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典例1 在$-2,3.14,\dfrac{22}{7},π,1.\dot{8}$中，有理数的个数是(
A.5
B.4
C.3
D.2
B
).A.5
B.4
C.3
D.2
答案
B
解析
【分析】
解题前首先要明确有理数的判定规则：有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都可以转化为分数，因此都属于有理数；无限不循环小数不属于有理数。接下来我们只需逐个判断给出的5个数是否符合有理数的定义，统计符合要求的个数就能得到答案。
【解析】
我们对每个数逐一分析：
1. $-2$是整数，属于有理数；
2. $3.14$是有限小数，可转化为分数，属于有理数；
3. $\dfrac{22}{7}$是分数，属于有理数；
4. $π$是无限不循环小数，属于无理数，不是有理数；
5. $1.\dot{8}$是无限循环小数，可转化为分数，属于有理数。
综上，有理数共有4个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
有理数的概念；无理数的识别
【点评】
本题是有理数分类的基础题，解题的核心是牢记有理数的范畴，特别要注意π是典型的无限不循环小数，属于无理数，避免误判。
【难度系数】
0.8
解题前首先要明确有理数的判定规则：有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都可以转化为分数，因此都属于有理数；无限不循环小数不属于有理数。接下来我们只需逐个判断给出的5个数是否符合有理数的定义，统计符合要求的个数就能得到答案。
【解析】
我们对每个数逐一分析：
1. $-2$是整数，属于有理数；
2. $3.14$是有限小数，可转化为分数，属于有理数；
3. $\dfrac{22}{7}$是分数，属于有理数；
4. $π$是无限不循环小数，属于无理数，不是有理数；
5. $1.\dot{8}$是无限循环小数，可转化为分数，属于有理数。
综上，有理数共有4个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
有理数的概念；无理数的识别
【点评】
本题是有理数分类的基础题，解题的核心是牢记有理数的范畴，特别要注意π是典型的无限不循环小数，属于无理数，避免误判。
【难度系数】
0.8
举一反三 对于－6.91和0.3，下列说法正确的是(
A.只有－6.91是分数
B.只有0.3是分数
C.都不是分数
D.都是分数
D
).A.只有－6.91是分数
B.只有0.3是分数
C.都不是分数
D.都是分数
答案
D
解析
【分析】
解题时先回忆有理数中分数的相关定义：我们所学的有限小数和无限循环小数都可以转化为分数形式，因此都属于分数范畴。接下来分别判断两个数的属性：首先看-6.91是负的有限小数，再看0.3是正的有限小数，二者都符合分数的定义，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
根据有理数的分类规则，分数包含正分数和负分数，所有有限小数、无限循环小数都可以转化为分数形式，因此都属于分数。
-6.91是有限小数，可化为$-\frac{691}{100}$，属于负分数；
0.3是有限小数，可化为$\frac{3}{10}$，属于正分数；
因此两个数都是分数，故选D。
【答案】
D
【知识点】
有理数的分类；分数的定义
【点评】
本题是基础概念题，易错点是容易陷入“只有带分数线的数才是分数”的误区，解题时要紧扣分数的定义，明确有限小数也属于分数的范畴。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆有理数中分数的相关定义：我们所学的有限小数和无限循环小数都可以转化为分数形式，因此都属于分数范畴。接下来分别判断两个数的属性：首先看-6.91是负的有限小数，再看0.3是正的有限小数，二者都符合分数的定义，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
根据有理数的分类规则，分数包含正分数和负分数，所有有限小数、无限循环小数都可以转化为分数形式，因此都属于分数。
-6.91是有限小数，可化为$-\frac{691}{100}$，属于负分数；
0.3是有限小数，可化为$\frac{3}{10}$，属于正分数；
因此两个数都是分数，故选D。
【答案】
D
【知识点】
有理数的分类；分数的定义
【点评】
本题是基础概念题，易错点是容易陷入“只有带分数线的数才是分数”的误区，解题时要紧扣分数的定义，明确有限小数也属于分数的范畴。
【难度系数】
0.8
典例2 所有正有理数组成正有理数集合，所有负有理数组成负有理数集合，所有整数组成整数集合. 把下面的有理数填入它们属于的集合内：1，$\frac{1}{3}$，0，3.14，－6.4，－9，－26.
