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1. 如图，由$\odot O$外一点$P$作$\odot O$的一条切线$PA$，切点为$A$，连接$PO$并延长交$\odot O$于点$B$，连接$AB$，且$∠ P＝34°$，则$∠ ABP$的度数为 （
A.$28°$
B.$34°$
C.$56°$
D.$68°$
A
）A.$28°$
B.$34°$
C.$56°$
D.$68°$
答案
1. A
解析
【分析】
解决这道题首先回忆切线的相关性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此我们可以连接辅助线OA构造直角三角形OAP，先求出∠AOP的度数；再结合OA、OB都是圆的半径，可得△OAB是等腰三角形，最后利用三角形外角的性质即可求出∠ABP的度数。
【解析】
连接OA，
∵PA是⊙O的切线，切点为A，
∴OA⊥PA，即∠OAP=90°，
在Rt△OAP中，∠P=34°，
∴∠AOP=90°-∠P=90°-34°=56°，
∵OA=OB（都是⊙O的半径），
∴∠ABP=∠OAB，
又
∵∠AOP是△AOB的外角，
∴∠AOP=∠ABP+∠OAB=2∠ABP，
∴∠ABP=∠AOP÷2=56°÷2=28°。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于圆相关的基础题型，求解的关键是掌握切线类问题的常用辅助线作法：连接切点与圆心构造直角三角形，再结合三角形的相关性质计算角度即可。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先回忆切线的相关性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此我们可以连接辅助线OA构造直角三角形OAP，先求出∠AOP的度数；再结合OA、OB都是圆的半径，可得△OAB是等腰三角形，最后利用三角形外角的性质即可求出∠ABP的度数。
【解析】
连接OA，
∵PA是⊙O的切线，切点为A，
∴OA⊥PA，即∠OAP=90°，
在Rt△OAP中，∠P=34°，
∴∠AOP=90°-∠P=90°-34°=56°，
∵OA=OB（都是⊙O的半径），
∴∠ABP=∠OAB，
又
∵∠AOP是△AOB的外角，
∴∠AOP=∠ABP+∠OAB=2∠ABP，
∴∠ABP=∠AOP÷2=56°÷2=28°。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于圆相关的基础题型，求解的关键是掌握切线类问题的常用辅助线作法：连接切点与圆心构造直角三角形，再结合三角形的相关性质计算角度即可。
【难度系数】
0.7
2. (福建中考)如图，PA与$\odot O$相切于点A，PO的延长线交$\odot O$于点C，$AB// PC$，且交$\odot O$于点B.若$∠ P=30°$，则$∠ BCP$的大小为（
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
C
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
答案
2. C
解析
【分析】
解题时首先利用切线的性质，连接切点A与圆心O，得到直角三角形PAO，结合已知∠P=30°可求出∠AOP的度数；再根据AB//PC的平行线性质，结合OA=OB是半径，推导得到∠BOC的度数；最后利用等腰三角形OBC的性质，即可求出∠BCP的大小。
【解析】
解：连接OA，
∵ PA与$\odot O$相切于点A，
∴ OA⊥PA，即$∠ PAO=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ PAO$中，$∠ P=30°$，
∴ $∠ AOP=90° - 30°=60°$，
∵ $AB// PC$，
∴ $∠ OAB=∠ AOP=60°$，
又
∵ OA=OB（都是$\odot O$的半径），
∴ $△ OAB$是等边三角形，
∴ $∠ ABO=60°$，
∵ $AB// PC$，
∴ $∠ BOC=∠ ABO=60°$，
又
∵ OB=OC（都是$\odot O$的半径），
∴ $△ OBC$是等边三角形，
∴ $∠ OCB=60°$，即$∠ BCP=60°$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；平行线的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题型，解题的核心是掌握切线的性质，正确作出连接圆心和切点的辅助线，再结合平行线、特殊三角形的性质逐步推导角的关系，整体解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用切线的性质，连接切点A与圆心O，得到直角三角形PAO，结合已知∠P=30°可求出∠AOP的度数；再根据AB//PC的平行线性质，结合OA=OB是半径，推导得到∠BOC的度数；最后利用等腰三角形OBC的性质，即可求出∠BCP的大小。
