【典型例题 1】下列式子中,哪些是整式？哪些是分式？
$ - 3x,\frac{a^{2}}{a},\frac{x + y}{3\pi},\frac{5}{3}x^{2}y, - 7,\frac{2}{5 - y},\frac{a + 1}{a},\frac{x^{2} + x}{x}. $

【解】整式：$$ - 3x,\frac{x + y}{3\pi},\frac{5}{3}x^{2}y, - 7 $$；
分式：$$ \frac{a^{2}}{a},\frac{2}{5 - y},\frac{a + 1}{a},\frac{x^{2} + x}{x} $$。

1. 下列各式是分式的是()
$A. \frac{1}{\pi} $
$B. \frac{x}{3} $
$C. \frac{1}{x - 1} $
$D. \frac{2}{3} $

C

根据分式定义：形如$\frac{A}{B}$（A、B是整式，B中含有字母且B≠0）的式子叫分式。选项A中π是常数，不是字母；选项B分母是3（常数）；选项D是常数；选项C分母为$x - 1$（含字母x），所以是分式。

2. 轮船在静水中每小时航行$$ x $$千米,水流速度为$$ y $$千米/时,则轮船逆流航行 50 千米用小时。

$\frac{50}{x - y}$

轮船逆流速度为静水速度减去水流速度，即$(x - y)$千米/时。根据时间=路程÷速度，逆流航行50千米所用时间为$50÷(x - y)=\frac{50}{x - y}$小时。

$【$典型例题$ 2】$当$ x $取什么值时$,$下列各分式有意义$？$　　
$(1) \frac{2x + 1}{5x - 3} ；$$(2) \frac{1}{|x| - 1} ；$　　
$(3) \frac{x + 1}{x^{2} + 3} ；$$(4) \frac{x + 2}{(x + 2)(x - 5)} 。$　　

思路导引 分式有意义的条件是指表示分母的整式的值不能为 0,并不是说分母中字母的取值不能为 0。
【解】
(1)当 5x - 3 \neq 0 ,即 x \neq \frac{3}{5} 时,分式 \frac{2x + 1}{5x - 3} 有意义。
(2)当 |x| - 1 \neq 0 ,即 x \neq \pm 1 时,分式 \frac{1}{|x| - 1} 有意义。
(3)因为 x^{2} \geq 0 ,所以 x^{2} + 3 ＞ 0 ,即 x 为任意实数时,分式 \frac{x + 1}{x^{2} + 3} 都有意义。
(4)当 (x + 2)(x - 5) \neq 0 ,即 x \neq - 2 ,且 x \neq 5 时,分式 \frac{x + 2}{(x + 2)(x - 5)} 有意义。