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1. 下列运算中正确的是(
A.$a^{2}-a = a$
B.$a\cdot a^{2}= a^{3}$
C.$(a^{4})^{3}= a^{7}$
D.$(2ab^{2})^{3}= 6a^{3}b^{6}$
B
)A.$a^{2}-a = a$
B.$a\cdot a^{2}= a^{3}$
C.$(a^{4})^{3}= a^{7}$
D.$(2ab^{2})^{3}= 6a^{3}b^{6}$
答案
1.B 解析:a²与a不是同类项,无法合并,故选项A不符合题意;a·a²=a³,故选项B符合题意;(a⁴)³=a¹²,故选项C不符合题意;(2ab²)³=8a³b⁶,故选项D不符合题意.
2. 计算$(\underbrace{a\cdot a…\cdot\cdot a}_{a个})^{3}$的结果是(
A.$a^{5}$
B.$a^{6}$
C.$a^{a + 3}$
D.$a^{3a}$
D
)A.$a^{5}$
B.$a^{6}$
C.$a^{a + 3}$
D.$a^{3a}$
答案
2.D 解析:原式=(aᵃ)³=a³ᵃ.
3. 下列各式中,错误的是(
A.$[(x - y)^{3}]^{2}= (x - y)^{6}$
B.$(-2a^{2})^{4}= 16a^{8}$
C.$\left(-\dfrac{1}{3}m^{2}n\right)^{3}= -\dfrac{1}{27}m^{6}n^{3}$
D.$(-ab^{3})^{3}= -a^{3}b^{6}$
D
)A.$[(x - y)^{3}]^{2}= (x - y)^{6}$
B.$(-2a^{2})^{4}= 16a^{8}$
C.$\left(-\dfrac{1}{3}m^{2}n\right)^{3}= -\dfrac{1}{27}m^{6}n^{3}$
D.$(-ab^{3})^{3}= -a^{3}b^{6}$
答案
3.D 解析:选项A符合幂的乘方法则,计算正确,不符合题意;选项B符合幂的乘方与积的乘方法则,计算正确,不符合题意;选项C符合幂的乘方与积的乘方法则,计算正确,不符合题意;(-ab³)³=-a³b⁹≠-a³b⁶,选项D计算错误,符合题意.
4. 计算$(m^{2})^{3}\cdot m^{5}$的结果是(
A.$m^{11}$
B.$m^{10}$
C.$m^{9}$
D.$m^{12}$
A
)A.$m^{11}$
B.$m^{10}$
C.$m^{9}$
D.$m^{12}$
答案
4.A 解析:(m²)³·m⁵=m⁶·m⁵=m¹¹.
5. 已知$16^{a}= 64^{b}$,则$a$,$b$满足的关系正确的是(
A.$4a = b$
B.$2a = 3b$
C.$3a = 2b$
D.$a = 5b$
B
)A.$4a = b$
B.$2a = 3b$
C.$3a = 2b$
D.$a = 5b$
答案
5.B 解析:因为16ᵃ=64ᵇ,所以(4²)ᵃ=(4³)ᵇ,即4²ᵃ=4³ᵇ,所以2a=3b.
6. 计算：$(4x^{2})^{3}= $______
$64x^{6}$
。答案
6.64x⁶ 解析:(4x²)³=4³·(x²)³=64x⁶.
解析
$(4x^{2})^{3}=4^{3}\cdot (x^{2})^{3}=64x^{6}$
7. 已知$x^{m}= 3$,$y^{m}= 5$,$m$,$n$为正整数,则$(x^{2}y^{2})^{m}$的值是
225
。答案
7.225 解析:(x²y²)ᵐ=x²ᵐy²ᵐ=(xᵐyᵐ)²=(3×5)²=225.
解析
$(x^{2}y^{2})^{m}=x^{2m}y^{2m}=(x^{m})^{2}(y^{m})^{2}$，因为$x^{m}=3$，$y^{m}=5$，所以原式$=3^{2}×5^{2}=9×25=225$。
225
225
8. 已知$x^{2n}= 5$,则$(3x^{3n})^{2}-4(x^{2})^{2n}$的值为
1025
。答案
8.1025 解析:因为x²ⁿ=5,所以(3x³ⁿ)²-4(x²)²ⁿ=9x⁶ⁿ-4x⁴ⁿ=9(x²ⁿ)³-4(x²ⁿ)²=9×5³-4×5²=9×125-4×25=1125-100=1025.
解析
$(3x^{3n})^{2}-4(x^{2})^{2n}$
$=9x^{6n}-4x^{4n}$
$=9(x^{2n})^{3}-4(x^{2n})^{2}$
因为$x^{2n}=5$，所以
$=9×5^{3}-4×5^{2}$
$=9×125 - 4×25$
$=1125 - 100$
$=1025$
1025
$=9x^{6n}-4x^{4n}$
$=9(x^{2n})^{3}-4(x^{2n})^{2}$
因为$x^{2n}=5$，所以
$=9×5^{3}-4×5^{2}$
$=9×125 - 4×25$
$=1125 - 100$
$=1025$
1025
9. 已知$2x + 5y - 3 = 0$,求$4^{x}\cdot32^{y}$的值。
答案
9.解:因为2x+5y-3=0,所以2x+5y=3,所以4ˣ·32ʸ=2²ˣ·2⁵ʸ=2²ˣ⁺⁵ʸ=2³=8.
