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3. 如图1,在□ABCD中,$AE\perp BC$于点E,$AE= EB= EC= a$,且a是一元二次方程$x^2+2x-3= 0$的根,求□ABCD的周长.
答案
【解析】：
本题考查平行四边形周长的计算，需要先通过解一元二次方程求出$a$的值，再根据平行四边形的性质求出其周长。
步骤一：解一元二次方程$x^2 + 2x - 3 = 0$。
对于一元二次方程$Ax^2 + Bx + C = 0$（$A\neq0$），可以使用因式分解法将其化为$(x - x_1)(x - x_2) = 0$的形式，进而求出方程的解。
对$x^2 + 2x - 3 = 0$进行因式分解，可得$(x + 3)(x - 1) = 0$，则$x + 3 = 0$或$x - 1 = 0$，解得$x_1 = -3$，$x_2 = 1$。
步骤二：根据$a$是方程的根且$a\gt0$确定$a$的值。
因为$a$是一元二次方程$x^2 + 2x - 3 = 0$的根，且在平行四边形中$AE = EB = EC = a$，边长不能为负，所以$a\gt0$，故$a = 1$。
步骤三：求出平行四边形$ABCD$的边长。
已知$AE\perp BC$，$AE = EB = EC = a = 1$，则$BC = EB + EC = 1 + 1 = 2$。
在$Rt\triangle ABE$中，$AE = EB = 1$，根据勾股定理$AB = \sqrt{AE^{2} + EB^{2}} = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB = CD = \sqrt{2}$，$AD = BC = 2$。
步骤四：计算平行四边形$ABCD$的周长。
平行四边形的周长等于两组对边长度之和，即$C = 2(AB + BC) = 2(\sqrt{2} + 2)=4 + 2\sqrt{2}$。
【答案】：
解：解方程$x^2 + 2x - 3 = 0$，因式分解得$(x + 3)(x - 1) = 0$，
解得$x_1 = -3$，$x_2 = 1$。
因为$a\gt0$，所以$a = 1$。
$BC = EB + EC = 2$，
在$Rt\triangle ABE$中，$AB = \sqrt{AE^{2} + EB^{2}} = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB = CD = \sqrt{2}$，$AD = BC = 2$。
则平行四边形$ABCD$的周长$C = 2(AB + BC) = 2(\sqrt{2} + 2)=4 + 2\sqrt{2}$。
本题考查平行四边形周长的计算，需要先通过解一元二次方程求出$a$的值，再根据平行四边形的性质求出其周长。
步骤一：解一元二次方程$x^2 + 2x - 3 = 0$。
对于一元二次方程$Ax^2 + Bx + C = 0$（$A\neq0$），可以使用因式分解法将其化为$(x - x_1)(x - x_2) = 0$的形式，进而求出方程的解。
对$x^2 + 2x - 3 = 0$进行因式分解，可得$(x + 3)(x - 1) = 0$，则$x + 3 = 0$或$x - 1 = 0$，解得$x_1 = -3$，$x_2 = 1$。
步骤二：根据$a$是方程的根且$a\gt0$确定$a$的值。
因为$a$是一元二次方程$x^2 + 2x - 3 = 0$的根，且在平行四边形中$AE = EB = EC = a$，边长不能为负，所以$a\gt0$，故$a = 1$。
步骤三：求出平行四边形$ABCD$的边长。
已知$AE\perp BC$，$AE = EB = EC = a = 1$，则$BC = EB + EC = 1 + 1 = 2$。
在$Rt\triangle ABE$中，$AE = EB = 1$，根据勾股定理$AB = \sqrt{AE^{2} + EB^{2}} = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB = CD = \sqrt{2}$，$AD = BC = 2$。
步骤四：计算平行四边形$ABCD$的周长。
平行四边形的周长等于两组对边长度之和，即$C = 2(AB + BC) = 2(\sqrt{2} + 2)=4 + 2\sqrt{2}$。
【答案】：
解：解方程$x^2 + 2x - 3 = 0$，因式分解得$(x + 3)(x - 1) = 0$，
解得$x_1 = -3$，$x_2 = 1$。
因为$a\gt0$，所以$a = 1$。
$BC = EB + EC = 2$，