正有理数集合：{ …}.
负有理数集合：{ …}.
整数集合：{ …}.
规律方法 有理数分类要坚持的原则：
(1)分类不重合.(2)分类不遗漏.(3)分类标准要统一.
正有理数集合：{ …}.
负有理数集合：{ …}.
整数集合：{ …}.
规律方法 有理数分类要坚持的原则：
(1)分类不重合.(2)分类不遗漏.(3)分类标准要统一.
答案
解 正有理数集合：$\{1,\frac{1}{3},3.14,···\}$，负有理数集合：$\{-6.4,-9,-26,···\}$，整数集合：$\{1,0,-9,-26,···\}$
解析
【分析】
解题时首先要明确三类集合的定义：①正有理数是指大于0的有理数，包括正整数、正分数；②负有理数是指小于0的有理数，包括负整数、负分数；③整数包括正整数、0、负整数。其次要牢记0既不是正有理数也不是负有理数，有限小数属于分数范畴，也是有理数。接着逐个判断给出的有理数的归属，按照分类不重合、不遗漏的原则填入对应集合即可。
【解析】
第一步：明确各集合的定义
正有理数：大于0的有理数，包含正整数、正分数（有限小数属于分数范畴）；
负有理数：小于0的有理数，包含负整数、负分数；
整数：正整数、0、负整数的统称。
第二步：逐个判断给定数字的归属
1. $1$：是正整数，属于正有理数集合、整数集合；
2. $\frac{1}{3}$：是正分数，属于正有理数集合；
3. $0$：是整数，既不属于正有理数也不属于负有理数；
4. $3.14$：是正的有限小数，属于正分数，归入正有理数集合；
5. $-6.4$：是负的有限小数，属于负分数，归入负有理数集合；
6. $-9$：是负整数，属于负有理数集合、整数集合；
7. $-26$：是负整数，属于负有理数集合、整数集合。
第三步：将对应数字填入对应集合，末尾标注省略号。
【答案】
正有理数集合：$\{1,\frac{1}{3},3.14,···\}$，负有理数集合：$\{-6.4,-9,-26,···\}$，整数集合：$\{1,0,-9,-26,···\}$
【知识点】
有理数的分类、整数的概念、正负数的识别
【点评】
本题是有理数分类的基础题型，解题核心是准确掌握不同类型有理数的定义，尤其要注意0的特殊性，分类时需做到不重不漏。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确三类集合的定义：①正有理数是指大于0的有理数，包括正整数、正分数；②负有理数是指小于0的有理数，包括负整数、负分数；③整数包括正整数、0、负整数。其次要牢记0既不是正有理数也不是负有理数，有限小数属于分数范畴，也是有理数。接着逐个判断给出的有理数的归属，按照分类不重合、不遗漏的原则填入对应集合即可。
【解析】
第一步：明确各集合的定义
正有理数：大于0的有理数，包含正整数、正分数（有限小数属于分数范畴）；
负有理数：小于0的有理数，包含负整数、负分数；
整数：正整数、0、负整数的统称。
第二步：逐个判断给定数字的归属
1. $1$：是正整数，属于正有理数集合、整数集合；
2. $\frac{1}{3}$：是正分数，属于正有理数集合；
3. $0$：是整数，既不属于正有理数也不属于负有理数；
4. $3.14$：是正的有限小数，属于正分数，归入正有理数集合；
5. $-6.4$：是负的有限小数，属于负分数，归入负有理数集合；
6. $-9$：是负整数，属于负有理数集合、整数集合；
7. $-26$：是负整数，属于负有理数集合、整数集合。
第三步：将对应数字填入对应集合，末尾标注省略号。
【答案】
正有理数集合：$\{1,\frac{1}{3},3.14,···\}$，负有理数集合：$\{-6.4,-9,-26,···\}$，整数集合：$\{1,0,-9,-26,···\}$
【知识点】
有理数的分类、整数的概念、正负数的识别
【点评】
本题是有理数分类的基础题型，解题核心是准确掌握不同类型有理数的定义，尤其要注意0的特殊性，分类时需做到不重不漏。
【难度系数】
0.9
举一反三 把下面的有理数填入它们属于的集合内：$-\dfrac{3}{4}, -1.5, +\dfrac{22}{7}, 3, 2.7, -1, 2.$
正有理数集合：$\{ \dots \}.$
负有理数集合：$\{ \dots \}.$
整数集合：$\{ \dots \}.$
正有理数集合：$\{ \dots \}.$
负有理数集合：$\{ \dots \}.$
整数集合：$\{ \dots \}.$
答案
正有理数集合：$\{+\dfrac{22}{7},3,2.7,2,\dots\}$.