【解析】
解：连接OA，
∵ PA与$\odot O$相切于点A，
∴ OA⊥PA，即$∠ PAO=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ PAO$中，$∠ P=30°$，
∴ $∠ AOP=90° - 30°=60°$，
∵ $AB// PC$，
∴ $∠ OAB=∠ AOP=60°$，
又
∵ OA=OB（都是$\odot O$的半径），
∴ $△ OAB$是等边三角形，
∴ $∠ ABO=60°$，
∵ $AB// PC$，
∴ $∠ BOC=∠ ABO=60°$，
又
∵ OB=OC（都是$\odot O$的半径），
∴ $△ OBC$是等边三角形，
∴ $∠ OCB=60°$，即$∠ BCP=60°$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；平行线的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题型，解题的核心是掌握切线的性质，正确作出连接圆心和切点的辅助线，再结合平行线、特殊三角形的性质逐步推导角的关系，整体解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
3. 有下列说法:① 圆的切线垂直于经过切点的半径;② 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线;③ 和半径垂直的直线是圆的切线;④ 经过半径的外端点的直线是圆的切线;⑤ 经过直径的端点并垂直于这条直径的直线是圆的切线.其中正确的有
①②⑤
(填序号).答案
3. ①②⑤
解析
【分析】
本题考查圆的切线的性质与判定相关知识，解题思路为：先回忆圆的切线的定义、性质定理、判定定理的核心内容，再逐一核对5个说法是否符合对应概念或定理，判断正误即可。判断切线类的正误题要注意，判定切线必须同时满足“经过半径外端”和“垂直于该半径”两个条件，二者缺一不可。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
① 该内容是圆的切线的性质定理，即圆的切线垂直于经过切点的半径，说法正确；
② 该内容是圆的切线的定义，和圆只有一个公共点的直线是圆的切线，说法正确；
③ 和半径垂直的直线，若没有经过半径的外端点，就不是圆的切线（比如过圆心且垂直于某条半径的直线与圆交于两点，不是切线），说法错误；
④ 仅经过半径的外端点，但不垂直于这条半径的直线，会与圆有两个公共点，不是圆的切线，说法错误；
⑤ 直径的端点就是对应半径的外端点，垂直于直径即垂直于对应的半径，完全符合圆的切线的判定定理，说法正确。
综上，正确的是①②⑤。
【答案】
①②⑤
【知识点】
圆的切线的性质，圆的切线的判定，直线与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查对切线相关定理的准确理解，做题时要注意切线的判定条件需同时满足两个要求，避免因漏看条件、混淆概念导致判断错误。
【难度系数】
0.7
本题考查圆的切线的性质与判定相关知识，解题思路为：先回忆圆的切线的定义、性质定理、判定定理的核心内容，再逐一核对5个说法是否符合对应概念或定理，判断正误即可。判断切线类的正误题要注意，判定切线必须同时满足“经过半径外端”和“垂直于该半径”两个条件，二者缺一不可。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
① 该内容是圆的切线的性质定理，即圆的切线垂直于经过切点的半径，说法正确；
② 该内容是圆的切线的定义，和圆只有一个公共点的直线是圆的切线，说法正确；
③ 和半径垂直的直线，若没有经过半径的外端点，就不是圆的切线（比如过圆心且垂直于某条半径的直线与圆交于两点，不是切线），说法错误；
④ 仅经过半径的外端点，但不垂直于这条半径的直线，会与圆有两个公共点，不是圆的切线，说法错误；
⑤ 直径的端点就是对应半径的外端点，垂直于直径即垂直于对应的半径，完全符合圆的切线的判定定理，说法正确。
综上，正确的是①②⑤。
【答案】
①②⑤
【知识点】
圆的切线的性质，圆的切线的判定，直线与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查对切线相关定理的准确理解，做题时要注意切线的判定条件需同时满足两个要求，避免因漏看条件、混淆概念导致判断错误。
【难度系数】
0.7
4. 如图，$\odot M$与x轴相交于点$A(2,0)$，$B(8,0)$，与y轴相切于点C，则圆心M的坐标是
(5,4)
。答案
4. (5,4)
解析
【分析】
