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9.若$a ＜ c ＜ 0 ＜ b$，则$abc$与0的大小关系是(
A.$abc ＜ 0$
B.$abc = 0$
C.$abc ＞ 0$
D.无法确定
C
)。A.$abc ＜ 0$
B.$abc = 0$
C.$abc ＞ 0$
D.无法确定
答案
C
解析
【分析】
要判断abc与0的大小关系，首先回忆有理数乘法的符号法则：多个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，负因数个数为偶数时，积为正数；负因数个数为奇数时，积为负数。解题时先根据已知的大小关系确定a、b、c三个数的正负性，再数负因数的个数，就能判断abc的符号，进而和0比较大小。
【解析】
已知$a ＜ c ＜ 0 ＜ b$，可得：
$a＜0$（负数），$c＜0$（负数），$b＞0$（正数），三个数均不为0。
其中负因数的个数是2个，为偶数，根据有理数乘法的符号法则，可得$abc＞0$。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘法符号法则、正负数判定
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握有理数乘法的符号判断规则，只要准确梳理出相乘的数中负因数的个数，就能快速求出结果。
【难度系数】
0.9
要判断abc与0的大小关系，首先回忆有理数乘法的符号法则：多个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，负因数个数为偶数时，积为正数；负因数个数为奇数时，积为负数。解题时先根据已知的大小关系确定a、b、c三个数的正负性，再数负因数的个数，就能判断abc的符号，进而和0比较大小。
【解析】
已知$a ＜ c ＜ 0 ＜ b$，可得：
$a＜0$（负数），$c＜0$（负数），$b＞0$（正数），三个数均不为0。
其中负因数的个数是2个，为偶数，根据有理数乘法的符号法则，可得$abc＞0$。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘法符号法则、正负数判定
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握有理数乘法的符号判断规则，只要准确梳理出相乘的数中负因数的个数，就能快速求出结果。
【难度系数】
0.9
10.若$a$，$b$互为相反数，$c$，$d$互为倒数，则$\dfrac{cd}{5} × (a + b) =$
0
。答案
0
解析
【分析】
解题时首先回忆相反数、倒数的基本性质：互为相反数的两个数之和为0，互为倒数的两个数的乘积为1。我们先根据这两个性质分别求出$a+b$和$cd$的值，再代入所求代数式计算即可，结合有理数乘法中“0乘任何数都得0”的规则，可以快速得出结果。
【解析】
解：
∵$a$，$b$互为相反数，根据相反数的性质可得：$a + b = 0$；
∵$c$，$d$互为倒数，根据倒数的性质可得：$cd = 1$；
将$a+b=0$、$cd=1$代入$\dfrac{cd}{5} × (a + b)$得：
原式$=\dfrac{1}{5}×0=0$
【答案】
0
【知识点】
相反数的性质；倒数的性质；有理数乘法运算
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是熟练掌握相反数、倒数的性质，结合有理数乘法的特殊运算规则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆相反数、倒数的基本性质：互为相反数的两个数之和为0，互为倒数的两个数的乘积为1。我们先根据这两个性质分别求出$a+b$和$cd$的值，再代入所求代数式计算即可，结合有理数乘法中“0乘任何数都得0”的规则，可以快速得出结果。
【解析】
解：
∵$a$，$b$互为相反数，根据相反数的性质可得：$a + b = 0$；
∵$c$，$d$互为倒数，根据倒数的性质可得：$cd = 1$；
将$a+b=0$、$cd=1$代入$\dfrac{cd}{5} × (a + b)$得：
原式$=\dfrac{1}{5}×0=0$
【答案】
0
【知识点】
相反数的性质；倒数的性质；有理数乘法运算
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是熟练掌握相反数、倒数的性质，结合有理数乘法的特殊运算规则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
11.计算：
(1)$(0.5 - 2 - \dfrac{4}{9} + \dfrac{5}{6} - \dfrac{7}{12}) × (-36)$；
