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17. 已知方程组$\begin{cases}2x + y= -2\\ax + by= -4\end{cases} $和方程组$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 1 2 } \\ { b x + a y = - 8 } \end{array} \right.$的解相同,求$(5a + b)^{2}$的值。
解：因为两个方程组的解相同，所以先联立$\begin{cases}2x + y = -2 \\3x - y = 12 \end{cases}$
将两式相加消去$y$可得：
$(2x + y)+(3x - y)=-2 + 12$
$2x + y+3x - y = 10$
$5x=10$，解得$x =$
把$x = 2$代入$2x + y = -2$得：$2×2 + y = -2$，$4 + y = -2$，解得$y=$
把$\begin{cases}x = 2 \\y = -6 \end{cases}$代入$\begin{cases}ax + by = -4 \\bx + ay = -8 \end{cases}$，得到$\begin{cases}2a-6b=-4 \\2b-6a=-8 \end{cases}$
将$2a-6b=-4$各项乘以$3$得$6a - 18b=-12$ ①
$2b-6a=-8$ ②
①$+$②得：$(6a - 18b)+(2b-6a)=-12+( - 8)$
$6a - 18b+2b-6a=-20$
$-16b=-20$，解得$b=$
把$b = \frac{5}{4}$代入$2a-6b=-4$得：$2a-6×\frac{5}{4}=-4$
$2a-\frac{15}{2}=-4$
$2a=-4+\frac{15}{2}=\frac{-8 + 15}{2}=\frac{7}{2}$，解得$a=$
则$5a + b=5×\frac{7}{4}+\frac{5}{4}=\frac{35 + 5}{4}=$
所以$(5a + b)^{2}=$
故$(5a + b)^{2}$的值为$100$。
解：因为两个方程组的解相同，所以先联立$\begin{cases}2x + y = -2 \\3x - y = 12 \end{cases}$
将两式相加消去$y$可得：
$(2x + y)+(3x - y)=-2 + 12$
$2x + y+3x - y = 10$
$5x=10$，解得$x =$
$2$
。把$x = 2$代入$2x + y = -2$得：$2×2 + y = -2$，$4 + y = -2$，解得$y=$
$-6$
。把$\begin{cases}x = 2 \\y = -6 \end{cases}$代入$\begin{cases}ax + by = -4 \\bx + ay = -8 \end{cases}$，得到$\begin{cases}2a-6b=-4 \\2b-6a=-8 \end{cases}$
将$2a-6b=-4$各项乘以$3$得$6a - 18b=-12$ ①
$2b-6a=-8$ ②
①$+$②得：$(6a - 18b)+(2b-6a)=-12+( - 8)$
$6a - 18b+2b-6a=-20$
$-16b=-20$，解得$b=$
$\frac{5}{4}$
。把$b = \frac{5}{4}$代入$2a-6b=-4$得：$2a-6×\frac{5}{4}=-4$
$2a-\frac{15}{2}=-4$
$2a=-4+\frac{15}{2}=\frac{-8 + 15}{2}=\frac{7}{2}$，解得$a=$
$\frac{7}{4}$
。则$5a + b=5×\frac{7}{4}+\frac{5}{4}=\frac{35 + 5}{4}=$
$10$
。所以$(5a + b)^{2}=$
$10^{2}$
$=$$100$
。故$(5a + b)^{2}$的值为$100$。
答案
解：因为两个方程组的解相同，所以先联立$\begin{cases}2x + y = -2 \\3x - y = 12 \end{cases}$
将两式相加消去$y$可得：
$(2x + y)+(3x - y)=-2 + 12$
$2x + y+3x - y = 10$
$5x=10$，解得$x = 2$。
把$x = 2$代入$2x + y = -2$得：$2×2 + y = -2$，$4 + y = -2$，解得$y=-6$。
把$\begin{cases}x = 2 \\y = -6 \end{cases}$代入$\begin{cases}ax + by = -4 \\bx + ay = -8 \end{cases}$，得到$\begin{cases}2a-6b=-4 \\2b-6a=-8 \end{cases}$
将$2a-6b=-4$各项乘以$3$得$6a - 18b=-12$ ①
$2b-6a=-8$ ②
①$+$②得：$(6a - 18b)+(2b-6a)=-12+( - 8)$
$6a - 18b+2b-6a=-20$
$-16b=-20$，解得$b=\frac{5}{4}$。
把$b = \frac{5}{4}$代入$2a-6b=-4$得：$2a-6×\frac{5}{4}=-4$
$2a-\frac{15}{2}=-4$
$2a=-4+\frac{15}{2}=\frac{-8 + 15}{2}=\frac{7}{2}$，解得$a=\frac{7}{4}$。
则$5a + b=5×\frac{7}{4}+\frac{5}{4}=\frac{35 + 5}{4}=10$。
所以$(5a + b)^{2}=10^{2}=100$。
故$(5a + b)^{2}$的值为$100$。
将两式相加消去$y$可得：
$(2x + y)+(3x - y)=-2 + 12$
$2x + y+3x - y = 10$
$5x=10$，解得$x = 2$。
把$x = 2$代入$2x + y = -2$得：$2×2 + y = -2$，$4 + y = -2$，解得$y=-6$。
把$\begin{cases}x = 2 \\y = -6 \end{cases}$代入$\begin{cases}ax + by = -4 \\bx + ay = -8 \end{cases}$，得到$\begin{cases}2a-6b=-4 \\2b-6a=-8 \end{cases}$
将$2a-6b=-4$各项乘以$3$得$6a - 18b=-12$ ①
$2b-6a=-8$ ②
①$+$②得：$(6a - 18b)+(2b-6a)=-12+( - 8)$
$6a - 18b+2b-6a=-20$