解题时可分三步思考：1. 由圆与x轴交于A、B两点，根据垂径定理，圆心在AB的垂直平分线上，先求出圆心的横坐标；2. 结合圆与y轴相切的性质，圆心到y轴的距离等于半径，得到圆的半径长度；3. 过圆心作x轴的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求出圆心的纵坐标，即可得到M的坐标。
【解析】
过点M作MD⊥x轴于点D，连接MA。
∵ ⊙M与x轴交于A(2,0)、B(8,0)，
∴ 根据垂径定理，D为AB的中点，
∴ AD=(8-2)÷2=3，点D的横坐标为(2+8)÷2=5，即圆心M的横坐标为5。
∵ ⊙M与y轴相切于点C，根据切线的性质，圆心到切线的距离等于半径，
∴ ⊙M的半径r等于点M到y轴的距离，即r=5，故MA=5。
在Rt△AMD中，由勾股定理得：
$MD=\sqrt{MA^2 - AD^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{16}=4$，
又
∵ 点M在第一象限，
∴ 点M的纵坐标为4，即圆心M的坐标为(5,4)。
【答案】
(5,4)
【知识点】
垂径定理，切线的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题型，解题的突破口是结合垂径定理和切线性质快速得到圆心横坐标与圆的半径，再通过勾股定理计算得到纵坐标，要求熟练掌握圆的相关基础性质。
【难度系数】
0.7
解题时可分三步思考：1. 由圆与x轴交于A、B两点，根据垂径定理，圆心在AB的垂直平分线上，先求出圆心的横坐标；2. 结合圆与y轴相切的性质，圆心到y轴的距离等于半径，得到圆的半径长度；3. 过圆心作x轴的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求出圆心的纵坐标，即可得到M的坐标。
【解析】
过点M作MD⊥x轴于点D，连接MA。
∵ ⊙M与x轴交于A(2,0)、B(8,0)，
∴ 根据垂径定理，D为AB的中点，
∴ AD=(8-2)÷2=3，点D的横坐标为(2+8)÷2=5，即圆心M的横坐标为5。
∵ ⊙M与y轴相切于点C，根据切线的性质，圆心到切线的距离等于半径，
∴ ⊙M的半径r等于点M到y轴的距离，即r=5，故MA=5。
在Rt△AMD中，由勾股定理得：
$MD=\sqrt{MA^2 - AD^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{16}=4$，
又
∵ 点M在第一象限，
∴ 点M的纵坐标为4，即圆心M的坐标为(5,4)。
【答案】
(5,4)
【知识点】
垂径定理，切线的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题型，解题的突破口是结合垂径定理和切线性质快速得到圆心横坐标与圆的半径，再通过勾股定理计算得到纵坐标，要求熟练掌握圆的相关基础性质。
【难度系数】
0.7
5. (山东中考)如图,在△OAB中,点A在⊙O上,边OB交⊙O于点C,AD⊥OB于点D.AC是∠BAD的平分线.
(1) 求证:AB为⊙O的切线;
(2) 若⊙O的半径为2,∠AOB=45°,求CB的长.
(1) 求证:AB为⊙O的切线;
(2) 若⊙O的半径为2,∠AOB=45°,求CB的长.
答案
5. (1) 证明:$\because AD⊥ OB$于点D,$\therefore ∠ ADB=90°$.$\because AC$是$∠ BAD$的平分线,$\therefore ∠ DAC=∠ BAC$.$\because OA=OC$,$\therefore ∠ OAC=∠ OCA$.
$\because ∠ OAC=∠ OAD+∠ DAC=∠ OAD+∠ BAC$,$∠ OCA=∠ B+∠ BAC$,$\therefore ∠ OAD + ∠ BAC = ∠ B + ∠ BAC$.
$\therefore ∠ OAD=∠ B$.$\therefore ∠ OAB=∠ OAD+∠ BAD=∠ B+∠ BAD=90°$.$\because OA$是$\odot O$的半径,且$AB⊥ OA$,$\therefore AB$为$\odot O$的切线；
(2) 解:$\because ∠ OAB = 90°$,$∠ AOB = 45°$,$\therefore ∠ B=∠ AOB=45°$.$\therefore AB=OA$.$\because \odot O$的半径为2,$\therefore AB=OA=OC=2$.$\therefore OB=\sqrt{AB^2+OA^2}=\sqrt{2}OA=2\sqrt{2}$.$\therefore CB=OB-OC=2\sqrt{2}-2$.
$\because ∠ OAC=∠ OAD+∠ DAC=∠ OAD+∠ BAC$,$∠ OCA=∠ B+∠ BAC$,$\therefore ∠ OAD + ∠ BAC = ∠ B + ∠ BAC$.