(2)$(+\dfrac{22}{7}) × (\dfrac{22}{7} - \dfrac{22}{3}) × \dfrac{7}{22} × \dfrac{21}{22}$；
(3)$(-370) × (-\dfrac{1}{4}) + 0.25 × 24.5 + (+\dfrac{11}{2}) × \dfrac{1}{4}$。
(1)$(0.5 - 2 - \dfrac{4}{9} + \dfrac{5}{6} - \dfrac{7}{12}) × (-36)$；
(2)$(+\dfrac{22}{7}) × (\dfrac{22}{7} - \dfrac{22}{3}) × \dfrac{7}{22} × \dfrac{21}{22}$；
(3)$(-370) × (-\dfrac{1}{4}) + 0.25 × 24.5 + (+\dfrac{11}{2}) × \dfrac{1}{4}$。
答案
(1)61
(2)$-4$
(3)100
(2)$-4$
(3)100
解析
【分析】
拿到这三道有理数运算题，优先观察数字特征选择简便方法，避免硬算：
1. 第(1)题括号内分数的分母都是36的因数，乘-36可直接约去分母转化为整数运算，因此直接用乘法分配律展开计算，注意每一项都要带符号相乘；
2. 第(2)题有互为倒数的因数$\frac{22}{7}$和$\frac{7}{22}$，相乘得1，先利用乘法交换律、结合律调整运算顺序，再对剩余部分用乘法分配律简化；
3. 第(3)题每一项都含公因数$\frac{1}{4}$（0.25等于$\frac{1}{4}$），先统一所有项的形式，再逆用乘法分配律提取公因数，剩余部分相加刚好凑整，计算更简便。
【解析】
(1) 利用乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=0.5×(-36) + (-2)×(-36) + (-\frac{4}{9})×(-36) + \frac{5}{6}×(-36) + (-\frac{7}{12})×(-36)\\&=-18 + 72 + 16 - 30 + 21\\&=61\end{aligned}$
(2) 先利用乘法交换律、结合律调整运算顺序，再用分配律计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\frac{22}{7}×\frac{7}{22})×[(\frac{22}{7}-\frac{22}{3})×\frac{21}{22}]\\&=1×(\frac{22}{7}×\frac{21}{22} - \frac{22}{3}×\frac{21}{22})\\&=3 - 7\\&=-4\end{aligned}$
(3) 统一公因数，逆用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=370×\frac{1}{4} + 24.5×\frac{1}{4} + 5.5×\frac{1}{4}\\&=\frac{1}{4}×(370 + 24.5 + 5.5)\\&=\frac{1}{4}×400\\&=100\end{aligned}$
【答案】
(1)$61$；(2)$-4$；(3)$100$
【知识点】
乘法分配律；有理数乘法运算；简便运算
【点评】
这三道题是有理数乘除运算的典型简便计算题，核心是通过观察数字特征，灵活运用乘法交换律、结合律、分配律简化运算，既可以减少通分、硬算带来的计算量，也能降低出错概率，相关运算技巧需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
拿到这三道有理数运算题，优先观察数字特征选择简便方法，避免硬算：
1. 第(1)题括号内分数的分母都是36的因数，乘-36可直接约去分母转化为整数运算，因此直接用乘法分配律展开计算，注意每一项都要带符号相乘；
2. 第(2)题有互为倒数的因数$\frac{22}{7}$和$\frac{7}{22}$，相乘得1，先利用乘法交换律、结合律调整运算顺序，再对剩余部分用乘法分配律简化；
3. 第(3)题每一项都含公因数$\frac{1}{4}$（0.25等于$\frac{1}{4}$），先统一所有项的形式，再逆用乘法分配律提取公因数，剩余部分相加刚好凑整，计算更简便。
【解析】
(1) 利用乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=0.5×(-36) + (-2)×(-36) + (-\frac{4}{9})×(-36) + \frac{5}{6}×(-36) + (-\frac{7}{12})×(-36)\\&=-18 + 72 + 16 - 30 + 21\\&=61\end{aligned}$