在$Rt\triangle ABE$中，$AB = \sqrt{AE^{2} + EB^{2}} = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB = CD = \sqrt{2}$，$AD = BC = 2$。
则平行四边形$ABCD$的周长$C = 2(AB + BC) = 2(\sqrt{2} + 2)=4 + 2\sqrt{2}$。
1. 解方程$(x-3)^2= 5$时,比较简便的方法是(
A.直接开平方法
B.因式分解法
C.配方法
D.公式法
A
)A.直接开平方法
B.因式分解法
C.配方法
D.公式法
答案
【解析】：
本题考察的是一元二次方程的解法，特别是直接开平方法的应用。
给定方程为 $(x-3)^2 = 5$，这是一个完全平方等于一个常数的形式，因此可以直接开平方来求解。
具体步骤是：对方程两边同时开平方，得到 $x-3 = \pm \sqrt{5}$，然后分别求解 $x$。
这种方法相对于因式分解法、配方法和公式法来说，更为简便。
【答案】：
A. 直接开平方法。
本题考察的是一元二次方程的解法，特别是直接开平方法的应用。
给定方程为 $(x-3)^2 = 5$，这是一个完全平方等于一个常数的形式，因此可以直接开平方来求解。
具体步骤是：对方程两边同时开平方，得到 $x-3 = \pm \sqrt{5}$，然后分别求解 $x$。
这种方法相对于因式分解法、配方法和公式法来说，更为简便。
【答案】：
A. 直接开平方法。
2. 已知$x^2-2x-3的值与x+7$的值相等,则$x$的值等于(
A.5或2
B.-2或5
C.0或-1
D.0或1
B
)A.5或2
B.-2或5
C.0或-1
D.0或1
答案
【解析】：
本题主要考察一元二次方程的解法。
首先，我们将题目中的条件“$x^2-2x-3$的值与$x+7$的值相等”转化为等式，即：
$x^2 - 2x - 3 = x + 7$，
接着，我们将等式两边的项进行移项，使所有项都在等式的一边，得到：
$x^2 - 2x - x - 3 - 7 = 0$，
化简后得到：
$x^2 - 3x - 10 = 0$，
这是一个一元二次方程，我们可以通过因式分解法来求解它。
因式分解后得到：
$(x - 5)(x + 2) = 0$，
由此，我们可以得到两个解：
$x_1 = 5, \quad x_2 = -2$。
【答案】：
B. -2或5。
本题主要考察一元二次方程的解法。
首先，我们将题目中的条件“$x^2-2x-3$的值与$x+7$的值相等”转化为等式，即：
$x^2 - 2x - 3 = x + 7$，
接着，我们将等式两边的项进行移项，使所有项都在等式的一边，得到：
$x^2 - 2x - x - 3 - 7 = 0$，
化简后得到：
$x^2 - 3x - 10 = 0$，
这是一个一元二次方程，我们可以通过因式分解法来求解它。
因式分解后得到：
$(x - 5)(x + 2) = 0$，
由此，我们可以得到两个解：
$x_1 = 5, \quad x_2 = -2$。
【答案】：
B. -2或5。
3. 等腰△ABC两边的长分别是一元二次方程$x^2-5x+6= 0$的两个解,这个等腰三角形的周长是(
A.7
B.8
C.10
D.7或8
D
)A.7
B.8
C.10
D.7或8
答案
解：解方程$x^2 - 5x + 6 = 0$，
因式分解得$(x - 2)(x - 3)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=3$。
情况一：腰长为2，底边长为3。
因为$2 + 2＞3$，能构成三角形，
周长为$2 + 2 + 3=7$。
情况二：腰长为3，底边长为2。
因为$3 + 3＞2$，能构成三角形，
周长为$3 + 3 + 2=8$。
综上，这个等腰三角形的周长是7或8。
答案：D
因式分解得$(x - 2)(x - 3)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=3$。
情况一：腰长为2，底边长为3。
因为$2 + 2＞3$，能构成三角形，
周长为$2 + 2 + 3=7$。
情况二：腰长为3，底边长为2。
因为$3 + 3＞2$，能构成三角形，
周长为$3 + 3 + 2=8$。
综上，这个等腰三角形的周长是7或8。
答案：D
4. 方程$x(x+3)= x$的解是(
A.$x= -2$
B.$x= 0$
C.$x_1= 0$,$x_2= -2$
D.$x_1= 0$,$x_2= 2$
C
)A.$x= -2$
B.$x= 0$
C.$x_1= 0$,$x_2= -2$
D.$x_1= 0$,$x_2= 2$
答案
解：$x(x+3)=x$
移项，得$x(x+3)-x=0$