$\therefore ∠ OAD=∠ B$.$\therefore ∠ OAB=∠ OAD+∠ BAD=∠ B+∠ BAD=90°$.$\because OA$是$\odot O$的半径,且$AB⊥ OA$,$\therefore AB$为$\odot O$的切线；
(2) 解:$\because ∠ OAB = 90°$,$∠ AOB = 45°$,$\therefore ∠ B=∠ AOB=45°$.$\therefore AB=OA$.$\because \odot O$的半径为2,$\therefore AB=OA=OC=2$.$\therefore OB=\sqrt{AB^2+OA^2}=\sqrt{2}OA=2\sqrt{2}$.$\therefore CB=OB-OC=2\sqrt{2}-2$.
解析
【分析】
(1) 要证明AB是⊙O的切线，根据切线的判定定理，只需证明半径OA⊥AB即可。已知AD⊥OB可得∠ADB=90°，结合角平分线的性质、等腰三角形OA=OC的等角关系，通过角度推导得出∠OAB=90°即可完成证明。
(2) 由(1)已得∠OAB=90°，结合已知∠AOB=45°，可判断△OAB是等腰直角三角形，先利用勾股定理求出OB的长度，再减去⊙O半径OC的长度，即可得到CB的长。
【解析】
(1) 证明：$\because AD⊥ OB$于点D，$\therefore ∠ ADB=90°$。
$\because AC$是$∠ BAD$的平分线，$\therefore ∠ DAC=∠ BAC$。
$\because OA=OC$（都是$\odot O$的半径），$\therefore ∠ OAC=∠ OCA$。
$\because ∠ OAC=∠ OAD+∠ DAC=∠ OAD+∠ BAC$，$∠ OCA=∠ B+∠ BAC$（三角形外角等于不相邻两个内角的和），
$\therefore ∠ OAD + ∠ BAC = ∠ B + ∠ BAC$，
化简得$∠ OAD=∠ B$，
$\therefore ∠ OAB=∠ OAD+∠ BAD=∠ B+∠ BAD=180°-∠ ADB=90°$，
$\because OA$是$\odot O$的半径，且$AB⊥ OA$，
$\therefore AB$为$\odot O$的切线。
(2) 解：$\because ∠ OAB = 90°$，$∠ AOB = 45°$，
$\therefore ∠ B=90°-∠ AOB=45°=∠ AOB$，
$\therefore AB=OA$。
$\because \odot O$的半径为2，$\therefore AB=OA=OC=2$，
在$Rt△ OAB$中，由勾股定理得：$OB=\sqrt{AB^2+OA^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
$\therefore CB=OB-OC=2\sqrt{2}-2$。
【答案】
(1) AB为$\odot O$的切线，证明成立；
(2) $CB=2\sqrt{2}-2$
【知识点】
切线的判定；等腰三角形性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题核心是熟练运用切线判定定理证明垂直关系，再结合三角形角度性质和勾股定理求解线段长度，解题时注意角度推导的逻辑严谨性，找准各线段的数量关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明AB是⊙O的切线，根据切线的判定定理，只需证明半径OA⊥AB即可。已知AD⊥OB可得∠ADB=90°，结合角平分线的性质、等腰三角形OA=OC的等角关系，通过角度推导得出∠OAB=90°即可完成证明。
(2) 由(1)已得∠OAB=90°，结合已知∠AOB=45°，可判断△OAB是等腰直角三角形，先利用勾股定理求出OB的长度，再减去⊙O半径OC的长度，即可得到CB的长。
【解析】
(1) 证明：$\because AD⊥ OB$于点D，$\therefore ∠ ADB=90°$。
$\because AC$是$∠ BAD$的平分线，$\therefore ∠ DAC=∠ BAC$。
$\because OA=OC$（都是$\odot O$的半径），$\therefore ∠ OAC=∠ OCA$。
$\because ∠ OAC=∠ OAD+∠ DAC=∠ OAD+∠ BAC$，$∠ OCA=∠ B+∠ BAC$（三角形外角等于不相邻两个内角的和），
$\therefore ∠ OAD + ∠ BAC = ∠ B + ∠ BAC$，
化简得$∠ OAD=∠ B$，
$\therefore ∠ OAB=∠ OAD+∠ BAD=∠ B+∠ BAD=180°-∠ ADB=90°$，
$\because OA$是$\odot O$的半径，且$AB⊥ OA$，
$\therefore AB$为$\odot O$的切线。
(2) 解：$\because ∠ OAB = 90°$，$∠ AOB = 45°$，
$\therefore ∠ B=90°-∠ AOB=45°=∠ AOB$，
$\therefore AB=OA$。
$\because \odot O$的半径为2，$\therefore AB=OA=OC=2$，
在$Rt△ OAB$中，由勾股定理得：$OB=\sqrt{AB^2+OA^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
$\therefore CB=OB-OC=2\sqrt{2}-2$。
【答案】