(2) 先利用乘法交换律、结合律调整运算顺序，再用分配律计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\frac{22}{7}×\frac{7}{22})×[(\frac{22}{7}-\frac{22}{3})×\frac{21}{22}]\\&=1×(\frac{22}{7}×\frac{21}{22} - \frac{22}{3}×\frac{21}{22})\\&=3 - 7\\&=-4\end{aligned}$
(3) 统一公因数，逆用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=370×\frac{1}{4} + 24.5×\frac{1}{4} + 5.5×\frac{1}{4}\\&=\frac{1}{4}×(370 + 24.5 + 5.5)\\&=\frac{1}{4}×400\\&=100\end{aligned}$
【答案】
(1)$61$；(2)$-4$；(3)$100$
【知识点】
乘法分配律；有理数乘法运算；简便运算
【点评】
这三道题是有理数乘除运算的典型简便计算题，核心是通过观察数字特征，灵活运用乘法交换律、结合律、分配律简化运算，既可以减少通分、硬算带来的计算量，也能降低出错概率，相关运算技巧需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
12.【综合与实践】观察下列算式，寻找规律，利用规律解答后面的问题：
$1×3+1=4=2^2$，$2×4+1=9=3^2$，$3×5+1=16=4^2$，$4×6+1=25=5^2$，…。
(1)计算：$7×9+1=64=(\_\_\_\_\_\_)^2$；
(2)请你用找到的规律计算：$(1+\dfrac{1}{1×3})×(1+\dfrac{1}{2×4})×(1+\dfrac{1}{3×5})×\dots×(1+\dfrac{1}{9×11})$。
$1×3+1=4=2^2$，$2×4+1=9=3^2$，$3×5+1=16=4^2$，$4×6+1=25=5^2$，…。
(1)计算：$7×9+1=64=(\_\_\_\_\_\_)^2$；
(2)请你用找到的规律计算：$(1+\dfrac{1}{1×3})×(1+\dfrac{1}{2×4})×(1+\dfrac{1}{3×5})×\dots×(1+\dfrac{1}{9×11})$。
答案
(1)8
(2)原式$=\frac{1×3+1}{1×3}×\frac{2×4+1}{2×4}×\frac{3×5+1}{3×5}×…×\frac{9×11+1}{9×11}=\frac{2^2}{1×3}×\frac{3^2}{2×4}×\frac{4^2}{3×5}×…×\frac{10^2}{9×11}=2×\frac{10}{11}=\frac{20}{11}$。
(2)原式$=\frac{1×3+1}{1×3}×\frac{2×4+1}{2×4}×\frac{3×5+1}{3×5}×…×\frac{9×11+1}{9×11}=\frac{2^2}{1×3}×\frac{3^2}{2×4}×\frac{4^2}{3×5}×…×\frac{10^2}{9×11}=2×\frac{10}{11}=\frac{20}{11}$。
解析
【分析】
1. 先观察给出的已知算式，可总结出通用规律：对任意正整数n，都有$n×(n+2)+1=(n+1)^2$，可直接用该规律求解问题。
2. 第(1)问对应规律中n=7的情况，直接代入规律即可得到结果。
3. 第(2)问先把每个括号内的式子通分，可发现分子正好符合总结的规律，将分子替换为平方形式后展开所有项，通过交叉约分就能快速简化计算，无需逐项相乘。
【解析】
首先总结规律：观察已知算式可得，对任意正整数n，均满足$\boldsymbol{n(n+2)+1=(n+1)^2}$。
(1) 当n=7时，$7×9+1=(7+1)^2=8^2$，因此括号内填8。
(2) 对每个括号内的式子通分变形：$1+\frac{1}{n(n+2)}=\frac{n(n+2)+1}{n(n+2)}$，结合上述规律，分子可替换为$(n+1)^2$，因此原式可变形为：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{1×3+1}{1×3}×\frac{2×4+1}{2×4}×\frac{3×5+1}{3×5}×…×\frac{9×11+1}{9×11}\\&=\frac{2^2}{1×3}×\frac{3^2}{2×4}×\frac{4^2}{3×5}×…×\frac{10^2}{9×11}\\&=\frac{2×2}{1×3}×\frac{3×3}{2×4}×\frac{4×4}{3×5}×…×\frac{10×10}{9×11}\\&=2×\frac{10}{11}\\&=\frac{20}{11}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{8}$；(2) $\boxed{\dfrac{20}{11}}$
【知识点】
有理数乘除运算，数字规律探究，分数约分
【点评】
