7. 近视眼镜的度数 $y$(度)与镜片焦距 $x(m)$ 成反比例,已知 400 度近视眼镜镜片的焦距为 $0.25 m$,则 $y$ 与 $x$ 的函数关系式为()
A.$y = \frac{400}{x}$
B.$y = \frac{1}{4x}$
C.$y = \frac{100}{x}$
D.$y = \frac{1}{400x}$

C

设$y$与$x$的函数关系式为$y = \frac{k}{x}$（$k$为常数，$k \neq 0$）。
已知当$y = 400$时，$x = 0.25$，代入函数关系式得：$400 = \frac{k}{0.25}$，解得$k = 400 × 0.25 = 100$。
所以$y$与$x$的函数关系式为$y = \frac{100}{x}$。
C

8. 函数 $y = \frac{1 - k}{x}$ 的图像与直线 $y = x$ 的图像没有交点,那么 $k$ 的取值范围是()
A.$k ＞ 1$
B.$k ＜ 1$
C.$k ＞ -1$
D.$k ＜ -1$

A

要判断函数$y = \frac{1 - k}{x}$的图像与直线$y = x$的图像是否有交点，可联立方程：
$\begin{cases}y = \frac{1 - k}{x} \\y = x\end{cases}$
将$y = x$代入$y = \frac{1 - k}{x}$，得：
$x = \frac{1 - k}{x}$
两边同乘$x$（$x \neq 0$），整理得：
$x^2 = 1 - k$
因为两图像没有交点，所以方程$x^2 = 1 - k$无实数解。由于$x^2 \geq 0$，当$1 - k ＜ 0$时，方程无实数解，解得$k ＞ 1$。
A

9. 如图,两个反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 和 $y = -\frac{2}{x}$ 的图像分别是 $l_1$ 和 $l_2$. 设点 $P$ 在 $l_1$ 上,$PC \perp x$ 轴,垂足为 $C$,$PC$ 交 $l_2$ 于点 $A$；$PD \perp y$ 轴,垂足为 $D$,$PD$ 交 $l_2$ 于点 $B$,则 $\triangle PAB$ 的面积为()

A.3
B.4
C.$\frac{9}{2}$
D.5

C

解：设点$P$的坐标为$(a,\frac{1}{a})$（$a\neq0$）。
因为$PC\perp x$轴，所以点$C$的坐标为$(a,0)$，点$A$在$l_2$上且横坐标为$a$，则点$A$的坐标为$(a,-\frac{2}{a})$。
因为$PD\perp y$轴，所以点$D$的坐标为$(0,\frac{1}{a})$，点$B$在$l_2$上且纵坐标为$\frac{1}{a}$，由$\frac{1}{a}=-\frac{2}{x}$得$x=-2a$，则点$B$的坐标为$(-2a,\frac{1}{a})$。
$PA=\left|\frac{1}{a}-(-\frac{2}{a})\right|=\left|\frac{3}{a}\right|=\frac{3}{|a|}$，$PB=\left|a-(-2a)\right|=3|a|$。
因为$PA\perp PB$，所以$\triangle PAB$的面积为$\frac{1}{2}× PA× PB=\frac{1}{2}×\frac{3}{|a|}×3|a|=\frac{9}{2}$。
$\frac{9}{2}$

10. 如图,正比例函数 $y_1 = k_1x$ 和反比例函数 $y_2 = \frac{k_2}{x}$ 的图像交于 $A(-1,2)$,$B(1,-2)$ 两点,若 $y_1 ＜ y_2$,则 $x$ 的取值范围是()

A.$x ＜ -1$ 或 $x ＞ 1$
B.$x ＜ -1$ 或 $0 ＜ x ＜ 1$
C.$-1 ＜ x ＜ 0$ 或 $0 ＜ x ＜ 1$
D.$-1 ＜ x ＜ 0$ 或 $x ＞ 1$

D

解：由图像可知，当$-1 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 1$时，正比例函数$y_1 = k_1x$的图像在反比例函数$y_2 = \frac{k_2}{x}$的图像下方，即$y_1 ＜ y_2$。
D

11. 如图,直线 $y = mx$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图像交于 $A$,$B$ 两点,过点 $A$ 作 $AM \perp x$ 轴,垂足为 $M$,连接 $BM$,若 $S_{\triangle ABM} = 2$,则 $k$ 的值是()

A.2
B.$m - 2$
C.$m$
D.4

A

解：设点$A$的坐标为$(a,\frac{k}{a})$（$a＞0$）。
∵直线$y=mx$与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像交于$A$，$B$两点，
∴点$A$与点$B$关于原点对称，
∴点$B$的坐标为$(-a,-\frac{k}{a})$。
∵$AM\perp x$轴，
∴点$M$的坐标为$(a,0)$，$AM=\frac{k}{a}$。
$S_{\triangle ABM}=S_{\triangle AOM}+S_{\triangle BOM}=\frac{1}{2}\cdot OM\cdot AM+\frac{1}{2}\cdot OM\cdot |y_B|=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{k}{a}+\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{k}{a}=\frac{k}{2}+\frac{k}{2}=k$。
∵$S_{\triangle ABM}=2$，
∴$k=2$。
A

12. 反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 与一次函数 $y = mx - m(m \neq 0)$ 在同一平面直角坐标系中的图像可能是()

C

解：
1. 当 $ m ＞ 0 $ 时：
反比例函数 $ y = \frac{m}{x} $ 的图像在第一、三象限；
一次函数 $ y = mx - m $ 中，$ m ＞ 0 $，$-m ＜ 0$，图像经过第一、三、四象限，无符合选项。
2. 当 $ m ＜ 0 $ 时：
反比例函数 $ y = \frac{m}{x} $ 的图像在第二、四象限；
一次函数 $ y = mx - m $ 中，$ m ＜ 0 $，$-m ＞ 0$，图像经过第一、二、四象限，选项 C 符合。
C