7. 如图,将正六边形 ABCDEF 放入平面直角坐标系中,若点 A、B、E 的坐标分别为$(a,b)$、$(3,1)$、$(-a,b)$,则点 D 的坐标为 （ ）
A.$(1,3)$
B.$(3,-1)$
C.$(-1,-3)$
D.$(-3,1)$

（第7题）

（第8题）

（第9题）

D

8. 如图,若在象棋盘上建立平面直角坐标系,使得“将”位于点$(1,-2)$,"象"位于点$(3,-2)$,则“炮”位于点 （ ）
A. $(1,3)$
B. $(4,1)$
C. $(-1,2)$
D. $(-2,2)$

B

9. 如图,在 $ x $ 轴、$ y $ 轴上分别截取 $ OA $、$ OB $,使 $ OA = OB $,再分别以点 $ A $ 和点 $ B $ 为圆心、大于 $ \frac{1}{2}AB $ 的长为半径画弧,两弧交于点 $ P $.若点 $ P $ 的坐标为 $ (a,2a - 3) $,则 $ a $ 的值为 ______.

$3$

10. 如图,在平面直角坐标系中,点 A 在 x 轴上,已知点 C 的横坐标为 3,$AC=2,OC=2\sqrt{3}$,$CB ⊥ OA$,垂足为 B.请你判断$△ AOC$的形状,并说明理由.

解：因为点$C$的横坐标为$3，$$CB\perp OA，$所以$OB = 3，$$\angle OBC=\angle ABC = 90^{\circ}。$ 在$Rt\triangle OBC$中，根据勾股定理$BC=\sqrt{OC^{2}-OB^{2}}，$已知$OC = 2\sqrt{3}，$$OB = 3，$则$BC=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}-3^{2}}=\sqrt{12 - 9}=\sqrt{3}。$ 在$Rt\triangle ABC$中，$AC = 2，$根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}-BC^{2}}=\sqrt{2^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{4 - 3}=1。$ 所以$OA=OB + AB=3 + 1 = 4。$ 又因为$OC^{2}+AC^{2}=(2\sqrt{3})^{2}+2^{2}=12 + 4 = 16，$$OA^{2}=4^{2}=16，$所以$OC^{2}+AC^{2}=OA^{2}。$ 根据勾股定理的逆定理可知，$\triangle AOC$是直角三角形。

11. 如图,方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度,学校的位置坐标为$A(2,1)$,图书馆的位置坐标为$B(-1,-2)$,解答下列问题:
(1)在图中建立平面直角坐标系,并标出坐标原点$O$.
(2)若体育馆的位置坐标为$C(1,3)$,请在坐标系中标出体育馆的位置$C$.
(3)将点$C$绕原点顺时针旋转$90°$得到点$D$,直接写出点$D$的坐标.
(4)顺次连接学校、图书馆、体育馆,得到$△ ABC$,求$△ ABC$的面积.

解：（1）(2)如图所示 （3）$D(3,-1)$ （4）解：$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times3\times1+\frac{1}{2}\times3\times2=\frac{3}{2}+3=\frac{9}{2}$ 。