本题是典型的规律探究类计算题，解题核心是先从已知算式中归纳出通用规律，再将规律应用到计算中，通过约分简化复杂的连乘运算，能很好地考查学生的观察归纳能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
1. 先观察给出的已知算式，可总结出通用规律：对任意正整数n，都有$n×(n+2)+1=(n+1)^2$，可直接用该规律求解问题。
2. 第(1)问对应规律中n=7的情况，直接代入规律即可得到结果。
3. 第(2)问先把每个括号内的式子通分，可发现分子正好符合总结的规律，将分子替换为平方形式后展开所有项，通过交叉约分就能快速简化计算，无需逐项相乘。
【解析】
首先总结规律：观察已知算式可得，对任意正整数n，均满足$\boldsymbol{n(n+2)+1=(n+1)^2}$。
(1) 当n=7时，$7×9+1=(7+1)^2=8^2$，因此括号内填8。
(2) 对每个括号内的式子通分变形：$1+\frac{1}{n(n+2)}=\frac{n(n+2)+1}{n(n+2)}$，结合上述规律，分子可替换为$(n+1)^2$，因此原式可变形为：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{1×3+1}{1×3}×\frac{2×4+1}{2×4}×\frac{3×5+1}{3×5}×…×\frac{9×11+1}{9×11}\\&=\frac{2^2}{1×3}×\frac{3^2}{2×4}×\frac{4^2}{3×5}×…×\frac{10^2}{9×11}\\&=\frac{2×2}{1×3}×\frac{3×3}{2×4}×\frac{4×4}{3×5}×…×\frac{10×10}{9×11}\\&=2×\frac{10}{11}\\&=\frac{20}{11}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{8}$；(2) $\boxed{\dfrac{20}{11}}$
【知识点】
有理数乘除运算，数字规律探究，分数约分
【点评】
本题是典型的规律探究类计算题，解题核心是先从已知算式中归纳出通用规律，再将规律应用到计算中，通过约分简化复杂的连乘运算，能很好地考查学生的观察归纳能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
13.【数学游戏】某数学小组的10位同学站成一列做报数游戏，规则：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序的倒数的2倍加1，第1位同学报$(\dfrac{2}{1}+1)$，第2位同学报$(\dfrac{2}{2}+1)$，第3位同学报$(\dfrac{2}{3}+1)$……则得到的10个数的积为
66
。答案
66
解析
【分析】
解题时首先先梳理报数规律，第一步先将第n位同学的报数表达式化简，再写出10个数的乘积式子，观察乘积中分子分母的特点，通过交叉约分简化运算，无需逐一计算每个数的乘积即可快速得到结果。
【解析】
解：第n位同学报的数为：$\frac{2}{n}+1=\frac{n+2}{n}$
则10位同学报的数的积为：
$\frac{3}{1}×\frac{4}{2}×\frac{5}{3}×\frac{6}{4}×\frac{7}{5}×\frac{8}{6}×\frac{9}{7}×\frac{10}{8}×\frac{11}{9}×\frac{12}{10}$
对上述式子交叉约分后，剩余分子为$11×12$，剩余分母为$1×2$，计算得：
$\frac{11×12}{1×2}=66$
【答案】
66
【知识点】
有理数乘除运算，数字规律探究，分数约分
【点评】
本题结合趣味游戏考查有理数乘除的简便运算，解题核心是先化简报数表达式，再利用约分简化计算过程，能有效锻炼学生的规律观察能力和运算简化意识。
【难度系数】
0.7
解题时首先先梳理报数规律，第一步先将第n位同学的报数表达式化简，再写出10个数的乘积式子，观察乘积中分子分母的特点，通过交叉约分简化运算，无需逐一计算每个数的乘积即可快速得到结果。
【解析】
解：第n位同学报的数为：$\frac{2}{n}+1=\frac{n+2}{n}$
则10位同学报的数的积为：
$\frac{3}{1}×\frac{4}{2}×\frac{5}{3}×\frac{6}{4}×\frac{7}{5}×\frac{8}{6}×\frac{9}{7}×\frac{10}{8}×\frac{11}{9}×\frac{12}{10}$
对上述式子交叉约分后，剩余分子为$11×12$，剩余分母为$1×2$，计算得：
$\frac{11×12}{1×2}=66$
【答案】
66
【知识点】
有理数乘除运算，数字规律探究，分数约分
【点评】
本题结合趣味游戏考查有理数乘除的简便运算，解题核心是先化简报数表达式，再利用约分简化计算过程，能有效锻炼学生的规律观察能力和运算简化意识。
【难度系数】
0.7
