【典型例题1】计算：
(1) $\frac{a^{2}+3a}{a^{2}-3a}-\frac{a - 3}{a}\cdot(\frac{2a}{a - 3})^{2}$；
(2) $(\frac{m^{2}-3m + 1}{m}+1)÷\frac{m^{2}-1}{m}$；
(3) $\frac{a^{2}-b^{2}}{a}÷(a+\frac{b^{2}-2ab}{a})$。

【解】(1)原式$=\frac{a + 3}{a - 3}-\frac{a - 3}{a}\cdot\frac{4a^{2}}{(a - 3)^{2}}$
$=\frac{a + 3}{a - 3}-\frac{4a}{a - 3}$
$=\frac{3 - 3a}{a - 3}$。
(2)原式$=\frac{m^{2}-3m + 1 + m}{m}÷\frac{m^{2}-1}{m}$
$=\frac{(m - 1)^{2}}{m}\cdot\frac{m}{(m + 1)(m - 1)}$
$=\frac{m - 1}{m + 1}$。
(3)原式$=\frac{a^{2}-b^{2}}{a}÷(\frac{a^{2}}{a}+\frac{b^{2}-2ab}{a})$
$=\frac{a^{2}-b^{2}}{a}÷\frac{a^{2}-2ab + b^{2}}{a}$
$=\frac{(a + b)(a - b)}{a}\cdot\frac{a}{(a - b)^{2}}$
$=\frac{a + b}{a - b}$。

1. 先化简,再求值：$(\frac{1}{y}-\frac{1}{x})÷(\frac{x}{y}-\frac{y}{x})$,其中$x = 2 - y$。

$\frac{1}{2}$

化简过程：
1. 计算括号内分式减法：
$\frac{1}{y} - \frac{1}{x} = \frac{x - y}{xy}$；
$\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{(x + y)(x - y)}{xy}$。
2. 进行除法运算：
$(\frac{x - y}{xy}) ÷ (\frac{(x + y)(x - y)}{xy}) = \frac{x - y}{xy} \cdot \frac{xy}{(x + y)(x - y)} = \frac{1}{x + y}$（$x \neq y$，$x \neq 0$，$y \neq 0$）。
代入求值：
当$x = 2 - y$时，$x + y = 2$，则$\frac{1}{x + y} = \frac{1}{2}$。

【典型例题2】甲、乙两位采购员去同一家饲料公司购买两次饲料。两次饲料的价格有变化,两位采购员的购货方式也不同,其中,甲每次购买$1000$千克,乙每次用去$800$元,而不管购买多少饲料,两次购买的饲料单价分别为$m$元/千克和$n$元/千克($m$,$n$均为正数,且$m\neq n$)。
(1)甲、乙两次购买饲料的平均单价各是多少？
(2)谁的购货方式更合算？

【解】(1)甲每次购买$1000$千克,两次购买的饲料单价分别为$m$元/千克和$n$元/千克,由此可得甲两次购买饲料的平均单价为$\frac{1000m + 1000n}{1000×2}= \frac{m + n}{2}$(元/千克)。
而乙每次用去$800$元,可得乙两次购买饲料的平均单价为$\frac{800×2}{\frac{800}{m}+\frac{800}{n}}= \frac{2mn}{m + n}$(元/千克)。
(2)甲、乙两次购买饲料的平均单价的差为$\frac{m + n}{2}-\frac{2mn}{m + n}= \frac{(m + n)^{2}}{2(m + n)}-\frac{4mn}{2(m + n)}= \frac{(m + n)^{2}-4mn}{2(m + n)}= \frac{(m - n)^{2}}{2(m + n)}$。
因为$m$,$n$均为正数,
且$m\neq n$,
所以$\frac{(m - n)^{2}}{2(m + n)}＞0$,
即$\frac{m + n}{2}-\frac{2mn}{m + n}＞0$。
因此,乙的购货方式更合算。