负有理数集合：$\{-\dfrac{3}{4}, -1.5,-1,\dots\}$.
整数集合：$\{3,-1,2,\dots\}$.
负有理数集合：$\{-\dfrac{3}{4}, -1.5,-1,\dots\}$.
整数集合：$\{3,-1,2,\dots\}$.
解析
【分析】
解题前先明确三类集合的定义：①正有理数指大于0的有理数，包含正整数、正分数（有限小数、无限循环小数都属于分数范畴）；②负有理数指小于0的有理数，包含负整数、负分数；③整数包含正整数、0、负整数。接下来只需逐个判断给出的7个有理数分别符合哪些集合的特征，依次填入对应集合即可，注意同一个数可能属于多个集合，不要漏填。
【解析】
我们逐个分析给出的数：
1. $-\dfrac{3}{4}$：小于0，是负分数，属于负有理数集合；
2. $-1.5$：小于0，是负有限小数（归为负分数），属于负有理数集合；
3. $+\dfrac{22}{7}$：大于0，是正分数，属于正有理数集合；
4. $3$：大于0的正整数，同时属于正有理数集合、整数集合；
5. $2.7$：大于0的有限小数（归为正分数），属于正有理数集合；
6. $-1$：小于0的负整数，同时属于负有理数集合、整数集合；
7. $2$：大于0的正整数，同时属于正有理数集合、整数集合。
将对应数填入各集合即可。
【答案】
正有理数集合：$\{+\dfrac{22}{7},3,2.7,2,\dots\}$
负有理数集合：$\{-\dfrac{3}{4}, -1.5,-1,\dots\}$
整数集合：$\{3,-1,2,\dots\}$
【知识点】
有理数的分类，整数的概念，正/负有理数判定
【点评】
本题是有理数分类的基础题型，核心考查对不同类型有理数定义的理解，解题时需注意有限小数和无限循环小数都归为分数类，分类时逐一核对即可避免漏填、错填。
【难度系数】
0.85
解题前先明确三类集合的定义：①正有理数指大于0的有理数，包含正整数、正分数（有限小数、无限循环小数都属于分数范畴）；②负有理数指小于0的有理数，包含负整数、负分数；③整数包含正整数、0、负整数。接下来只需逐个判断给出的7个有理数分别符合哪些集合的特征，依次填入对应集合即可，注意同一个数可能属于多个集合，不要漏填。
【解析】
我们逐个分析给出的数：
1. $-\dfrac{3}{4}$：小于0，是负分数，属于负有理数集合；
2. $-1.5$：小于0，是负有限小数（归为负分数），属于负有理数集合；
3. $+\dfrac{22}{7}$：大于0，是正分数，属于正有理数集合；
4. $3$：大于0的正整数，同时属于正有理数集合、整数集合；
5. $2.7$：大于0的有限小数（归为正分数），属于正有理数集合；
6. $-1$：小于0的负整数，同时属于负有理数集合、整数集合；
7. $2$：大于0的正整数，同时属于正有理数集合、整数集合。
将对应数填入各集合即可。
【答案】
正有理数集合：$\{+\dfrac{22}{7},3,2.7,2,\dots\}$
负有理数集合：$\{-\dfrac{3}{4}, -1.5,-1,\dots\}$
整数集合：$\{3,-1,2,\dots\}$
【知识点】
有理数的分类，整数的概念，正/负有理数判定
【点评】
本题是有理数分类的基础题型，核心考查对不同类型有理数定义的理解，解题时需注意有限小数和无限循环小数都归为分数类，分类时逐一核对即可避免漏填、错填。
【难度系数】
0.85