$-16b=-20$，解得$b=\frac{5}{4}$。
把$b = \frac{5}{4}$代入$2a-6b=-4$得：$2a-6×\frac{5}{4}=-4$
$2a-\frac{15}{2}=-4$
$2a=-4+\frac{15}{2}=\frac{-8 + 15}{2}=\frac{7}{2}$，解得$a=\frac{7}{4}$。
则$5a + b=5×\frac{7}{4}+\frac{5}{4}=\frac{35 + 5}{4}=10$。
所以$(5a + b)^{2}=10^{2}=100$。
故$(5a + b)^{2}$的值为$100$。
18. 阅读与思考。
“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法。数学课上,李老师给出了一个问题,已知实数$x$,$y$满足$\begin{cases}3x - y = 5\\2x + 3y = 7\end{cases} $,求$x - 4y$和$7x + 5y$的值。
小明：利用消元法解方程组,得$x$,$y$的值后,再分别代入$x - 4y$和$7x + 5y$求值。
小逸：发现两个方程中相同未知数的系数之间的关系,通过适当变形,整体求得代数式的值,$3x - y = 5$①,$2x + 3y = 7$②,由① - ②可得$x - 4y = -2$,由① + ②$×2$可得$7x + 5y = 19$。
李老师对两位同学的方法进行点评,指出小逸同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用。请你参考小逸同学的做法,解决下面的问题。
(1)已知二元一次方程组$\begin{cases}2x + y = 5\\x + 2y = 1\end{cases} $,则$x - y =$
(2)已知关于$x$,$y$的二元一次方程组$\begin{cases}3x + y = 2k + 1\\x + 3y = k + 2\end{cases} $,若方程组的解满足$x - y = 1$,求$k$的值。$k$的值为
“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法。数学课上,李老师给出了一个问题,已知实数$x$,$y$满足$\begin{cases}3x - y = 5\\2x + 3y = 7\end{cases} $,求$x - 4y$和$7x + 5y$的值。
小明：利用消元法解方程组,得$x$,$y$的值后,再分别代入$x - 4y$和$7x + 5y$求值。
小逸：发现两个方程中相同未知数的系数之间的关系,通过适当变形,整体求得代数式的值,$3x - y = 5$①,$2x + 3y = 7$②,由① - ②可得$x - 4y = -2$,由① + ②$×2$可得$7x + 5y = 19$。
李老师对两位同学的方法进行点评,指出小逸同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用。请你参考小逸同学的做法,解决下面的问题。
(1)已知二元一次方程组$\begin{cases}2x + y = 5\\x + 2y = 1\end{cases} $,则$x - y =$
$4$
,$x + y =$$2$
。(2)已知关于$x$,$y$的二元一次方程组$\begin{cases}3x + y = 2k + 1\\x + 3y = k + 2\end{cases} $,若方程组的解满足$x - y = 1$,求$k$的值。$k$的值为
$3$
答案
【解析】：
(1)对于方程组$\begin{cases}2x + y = 5 \\x + 2y = 1 \end{cases}$，
求$x - y$的值，用第一个方程$2x + y = 5$减去第二个方程$x + 2y = 1$，可得：
$(2x + y)-(x + 2y)=5 - 1$，
去括号得$2x + y - x - 2y = 4$，
合并同类项得$x - y = 4$。
求$x + y$的值，将方程组中的两个方程相加，即$(2x + y)+(x + 2y)=5 + 1$，
去括号得$2x + y + x + 2y = 6$，
合并同类项得$3x + 3y = 6$，两边同时除以$3$，可得$x + y = 2$。
(2)对于方程组$\begin{cases}3x + y = 2k + 1 \\x + 3y = k + 2 \end{cases}$，
用第一个方程$3x + y = 2k + 1$减去第二个方程$x + 3y = k + 2$，可得：
$(3x + y)-(x + 3y)=(2k + 1)-(k + 2)$，
去括号得$3x + y - x - 3y = 2k + 1 - k - 2$，
合并同类项得$2x - 2y = k - 1$，两边同时除以$2$，得到$x - y=\frac{k - 1}{2}$。
因为$x - y = 1$，所以$\frac{k - 1}{2}=1$，
方程两边同时乘以$2$得$k - 1 = 2$，
移项可得$k = 2 + 1 = 3$。
【答案】：(1)$4$；$2$；(2)$3$
(1)对于方程组$\begin{cases}2x + y = 5 \\x + 2y = 1 \end{cases}$，
求$x - y$的值，用第一个方程$2x + y = 5$减去第二个方程$x + 2y = 1$，可得：
$(2x + y)-(x + 2y)=5 - 1$，
去括号得$2x + y - x - 2y = 4$，
合并同类项得$x - y = 4$。
求$x + y$的值，将方程组中的两个方程相加，即$(2x + y)+(x + 2y)=5 + 1$，
去括号得$2x + y + x + 2y = 6$，
合并同类项得$3x + 3y = 6$，两边同时除以$3$，可得$x + y = 2$。
(2)对于方程组$\begin{cases}3x + y = 2k + 1 \\x + 3y = k + 2 \end{cases}$，
用第一个方程$3x + y = 2k + 1$减去第二个方程$x + 3y = k + 2$，可得：
$(3x + y)-(x + 3y)=(2k + 1)-(k + 2)$，
去括号得$3x + y - x - 3y = 2k + 1 - k - 2$，
合并同类项得$2x - 2y = k - 1$，两边同时除以$2$，得到$x - y=\frac{k - 1}{2}$。
因为$x - y = 1$，所以$\frac{k - 1}{2}=1$，
方程两边同时乘以$2$得$k - 1 = 2$，
移项可得$k = 2 + 1 = 3$。
【答案】：(1)$4$；$2$；(2)$3$