(1) AB为$\odot O$的切线，证明成立；
(2) $CB=2\sqrt{2}-2$
【知识点】
切线的判定；等腰三角形性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题核心是熟练运用切线判定定理证明垂直关系，再结合三角形角度性质和勾股定理求解线段长度，解题时注意角度推导的逻辑严谨性，找准各线段的数量关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
6. (青岛中考)如图,四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,$∠ ADC=90°$,$DC=BC$,直线EA与$\odot O$相切于点A.若$∠ BCD=128°$,则$∠ DAE$的度数为 (
A.$52°$
B.$54°$
C.$64°$
D.$74°$
C
)A.$52°$
B.$54°$
C.$64°$
D.$74°$
答案
6. C
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：1. 看到圆内接四边形，首先用对角互补的性质求出∠BAD的度数；2. 看到∠ADC=90°，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”可判断AC为⊙O的直径，再结合切线的性质得到EA与AC垂直，即∠EAC=90°；3. 由DC=BC可知两条弦所对的弧相等，对应的圆周角∠DAC和∠BAC相等，即AC平分∠BAD，求出∠DAC的度数；4. 最后用∠EAC减去∠DAC即可得到∠DAE的度数。
【解析】
解：① 因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，可得：
$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$
已知$∠ BCD=128°$，所以$∠ BAD=180° - 128°=52°$。
② 因为$∠ ADC=90°$，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可知AC是⊙O的直径。
又因为直线EA与⊙O相切于点A，根据切线的性质：切线垂直于过切点的半径，可得$EA⊥ AC$，即$∠ EAC=90°$。
③ 因为$DC=BC$，所以弧$DC=$弧$BC$，根据同圆中相等的弧所对的圆周角相等，可得$∠ DAC=∠ BAC$，即AC平分$∠ BAD$，所以：
$∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAD=\frac{1}{2}×52°=26°$
④ 因此$∠ DAE=∠ EAC - ∠ DAC=90° - 26°=64°$。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；切线的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，将圆内接四边形、圆周角、切线的多个知识点结合考查，解题的关键是通过90°圆周角确定直径，再结合弦与圆周角的关系、切线性质逐步推导角度，熟练掌握圆的基本性质是解决这类题的前提。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：1. 看到圆内接四边形，首先用对角互补的性质求出∠BAD的度数；2. 看到∠ADC=90°，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”可判断AC为⊙O的直径，再结合切线的性质得到EA与AC垂直，即∠EAC=90°；3. 由DC=BC可知两条弦所对的弧相等，对应的圆周角∠DAC和∠BAC相等，即AC平分∠BAD，求出∠DAC的度数；4. 最后用∠EAC减去∠DAC即可得到∠DAE的度数。
【解析】
解：① 因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，可得：
$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$
已知$∠ BCD=128°$，所以$∠ BAD=180° - 128°=52°$。
② 因为$∠ ADC=90°$，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可知AC是⊙O的直径。
又因为直线EA与⊙O相切于点A，根据切线的性质：切线垂直于过切点的半径，可得$EA⊥ AC$，即$∠ EAC=90°$。
③ 因为$DC=BC$，所以弧$DC=$弧$BC$，根据同圆中相等的弧所对的圆周角相等，可得$∠ DAC=∠ BAC$，即AC平分$∠ BAD$，所以：
$∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAD=\frac{1}{2}×52°=26°$
④ 因此$∠ DAE=∠ EAC - ∠ DAC=90° - 26°=64°$。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；切线的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，将圆内接四边形、圆周角、切线的多个知识点结合考查，解题的关键是通过90°圆周角确定直径，再结合弦与圆周角的关系、切线性质逐步推导角度，熟练掌握圆的基本性质是解决这类题的前提。
【难度系数】
0.7
