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4.甲、乙两辆汽车分别从A、B两地相向运动，甲车比乙车早出发1.5 h，甲、乙两车恰好在中间位置相遇。已知甲、乙两车所用时间之比为3：2，甲车的平均速度为40 km/h，求：
(1)A、B两地间的距离。
(2)乙车的平均速度。
(1)A、B两地间的距离。
(2)乙车的平均速度。
答案
(1)A、B两地间的距离为 360 km。
(2)乙车的平均速度为 60 km/h。
(2)乙车的平均速度为 60 km/h。
解析
【分析】
首先，两车在中间位置相遇，说明甲、乙两车行驶的路程均为A、B两地距离的一半；其次，已知甲、乙两车所用时间之比为3:2，且甲车比乙车早出发1.5h，即甲车行驶时间比乙车多1.5h，据此可先求出两车各自的行驶时间；再利用速度公式$s=vt$计算甲车的路程，进而得到A、B两地总距离；最后根据乙车的路程和时间计算乙车的平均速度。
【解析】
设甲车所用时间为$3t$，乙车所用时间为$2t$。
因为甲车比乙车早出发1.5h，所以甲车比乙车多行驶的时间为：$3t - 2t = t = 1.5h$，解得$t=1.5h$。
(1) 甲车行驶的时间：$t_甲 = 3t = 3×1.5h = 4.5h$
根据速度公式$s=vt$，甲车行驶的路程：$s_甲 = v_甲t_甲 = 40km/h × 4.5h = 180km$
由于相遇时甲车行驶的路程为A、B两地距离的一半，因此A、B两地间的距离：$s = 2s_甲 = 2×180km = 360km$
(2) 乙车行驶的时间：$t_乙 = 2t = 2×1.5h = 3h$
相遇时乙车行驶的路程与甲车相等，即$s_乙 = s_甲 = 180km$，则乙车的平均速度：$v_乙 = \frac{s_乙}{t_乙} = \frac{180km}{3h} = 60km/h$
【答案】
(1) A、B两地间的距离为360 km；(2) 乙车的平均速度为60 km/h。
【知识点】
速度公式应用；相遇问题
【点评】
本题为基础行程相遇问题，核心是利用“相遇时两车路程相等”和“时间差”的关系，结合速度公式求解，解题思路清晰，适合中等水平学生作答。
【难度系数】
0.6
首先，两车在中间位置相遇，说明甲、乙两车行驶的路程均为A、B两地距离的一半；其次，已知甲、乙两车所用时间之比为3:2，且甲车比乙车早出发1.5h，即甲车行驶时间比乙车多1.5h，据此可先求出两车各自的行驶时间；再利用速度公式$s=vt$计算甲车的路程，进而得到A、B两地总距离；最后根据乙车的路程和时间计算乙车的平均速度。
【解析】
设甲车所用时间为$3t$，乙车所用时间为$2t$。
因为甲车比乙车早出发1.5h，所以甲车比乙车多行驶的时间为：$3t - 2t = t = 1.5h$，解得$t=1.5h$。
(1) 甲车行驶的时间：$t_甲 = 3t = 3×1.5h = 4.5h$
根据速度公式$s=vt$，甲车行驶的路程：$s_甲 = v_甲t_甲 = 40km/h × 4.5h = 180km$
由于相遇时甲车行驶的路程为A、B两地距离的一半，因此A、B两地间的距离：$s = 2s_甲 = 2×180km = 360km$
(2) 乙车行驶的时间：$t_乙 = 2t = 2×1.5h = 3h$
相遇时乙车行驶的路程与甲车相等，即$s_乙 = s_甲 = 180km$，则乙车的平均速度：$v_乙 = \frac{s_乙}{t_乙} = \frac{180km}{3h} = 60km/h$
【答案】
(1) A、B两地间的距离为360 km；(2) 乙车的平均速度为60 km/h。
【知识点】
速度公式应用；相遇问题
【点评】
本题为基础行程相遇问题，核心是利用“相遇时两车路程相等”和“时间差”的关系，结合速度公式求解，解题思路清晰，适合中等水平学生作答。
【难度系数】
0.6
5.小明家离学校2 km，他以5 km/h的速度步行上学。出发5 min后，小明的父亲发现小明忘记带上教科书，他立即以10 km/h的速度沿小明上学的方向骑车去追小明。
(1)小明的父亲经过多少分能追上小明？
(2)如果小明的父亲发现小明忘记带教科书的同时，小明也发现自己忘记带上教科书并立即原速返回，那么小明与父亲在途中相遇时离学校多少千米？（计算结果保留两位小数）
(1)小明的父亲经过多少分能追上小明？
(2)如果小明的父亲发现小明忘记带教科书的同时，小明也发现自己忘记带上教科书并立即原速返回，那么小明与父亲在途中相遇时离学校多少千米？（计算结果保留两位小数）
答案
(1)小明的父亲经过 5 min 能追上小明。
(2)小明与父亲在途中相遇时离学校 1.72 km。
(2)小明与父亲在途中相遇时离学校 1.72 km。
解析
【分析】
这是匀速直线运动的追及与相遇问题，解题核心是利用速度公式$v=\frac{s}{t}$，结合追及时路程相等、相遇时路程和等于初始距离的关系，需先统一时间单位（分钟转换为小时）。第(1)问中，父亲追上小明时，两人运动路程相同，小明的运动时间比父亲多5分钟；第(2)问中，父亲出发时小明返回，两人相向而行，相遇时总路程等于小明先出发5分钟走的路程。
【解析】
(1) 求父亲追上小明的时间
