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1.有理数加法法则的产生,是分六种情况研究的,在这六种情况的研究中,利用了数轴这个工具.请你结合教科书说一说,在第(1)种情况的研究中数轴的作用与第(3)、第(4)种情况中数轴的作用有什么不同?
2.有理数减法法则的产生,是如何根据减法的意义、运用代数推理的方法而得到的?
3.有理数乘法法则的产生与有理数加法法则的产生在研究方法上有哪些相同点和不同点?与有理数减法法则的产生在研究方法上有哪些相似点?运用了哪些数学思想方法?
4.有理数乘方是从我们小学学过的“$a · a$记作$a^2$,$a · a · a$记作$a^3$”拓展到一般情况,记作$a^n$,从而产生了一种新的运算——乘方.这种研究问题的方法就是从特殊到一般的思想方法.这种方法在我们今后的学习中会经常用到,也能帮我们发现许多新的规律.
思维延伸
1.引进负数以后,你认为小学里的某些结论还成立吗?如,① 两数相加,和一定不小于每一个加数;② 两数相减,差一定不大于被减数.小学里的加法和减法是两种不同的运算,现在呢?为什么?
2.如何用简便方法求一个有理数的倒数?求一个数的倒数时应注意什么?0有倒数吗?1有倒数吗?$4\frac{2}{3}$的倒数是$4\frac{3}{2}$吗?有理数$a$的倒数是$\frac{1}{a}$吗?为什么?
3.把408700用科学记数法表示为$40.87×10^4$或$0.4087×10^6$正确吗?把408700精确到百位取近似值为409000正确吗?如果不正确,请你分别写出正确的结果.

解：
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1. 第(1)种情况（两个正数相加）中数轴的作用是：借助数轴上的运动结果，验证小学已经熟知的正数加法结论，是对已有运算结果的直观具象化；第(3)(4)种情况（异号两数相加）中数轴的作用是：通过数轴上方向相反的运动过程，探究、推导小学没有涉及的异号两数相加的运算法则，得到全新的运算结论。
2. 根据减法的意义：减法是已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。要计算有理数$a-b$，即求数$x$满足$x + b = a$，结合有理数加法的运算法则可推得$x=a+(-b)$，由此得到有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
3. 相同点：都采用分类讨论的方法，按运算涉及的数的符号、绝对值关系分不同情况逐一研究，依托已有的非负有理数运算经验推导新法则。
不同点：有理数加法法则的探究主要借助数轴的直观运动模型辅助得到结果；有理数乘法法则在处理“负负相乘”这类无直观经验的情况时，更多依托之前已成立的运算律的延续性来归纳推导。
与有理数减法法则研究的相似点：都运用转化的思路，将新的未知运算转化为已经掌握的旧运算来得到对应法则。
运用的数学思想方法：分类讨论思想、数形结合思想、转化化归思想、从特殊到一般的思想。
4. 该内容从特殊的2个、3个相同因数相乘的记法，推广到$n$个相同因数$a$相乘的通用记法$a^n$，以此定义乘方运算，体现了从特殊到一般的数学思想。
思维延伸
1. 引进负数后，小学的两个结论都不再成立：
① 例如$3+(-1)=2$，和2小于加数3，因此“两数相加，和一定不小于每一个加数”的结论不成立；
② 例如$3-(-1)=4$，差4大于被减数3，因此“两数相减，差一定不大于被减数”的结论也不成立。
在有理数范围内，减法可以通过法则转化为加法：$a-b=a+(-b)$，加法和减法统一为加法运算，不再是完全独立的两种运算。
2. 简便求有理数倒数的方法：非零整数的倒数为以该数为分母、1为分子的分数；真分数、假分数的倒数直接将分子分母颠倒位置；带分数先化为假分数，小数先化为分数，再颠倒分子分母得到倒数。
求倒数注意：倒数的符号和原数保持一致，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。
0没有倒数，1的倒数是1。
$4\frac{2}{3}$的倒数不是$4\frac{3}{2}$，将$4\frac{2}{3}$化为假分数为$\frac{14}{3}$，它的倒数是$\frac{3}{14}$。
有理数$a$的倒数不一定是$\frac{1}{a}$，因为当$a=0$时，$\frac{1}{a}$无意义，0没有倒数，只有当$a≠0$时，有理数$a$的倒数才是$\frac{1}{a}$。
3. 把408700表示为$40.87×10^4$或$0.4087×10^6$都不正确。科学记数法的标准形式为$a×10^n$（其中$1≤|a|＜10$，$n$为正整数），408700用科学记数法正确表示为$4.087×10^5$。
把408700精确到百位取近似值为409000也不正确，408700精确到百位的正确结果为$4.087×10^5$。