4.对于函数$y = \frac{2}{x}$，当函数值$y ＜ - 1$时，自变量$x$的取值范围是.

4.−2＜x＜0

解：由题意得$\frac{2}{x} ＜ -1$，因为$y ＜ -1$，所以$x ＜ 0$，不等式两边同时乘以$x$（负数），不等号方向改变，得$2 ＞ -x$，即$x ＞ -2$，所以$-2 ＜ x ＜ 0$。

5.如图，反比例函数$y = \frac{m - 5}{x}$图象的一支在第一象限，根据图象可知常数$m$的取值范围是.

5.m＞5

解：因为反比例函数$y = \frac{m - 5}{x}$的图象一支在第一象限，所以$m - 5 ＞ 0$，解得$m ＞ 5$。
$m ＞ 5$

6.如图，已知点$A(3,3)$，$B(3,1)$，反比例函数$y = \frac{k}{x}(k \neq 0)$图象的一支与线段$AB$有交点，写出一个符合条件的$k$的数值：.

6.(答案不唯一，满足3≤k≤9均可)

解：因为点$A(3,3)$，$B(3,1)$在直线$x = 3$上，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象与线段$AB$有交点，所以当$x = 3$时，$y$的取值范围是$1\leqslant y\leqslant 3$。
将$x = 3$代入$y=\frac{k}{x}$，得$y=\frac{k}{3}$，所以$1\leqslant\frac{k}{3}\leqslant 3$，解得$3\leqslant k\leqslant 9$。
故符合条件的$k$的数值可以是$3$（答案不唯一，满足$3\leqslant k\leqslant 9$均可）。

7.如图，一次函数$y = 2x - 4$的图象与反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象交于$A,B$两点，且点$A$的横坐标为$3$.
(1)求反比例函数的解析式.
(2)求点$B$的坐标.

7.(1)反比例函数的解析式是y=$\frac{6}{x}$.　(2)(−1,−6).

(1)解：将$x=3$代入$y=2x - 4$，得$y=2×3 - 4=2$，则点$A$的坐标为$(3,2)$。
因为点$A$在反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象上，所以$2=\frac{k}{3}$，解得$k=6$，故反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$。
(2)解：联立方程组$\begin{cases}y = 2x - 4\\y=\frac{6}{x}\end{cases}$，将$y=2x - 4$代入$y=\frac{6}{x}$，得$2x - 4=\frac{6}{x}$，两边同乘$x$得$2x^{2}-4x=6$，化简为$x^{2}-2x - 3=0$，因式分解得$(x - 3)(x + 1)=0$，解得$x_{1}=3$，$x_{2}=-1$。
当$x=-1$时，$y=2×(-1)-4=-6$，所以点$B$的坐标为$(-1,-6)$。

8.已知关于$x$的一元二次方程$x^{2} + 2x + 1 - k = 0$无实数根，则函数$y = kx$与函数$y = \frac{2}{x}$的图象交点个数为().

A.$0$个
B.$1$个
C.$2$个
D.$3$个

8.A

∵关于$x$的一元二次方程$x^{2} + 2x + 1 - k = 0$无实数根，
$\Delta = 2^{2}-4×1×(1 - k)=4 - 4 + 4k=4k$，
$\therefore 4k＜0$，解得$k＜0$。
联立$\begin{cases}y = kx \\ y=\dfrac{2}{x} \end{cases}$，得$kx=\dfrac{2}{x}$，
$kx^{2}=2$，$x^{2}=\dfrac{2}{k}$。
$\because k＜0$，$\dfrac{2}{k}＜0$，而$x^{2}\geq0$，
$\therefore$方程$x^{2}=\dfrac{2}{k}$无实数解，
$\therefore$函数$y = kx$与函数$y=\dfrac{2}{x}$的图象交点个数为$0$个。
A

9.如图，点$A,B$在反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象上，延长$AB$交$x$轴于点$C$，若$\bigtriangleup AOC$的面积是$12$，且点$B$是$AC$的中点，则$k =$.

9.作AM⊥OC于点M,BN⊥OC于点N，
　　　　　　　
　设OM=a,
∵点A在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴AM=$\frac{k}{a}$.
∵点B是AC的中点，
∴AB=BC.
　又
∵AM⊥OC,BN⊥OC,
∴BN//AM.
∴BN为Rt△AMC的中位线.
∴NM=NC,BN=$\frac{1}{2}$AM=$\frac{k}{2a}$.
∵点B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴ON=2a,
　又
∵OM=a,
∴OM=MN=NC=a.
∴OC=3a.
∴S△AOC=$\frac{1}{2}$·OC·AM=$\frac{1}{2}$×3a×$\frac{k}{a}$=$\frac{3}{2}$k=12.
　解得k=8.

10.定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于$1$的点叫做这个函数图象的“近轴点”.例如，点$(0,1)$是函数$y = x + 1$图象的“近轴点”.
(1)下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是(填序号).
①$y = - x + 3$；②$y = \frac{2}{x}$；③$y = - x^{2} + 2x - 1$.
(2)若一次函数$y = mx - 3m$的图象上存在“近轴点”，则$m$的取值范围为.

10.(1)③　(2)−$\frac{1}{2}$≤m≤0或0＜m≤$\frac{1}{2}$

(1)③
(2)$-\dfrac{1}{2}\leq m\leq 0$或$0＜m\leq \dfrac{1}{2}$