【典型例题2】如图,∠B= ∠C= 90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC,且∠ADC= 110°,则∠MAB= ()

A. 30° B. 35° C. 45° D. 60°
【解析】如图,过点M作MN⊥AD于点N.

∵∠B= ∠C= 90°,
∴∠B+∠C= 180°,
∴AB//CD,
∴∠DAB= 180°-∠ADC= 70°.
∵DM平分∠ADC,MN⊥AD,MC⊥CD,
∴MN= MC.
∵M是BC的中点,
∴MC= MB,
∴MN= MB.
又MN⊥AD,MB⊥AB,
∴AM平分∠BAD,
∴∠MAB= $\frac{1}{2}$∠DAB= 35°.
【答案】B
A.30°
B.35°
C.45°
D.60°

如图,过点$M$作$MN\perp AD$于点$N$。
$\because \angle B = \angle C = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle B + \angle C = 180^{\circ}$，
$\therefore AB// CD$，
$\therefore \angle DAB = 180^{\circ} - \angle ADC = 70^{\circ}$。
$\because DM$平分$\angle ADC$，$MN\perp AD$，$MC\perp CD$，
$\therefore MN = MC$。
$\because M$是$BC$的中点，
$\therefore MC = MB$，
$\therefore MN = MB$。
又$MN\perp AD$，$MB\perp AB$，
$\therefore AM$平分$\angle BAD$，
$\therefore \angle MAB = \frac{1}{2}\angle DAB = 35^{\circ}$。

2. 如图,已知AO平分∠BAC,OD⊥BC,OE⊥AB,垂足分别为D,E,且OD= OE. 求证：CO平分∠ACB.

证明：过点O作OF⊥AC于点F.
∵AO平分∠BAC，OE⊥AB，OF⊥AC，
∴OE=OF（角平分线上的点到角两边的距离相等）.
∵OD=OE，
∴OD=OF（等量代换）.
∵OD⊥BC，OF⊥AC，
∴点O在∠ACB的平分线上（到角两边距离相等的点在角的平分线上）.
即CO平分∠ACB.

1. 一块三角形的草坪如图所示,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在()

A.△ABC三条中线的交点
B.△ABC三条高所在直线的交点
C.△ABC三条角平分线的交点
D.以上都不对

C

凉亭到草坪三条边的距离相等，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等。
所以要使点到三条边的距离都相等，该点应是三角形三条角平分线的交点。
而三条中线的交点是重心，三条高所在直线的交点是垂心，均不符合点到三边距离相等这一条件。

2. 如图,点O在直角三角形ABC中,∠ABC= 30°,OM⊥AB于点M,ON⊥BC于点N,若OM= ON,则∠ABO为.

15°

∵OM⊥AB，ON⊥BC，OM=ON，∴BO平分∠ABC（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。∵∠ABC=30°，∴∠ABO=1/2∠ABC=15°。