设父亲经过$ t $小时追上小明，小明先出发的时间为$ 5\ \mathrm{min} = \frac{5}{60}\ \mathrm{h} = \frac{1}{12}\ \mathrm{h} $。
父亲追上小明时，两人运动路程相等，根据$ s=vt $列方程：
$v_{\mathrm{明}}(t + \frac{1}{12}) = v_{\mathrm{父}}t$
代入$ v_{\mathrm{明}}=5\ \mathrm{km/h} $、$ v_{\mathrm{父}}=10\ \mathrm{km/h} $：
$5(t + \frac{1}{12}) = 10t$
计算得：
$5t + \frac{5}{12} = 10t \implies 5t = \frac{5}{12} \implies t = \frac{1}{12}\ \mathrm{h} = 5\ \mathrm{min}$
(2) 求相遇时离学校的距离
父亲出发时，小明已走的路程：
$s_0 = v_{\mathrm{明}} × \frac{5}{60} = 5 × \frac{1}{12} = \frac{5}{12}\ \mathrm{km}$
小明返回后，与父亲相向而行，相对速度：
$v_{\mathrm{相对}} = v_{\mathrm{明}} + v_{\mathrm{父}} = 5 + 10 = 15\ \mathrm{km/h}$
相遇时间：
$t' = \frac{s_0}{v_{\mathrm{相对}}} = \frac{\frac{5}{12}}{15} = \frac{1}{36}\ \mathrm{h}$
父亲行驶的路程：
$s_{\mathrm{父}} = v_{\mathrm{父}}t' = 10 × \frac{1}{36} \approx 0.2778\ \mathrm{km}$
相遇时离学校的距离：
$s_{\mathrm{校}} = 2 - s_{\mathrm{父}} \approx 2 - 0.2778 = 1.72\ \mathrm{km}$
【答案】
(1) 5 min；(2) 1.72 km
【知识点】
匀速直线运动的速度公式、追及与相遇问题
【点评】
本题是匀速直线运动的典型应用，重点考查速度公式的灵活运用，需注意时间单位的统一，区分追及和相遇问题的路程关系，难度适中，适合初中学生巩固基础。
【难度系数】
0.5
这是匀速直线运动的追及与相遇问题，解题核心是利用速度公式$v=\frac{s}{t}$，结合追及时路程相等、相遇时路程和等于初始距离的关系，需先统一时间单位（分钟转换为小时）。第(1)问中，父亲追上小明时，两人运动路程相同，小明的运动时间比父亲多5分钟；第(2)问中，父亲出发时小明返回，两人相向而行，相遇时总路程等于小明先出发5分钟走的路程。
【解析】
(1) 求父亲追上小明的时间
设父亲经过$ t $小时追上小明，小明先出发的时间为$ 5\ \mathrm{min} = \frac{5}{60}\ \mathrm{h} = \frac{1}{12}\ \mathrm{h} $。
父亲追上小明时，两人运动路程相等，根据$ s=vt $列方程：
$v_{\mathrm{明}}(t + \frac{1}{12}) = v_{\mathrm{父}}t$
代入$ v_{\mathrm{明}}=5\ \mathrm{km/h} $、$ v_{\mathrm{父}}=10\ \mathrm{km/h} $：
$5(t + \frac{1}{12}) = 10t$
计算得：
$5t + \frac{5}{12} = 10t \implies 5t = \frac{5}{12} \implies t = \frac{1}{12}\ \mathrm{h} = 5\ \mathrm{min}$
(2) 求相遇时离学校的距离
父亲出发时，小明已走的路程：
$s_0 = v_{\mathrm{明}} × \frac{5}{60} = 5 × \frac{1}{12} = \frac{5}{12}\ \mathrm{km}$
小明返回后，与父亲相向而行，相对速度：
$v_{\mathrm{相对}} = v_{\mathrm{明}} + v_{\mathrm{父}} = 5 + 10 = 15\ \mathrm{km/h}$
相遇时间：
$t' = \frac{s_0}{v_{\mathrm{相对}}} = \frac{\frac{5}{12}}{15} = \frac{1}{36}\ \mathrm{h}$
父亲行驶的路程：
$s_{\mathrm{父}} = v_{\mathrm{父}}t' = 10 × \frac{1}{36} \approx 0.2778\ \mathrm{km}$
相遇时离学校的距离：
$s_{\mathrm{校}} = 2 - s_{\mathrm{父}} \approx 2 - 0.2778 = 1.72\ \mathrm{km}$
【答案】
(1) 5 min；(2) 1.72 km
【知识点】
匀速直线运动的速度公式、追及与相遇问题
【点评】
本题是匀速直线运动的典型应用，重点考查速度公式的灵活运用，需注意时间单位的统一，区分追及和相遇问题的路程关系，难度适中，适合初中学生巩固基础。
【难度系数】
0.5