提取公因式$x$，得$x[(x+3)-1]=0$
化简，得$x(x+2)=0$
则$x=0$或$x+2=0$
解得$x_1=0$，$x_2=-2$
答案：C
移项，得$x(x+3)-x=0$
提取公因式$x$，得$x[(x+3)-1]=0$
化简，得$x(x+2)=0$
则$x=0$或$x+2=0$
解得$x_1=0$，$x_2=-2$
答案：C
1. 方程$3x^2-x(x-5)= 0$的解是
$x_1 = 0$，$x_2 = -\dfrac{5}{2}$
.答案
解：$3x^2 - x(x - 5) = 0$
$3x^2 - x^2 + 5x = 0$
$2x^2 + 5x = 0$
$x(2x + 5) = 0$
$x = 0$或$2x + 5 = 0$
解得$x_1 = 0$，$x_2 = -\dfrac{5}{2}$
$x_1 = 0$，$x_2 = -\dfrac{5}{2}$
$3x^2 - x^2 + 5x = 0$
$2x^2 + 5x = 0$
$x(2x + 5) = 0$
$x = 0$或$2x + 5 = 0$
解得$x_1 = 0$，$x_2 = -\dfrac{5}{2}$
$x_1 = 0$，$x_2 = -\dfrac{5}{2}$
2. 已知方程$x^2-6x+q= 0可以配方成(x-3)^2= 7$的形式,那么关于$x的方程x^2-6x+q= 2$的解是
$x_1 = 0$，$x_2 = 6$
.答案
解：由方程$x^2 - 6x + q = 0$配方成$(x - 3)^2 = 7$，展开得$x^2 - 6x + 9 = 7$，即$x^2 - 6x + 2 = 0$，所以$q = 2$。
方程$x^2 - 6x + q = 2$可化为$x^2 - 6x + 2 = 2$，即$x^2 - 6x = 0$，$x(x - 6) = 0$，解得$x_1 = 0$，$x_2 = 6$。
答案：$x_1 = 0$，$x_2 = 6$
方程$x^2 - 6x + q = 2$可化为$x^2 - 6x + 2 = 2$，即$x^2 - 6x = 0$，$x(x - 6) = 0$，解得$x_1 = 0$，$x_2 = 6$。
答案：$x_1 = 0$，$x_2 = 6$
3. 关于$x的一元二次方程x^2-5x+p^2-2p+5= 0$的一个根为1,则实数$p$的值是
1
.答案
解：将$x=1$代入方程$x^2 - 5x + p^2 - 2p + 5 = 0$，得
$1^2 - 5×1 + p^2 - 2p + 5 = 0$
化简得：$1 - 5 + p^2 - 2p + 5 = 0$
即$p^2 - 2p + 1 = 0$
因式分解得：$(p - 1)^2 = 0$
解得$p_1 = p_2 = 1$
则实数$p$的值是$1$。
$1^2 - 5×1 + p^2 - 2p + 5 = 0$
化简得：$1 - 5 + p^2 - 2p + 5 = 0$
即$p^2 - 2p + 1 = 0$
因式分解得：$(p - 1)^2 = 0$
解得$p_1 = p_2 = 1$
则实数$p$的值是$1$。
4. 若关于$x的一元二次方程(m-1)x^2+5x+m^2-3m+2= 0$的常数项为0,则$m$的值等于
2
.答案
解：因为方程的常数项为0，所以$m^2 - 3m + 2 = 0$，
因式分解得$(m - 1)(m - 2) = 0$，
解得$m_1 = 1$，$m_2 = 2$。
又因为方程是一元二次方程，所以二次项系数$m - 1 \neq 0$，即$m \neq 1$，
所以$m = 2$。
2
因式分解得$(m - 1)(m - 2) = 0$，
解得$m_1 = 1$，$m_2 = 2$。
又因为方程是一元二次方程，所以二次项系数$m - 1 \neq 0$，即$m \neq 1$，
所以$m = 2$。
2
5. 直角三角形两条直角边长分别为$x+1$,$x+3$,斜边长为$2x$,那么$x= $
5
.答案
解：由勾股定理得，$(x+1)^2+(x+3)^2=(2x)^2$
展开得，$x^2+2x+1+x^2+6x+9=4x^2$
合并同类项得，$2x^2+8x+10=4x^2$
移项得，$2x^2-8x-10=0$
化简得，$x^2-4x-5=0$
因式分解得，$(x-5)(x+1)=0$
解得$x_1=5$，$x_2=-1$
因为边长不能为负，所以$x=-1$舍去
则$x=5$
答案：5
展开得，$x^2+2x+1+x^2+6x+9=4x^2$
合并同类项得，$2x^2+8x+10=4x^2$
移项得，$2x^2-8x-10=0$
化简得，$x^2-4x-5=0$
因式分解得，$(x-5)(x+1)=0$
解得$x_1=5$，$x_2=-1$
因为边长不能为负，所以$x=-1$舍去
则$x=5$
答案：5
