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10.(1)如图①，在$\triangle ABC$中，点$D$，$E$，$Q$分别在$AB$，$AC$，$BC$上，且$DE // BC$，$AQ$交$DE$于点$P$，求证$\frac{DP}{BQ}=\frac{PE}{QC}$.
(2)如图，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC=90°$，正方形$DEFG$的四个顶点在$\triangle ABC$的边上，连接$AG$，$AF$分别交$DE$于点$M$，$N$.
①如图②，若$AB=AC=1$，请直接写出$MN$的长.
②如图③，求证$MN^2=DM · EN$.
(2)如图，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC=90°$，正方形$DEFG$的四个顶点在$\triangle ABC$的边上，连接$AG$，$AF$分别交$DE$于点$M$，$N$.
①如图②，若$AB=AC=1$，请直接写出$MN$的长.
②如图③，求证$MN^2=DM · EN$.
答案
10.(1)在$\triangle ABQ$中,$\because DP // BQ$,
$\therefore \triangle ADP \sim \triangle ABQ$,$\therefore \frac{DP}{BQ} = \frac{AP}{AQ}$.
同理在$\triangle ACQ$中,$\frac{PE}{QC} = \frac{AP}{AQ}$,$\therefore \frac{DP}{BQ} = \frac{PE}{QC}$.
(2) ①$\frac{\sqrt{2}}{9}$.
② 提示: 利用$\frac{DM}{BG} = \frac{MN}{GF} = \frac{NE}{FC}$,
$\triangle DBG \sim \triangle CEF$.
$\therefore \triangle ADP \sim \triangle ABQ$,$\therefore \frac{DP}{BQ} = \frac{AP}{AQ}$.
同理在$\triangle ACQ$中,$\frac{PE}{QC} = \frac{AP}{AQ}$,$\therefore \frac{DP}{BQ} = \frac{PE}{QC}$.
(2) ①$\frac{\sqrt{2}}{9}$.
② 提示: 利用$\frac{DM}{BG} = \frac{MN}{GF} = \frac{NE}{FC}$,
$\triangle DBG \sim \triangle CEF$.
