6. 如图,点P是$\triangle ABC$内一点,且$PA = PB = PC$,则点P是()

A.$\triangle ABC$三边垂直平分线的交点
B.$\triangle ABC$三条角平分线的交点
C.$\triangle ABC$三条高的交点
D.$\triangle ABC$三条中线的交点

A

因为$PA=PB=PC$，点P到$\triangle ABC$的三个顶点的距离相等。根据垂直平分线的性质，三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，所以点P是三角形三边垂直平分线的交点。

7. 如图,在平面直角坐标系中,$\triangle ABC$的顶点都在格点上,如果将$\triangle ABC$先沿y轴翻折,再向上平移3个单位长度,得到$\triangle A'B'C'$,那么点B的对应点$B'$的坐标为()

A.$(1,7)$
B.$(0,5)$
C.$(3,4)$
D.$(-3,2)$

C

由图可知点$B$坐标为$(-3,1)$，
将$\triangle ABC$先沿$y$轴翻折，根据关于$y$轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得翻折后点$B$对应点的坐标为$(3,1)$。
再将$(3,1)$向上平移$3$个单位长度，根据点在坐标平面中上下平移时纵坐标的变化规律：上加下减，横坐标不变，可得平移后点$B$的对应点$B'$的坐标为$(3,1 + 3)=(3,4)$。

8. 半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系是()
A.$a ＜ b ＜ c$
B.$b ＜ a ＜ c$
C.$a ＜ c ＜ b$
D.$c ＜ b ＜ a$

A

正三角形边心距：$a = R\cos60° = \frac{1}{2}R$
正方形边心距：$b = R\cos45° = \frac{\sqrt{2}}{2}R \approx 0.707R$
正六边形边心距：$c = R\cos30° = \frac{\sqrt{3}}{2}R \approx 0.866R$
比较大小：$\frac{1}{2}R ＜ \frac{\sqrt{2}}{2}R ＜ \frac{\sqrt{3}}{2}R$，即$a ＜ b ＜ c$

9. 如图,$\triangle ABC$和$\triangle DBC$均为等腰三角形,$\angle A = 60^{\circ}$,$\angle D = 90^{\circ}$,$AB = 12$.若点E,F,G,H分别为边AB,AC,CD,BD的中点,则四边形EFGH的面积为()

A.$36(\sqrt{3}+1)$
B.$18(\sqrt{3}+1)$
C.$12(\sqrt{3}+1)$
D.$9(\sqrt{3}+1)$

B

∵△ABC为等腰三角形，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=12。
∵△DBC为等腰三角形，∠D=90°，∴△DBC是等腰直角三角形，BC=12（公共底边）。设DB=DC=x，由勾股定理得$x\sqrt{2}=12$，∴$x=6\sqrt{2}$。
以BC中点O为原点，BC为x轴，BC中垂线为y轴建立坐标系：
B(-6,0)，C(6,0)，A(0,6√3)（等边三角形高$h=6\sqrt{3}$），D(0,-6)（等腰直角三角形斜边上的高为6）。
求中点坐标：
E(AB中点)：$(\frac{-6+0}{2},\frac{0+6\sqrt{3}}{2})=(-3,3\sqrt{3})$
F(AC中点)：$(\frac{6+0}{2},\frac{0+6\sqrt{3}}{2})=(3,3\sqrt{3})$
G(CD中点)：$(\frac{6+0}{2},\frac{0-6}{2})=(3,-3)$
H(BD中点)：$(\frac{-6+0}{2},\frac{0-6}{2})=(-3,-3)$
四边形EFGH为矩形：
EF=6（水平距离：3-(-3)=6），FG=3√3+3（竖直距离：3√3-(-3)=3√3+3）。
面积=EF×FG=6×(3√3+3)=18(√3+1)。