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(1) 用三根同样长的铁丝分别围成一个正方形、一个长方形和一个圆,面积最大的是(
A.正方形
B.长方形
C.圆
D.无法确定
C
)。A.正方形
B.长方形
C.圆
D.无法确定
答案
C
解析
设三根铁丝的长度均为L。正方形的边长为L/4，面积为(L/4)²=L²/16。长方形的长和宽为a、b，满足2(a+b)=L，设a≠b，则面积ab＜ (L/4)²（当a=b时为正方形，但a≠b时面积更小）。圆的周长为L，半径为L/(2π)，面积为π(L/(2π))²=L²/(4π)。由于4π≈12.56 ＜ 16，故L²/(4π) ＞ L²/16。因此圆的面积最大。
(2) 如果小圆的直径等于大圆的半径,那么大圆的面积是小圆的(
A.8 倍
B.6 倍
C.4 倍
D.2 倍
C
)。A.8 倍
B.6 倍
C.4 倍
D.2 倍
答案
C
解析
设小圆直径为$d$，则大圆半径为$d$，
小圆半径为$\frac{d}{2}$，
大圆面积为：$\pi d^2$，
小圆面积为：$\pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$，
大圆面积与小圆面积的比值为：$\frac{\pi d^2}{\frac{\pi d^2}{4}} = 4$。
小圆半径为$\frac{d}{2}$，
大圆面积为：$\pi d^2$，
小圆面积为：$\pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$，
大圆面积与小圆面积的比值为：$\frac{\pi d^2}{\frac{\pi d^2}{4}} = 4$。
(3) 如图,两个大小相同的正方形,关于两个图形中涂色的部分,叙述正确的是(
A.两个涂色部分的周长相等,面积不相等
B.两个涂色部分的周长和面积都相等
C.两个涂色部分的周长不相等,面积相等
D.两个涂色部分的周长和面积都不相等
B
)。A.两个涂色部分的周长相等,面积不相等
B.两个涂色部分的周长和面积都相等
C.两个涂色部分的周长不相等,面积相等
D.两个涂色部分的周长和面积都不相等
答案
B
解析
设正方形边长为$a$，半径$r = \frac{a}{2}$。
面积比较：
左图涂色部分（若为2个半圆）面积：$2×\frac{1}{2}\pi r^2=\pi r^2=\pi(\frac{a}{2})^2=\frac{\pi a^2}{4}$；
右图涂色部分（若为4个四分之一圆）面积：$4×\frac{1}{4}\pi r^2=\pi r^2=\frac{\pi a^2}{4}$。
二者面积相等。
周长比较：
左图涂色部分周长：2个半圆弧长之和$=2×\frac{1}{2}×2\pi r=2\pi r=\pi a$；
右图涂色部分周长：4个四分之一圆弧长之和$=4×\frac{1}{4}×2\pi r=2\pi r=\pi a$。
二者周长相等。
面积比较：
左图涂色部分（若为2个半圆）面积：$2×\frac{1}{2}\pi r^2=\pi r^2=\pi(\frac{a}{2})^2=\frac{\pi a^2}{4}$；
右图涂色部分（若为4个四分之一圆）面积：$4×\frac{1}{4}\pi r^2=\pi r^2=\frac{\pi a^2}{4}$。
二者面积相等。
周长比较：
左图涂色部分周长：2个半圆弧长之和$=2×\frac{1}{2}×2\pi r=2\pi r=\pi a$；
右图涂色部分周长：4个四分之一圆弧长之和$=4×\frac{1}{4}×2\pi r=2\pi r=\pi a$。
二者周长相等。
2. 如图,实验小学的运动场由一个长方形和两个半圆组成。这个运动场的周长和面积分别是多少？
答案
周长：
C = 3.14×50 + 120×2
= 157 + 240
= 397(m)
面积：
r = 50÷2 = 25(m)
S = 120×50 + 3.14×25²
= 6000 + 3.14×625
= 6000 + 1962.5
= 7962.5(m²)
答：这个运动场的周长是397m，面积是7962.5m²。
C = 3.14×50 + 120×2
= 157 + 240
= 397(m)
面积：
r = 50÷2 = 25(m)
S = 120×50 + 3.14×25²
= 6000 + 3.14×625
= 6000 + 1962.5
= 7962.5(m²)
答：这个运动场的周长是397m，面积是7962.5m²。
3. 一张可折叠的圆桌,半径是 $0.6$ m,折叠后成了正方形(如图)。折叠部分的面积约是多少平方米？(得数保留两位小数)
答案
1. 计算圆桌的面积：
