{1}-\frac {1}{2},\frac {1}{6}= \frac {1}{2×3}= \frac {1}{2}-\frac {1}{3},\frac {1}{12}= \frac {1}{3×4}= \frac {1}{3}-\frac {1}{4},\frac {1}{20}= \frac {1}{4×5}= \frac {1}{4}-\frac {1}{5}$,

(1)由此可推测$\frac {1}{42}= $____,$\frac {1}{72}= $____;
(2)若分母的两个因数分别用$n和n+1$表示,那么你可以归纳出的一般结论是:____;
(3)根据上述结论,计算下式:
$\frac {1}{n^{2}-n}+\frac {1}{n^{2}+n}+\frac {1}{n^{2}+3n+2}$

答案

(1) $ \frac{1}{6 × 7} = \frac{1}{6} - \frac{1}{7} $ $ \frac{1}{8 × 9} = \frac{1}{8} - \frac{1}{9} $
(2) $ \frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} $
(3) $ \frac{3}{n^2 + n - 2} $
19. 阅读材料,完成下列任务:
部分分式分解
我们知道,将一个多项式转化成若干整式的积的形式,叫做分解因式. 分解因式的结果中,每一个因式的次数都低于原来多项式的次数. 而有一些特殊的分式可以分解成若干个分式的和的形式,我们称之为部分分式分解.
例如:将$\frac {6}{x^{2}-9}$部分分式分解.
因为$x^{2}-9= (x+3)(x-3)$,
所以设$\frac {6}{x^{2}-9}= \frac {A}{x+3}+\frac {B}{x-3}$.
去分母,得$6= A(x-3)+B(x+3)$.
整理,得$6= (A+B)x+3(B-A)$.
所以$\left\{\begin{array}{l} A+B= 0,\\ 3(B-A)= 6,\end{array} \right. 解得{{\begin{cases} {{A=-1}} \\ {B=1} \end{cases}}}. $
所以$\frac {6}{x^{2}-9}= \frac {-1}{x+3}+\frac {1}{x-3}$,即$\frac {6}{x^{2}-9}= \frac {1}{x-3}-\frac {1}{x+3}$.
显然,部分分式分解的结果中,各分母的次数都低于原分式分母的次数.
任务:
(1)将$\frac {8}{x^{2}-4x}$部分分式分解;
(2)已知$\frac {x}{(x+2)(x-1)}部分分式分解的结果是\frac {M}{x+2}+\frac {N}{x-1}$,求$M+N$的值.

答案

(1) $ \frac{8}{x^2 - 4x} = \frac{2}{x - 4} - \frac{2}{x} $ (2) 1