$S_{圆} = \pi r^{2} = 3.14 × 0.6^{2} = 1.1304$（$m^{2}$）
2. 计算折叠后正方形的面积：
根据正方形面积公式$S = a^{2}$（$a$为正方形边长），由图可知正方形对角线长等于圆的直径，即$2×0.6 = 1.2$ $m$。
设正方形边长为$a$，根据勾股定理$a^{2}+a^{2}=1.2^{2}$，即$2a^{2}=1.44$，那么$a^{2}=0.72$，所以$S_{正}=0.72$ $m^{2}$。
3. 计算折叠部分的面积：
$S = S_{圆}-S_{正}=1.1304 - 0.72\approx0.41$（$m^{2}$）
答：折叠部分的面积约是$0.41$ $m^{2}$。
$S_{圆} = \pi r^{2} = 3.14 × 0.6^{2} = 1.1304$（$m^{2}$）
2. 计算折叠后正方形的面积：
根据正方形面积公式$S = a^{2}$（$a$为正方形边长），由图可知正方形对角线长等于圆的直径，即$2×0.6 = 1.2$ $m$。
设正方形边长为$a$，根据勾股定理$a^{2}+a^{2}=1.2^{2}$，即$2a^{2}=1.44$，那么$a^{2}=0.72$，所以$S_{正}=0.72$ $m^{2}$。
3. 计算折叠部分的面积：
$S = S_{圆}-S_{正}=1.1304 - 0.72\approx0.41$（$m^{2}$）
答：折叠部分的面积约是$0.41$ $m^{2}$。
4. 一块正方形的草坪,边长是 $12$ m,在两个对角的顶点处各固定一个射程是 $12$ m 的自动喷水装置。如果这两个喷水装置同时开启,它们能重复喷洒到的草坪的面积是多少平方米？
答案
$82.08$平方米。
解析
1. 正方形对角线长：$d=12\sqrt{2}\ m$（两喷头间距）。
2. 两圆半径$r=12\ m$，$d=12\sqrt{2}\approx16.97\ m$，两圆相交。
3. 圆心角计算：在$\triangle O_1AO_2$中，$O_1A=O_2A=12\ m$，$O_1O_2=12\sqrt{2}\ m$，由勾股定理逆定理得$\angle AO_1B=90°$（圆心角）。
4. 扇形面积：$S_{扇形}=\frac{90}{360}×\pi×12^2=36\pi\ m^2$，两扇形面积和$2×36\pi=72\pi\ m^2$。
5. 四边形$O_1AO_2B$面积：$2×\left(\frac{12×12}{2}\right)=144\ m^2$（两个等腰直角三角形）。
6. 重叠面积：$72\pi - 144=72×3.14 - 144=82.08\ m^2$。
2. 两圆半径$r=12\ m$，$d=12\sqrt{2}\approx16.97\ m$，两圆相交。
3. 圆心角计算：在$\triangle O_1AO_2$中，$O_1A=O_2A=12\ m$，$O_1O_2=12\sqrt{2}\ m$，由勾股定理逆定理得$\angle AO_1B=90°$（圆心角）。
4. 扇形面积：$S_{扇形}=\frac{90}{360}×\pi×12^2=36\pi\ m^2$，两扇形面积和$2×36\pi=72\pi\ m^2$。
5. 四边形$O_1AO_2B$面积：$2×\left(\frac{12×12}{2}\right)=144\ m^2$（两个等腰直角三角形）。
6. 重叠面积：$72\pi - 144=72×3.14 - 144=82.08\ m^2$。
5. 如图,已知各圆的面积都是 $3.14$ cm^2,涂色部分的面积是多少平方厘米？
答案
$ 0.86 $ 平方厘米。
解析
1. 由圆面积公式 $ S = \pi r^2 $，得 $ 3.14 = 3.14r^2 $，解得 $ r^2 = 1 $，$ r = 1 \, cm $，直径 $ d = 2r = 2 \, cm $。
2. 四个圆心构成正方形，边长为 $ d = 2 \, cm $，正方形面积 $ = 2 × 2 = 4 \, cm^2 $。
3. 四个扇形圆心角均为 $ 90° $，总面积 $ = 4 × \frac{90°}{360°} × 3.14 = 3.14 \, cm^2 $（即一个圆面积）。
4. 涂色面积 $ = 4 - 3.14 = 0.86 \, cm^2 $。
2. 四个圆心构成正方形，边长为 $ d = 2 \, cm $，正方形面积 $ = 2 × 2 = 4 \, cm^2 $。
3. 四个扇形圆心角均为 $ 90° $，总面积 $ = 4 × \frac{90°}{360°} × 3.14 = 3.14 \, cm^2 $（即一个圆面积）。
4. 涂色面积 $ = 4 - 3.14 = 0.86 \, cm^2 $。