解析
解:因为$2x + 5y - 3 = 0$，所以$2x + 5y = 3$，所以$4^{x} \cdot 32^{y} = 2^{2x} \cdot 2^{5y} = 2^{2x + 5y} = 2^{3} = 8$。
10. 若$(a - 3)^{2}+|3b + 1| = 0$,求$a^{99}\cdot b^{98}$的值。
答案
10.解:因为(a-3)²+|3b+1|=0,所以a=3,b=-1/3,所以a⁹⁹·b⁹⁸=a·a⁹⁸·b⁹⁸=a·(ab)⁹⁸=3×(-1)⁹⁸=3.
解析
解:因为$(a - 3)^{2} + |3b + 1| = 0$，所以$a - 3 = 0$，$3b + 1 = 0$，解得$a = 3$，$b = -\dfrac{1}{3}$。
则$a^{99} \cdot b^{98} = a \cdot a^{98} \cdot b^{98} = a \cdot (ab)^{98}$。
将$a = 3$，$b = -\dfrac{1}{3}$代入，得$ab = 3 × \left(-\dfrac{1}{3}\right) = -1$。
所以$a \cdot (ab)^{98} = 3 × (-1)^{98} = 3 × 1 = 3$。
则$a^{99} \cdot b^{98} = a \cdot a^{98} \cdot b^{98} = a \cdot (ab)^{98}$。
将$a = 3$，$b = -\dfrac{1}{3}$代入，得$ab = 3 × \left(-\dfrac{1}{3}\right) = -1$。
所以$a \cdot (ab)^{98} = 3 × (-1)^{98} = 3 × 1 = 3$。
11. 已知$27^{b}= 9×3^{a + 3}$,$16 = 4×2^{2b - 2}$,则$a + b$的值为
3
。答案
11.3 解析:因为27ᵇ=9×3ᵃ⁺³,即3³ᵇ=3²×3ᵃ⁺³=3ᵃ⁺⁵,所以3b=a+5.①因为16=4×2²ᵇ⁻²,即2⁴=2²×2²ᵇ⁻²=2²ᵇ,所以2b=4.②由②得,b=2.把b=2代入①中,解得a=1.所以a+b=1+2=3.
解析
因为$27^{b}=9×3^{a + 3}$，即$3^{3b}=3^{2}×3^{a + 3}=3^{a + 5}$，所以$3b = a + 5$。①
因为$16 = 4×2^{2b - 2}$，即$2^{4}=2^{2}×2^{2b - 2}=2^{2b}$，所以$2b = 4$。②
由②得，$b = 2$。
把$b = 2$代入①中，解得$a = 1$。
所以$a + b=1 + 2=3$。
因为$16 = 4×2^{2b - 2}$，即$2^{4}=2^{2}×2^{2b - 2}=2^{2b}$，所以$2b = 4$。②
由②得，$b = 2$。
把$b = 2$代入①中，解得$a = 1$。
所以$a + b=1 + 2=3$。
12. 若$a$,$b$为正整数,$x$,$y$均为实数,$a^{x}= 2025$,$b^{y}= 2025$,且$ab = 2025$,求$\dfrac{x + y}{xy}$的值。
答案
12.解:因为aˣ=2025,bʸ=2025,所以aˣʸ·bˣʸ=(aˣ)ʸ·(bʸ)ˣ=2025ʸ·2025ˣ=2025ˣ⁺ʸ.因为aˣʸ·bˣʸ=(ab)ˣʸ=2025ˣʸ,所以2025ˣ⁺ʸ=2025ˣʸ,所以x+y=xy,所以(x+y)/xy=1.
解析
解:因为$a^{x}=2025$，$b^{y}=2025$，所以$a^{xy} \cdot b^{xy}=(a^{x})^{y} \cdot (b^{y})^{x}=2025^{y} \cdot 2025^{x}=2025^{x+y}$。
因为$a^{xy} \cdot b^{xy}=(ab)^{xy}=2025^{xy}$，所以$2025^{x+y}=2025^{xy}$，则$x + y=xy$。
因此$\dfrac{x + y}{xy}=\dfrac{xy}{xy}=1$。
因为$a^{xy} \cdot b^{xy}=(ab)^{xy}=2025^{xy}$，所以$2025^{x+y}=2025^{xy}$，则$x + y=xy$。
因此$\dfrac{x + y}{xy}=\dfrac{xy}{xy}=1$。
13. 已知$x^{a}= 8$,$x^{b}= 2$,$x^{c}= 4$,$a$,$b$,$c$之间的数量关系有几种可能？请说明理由。
答案
13.解:有三种可能.第一种可能:a=b+c.理由如下:因为xᵇ·xᶜ=xᵇ⁺ᶜ=2×4=8=xᵃ,即xᵇ⁺ᶜ=xᵃ,所以b+c=a.第二种可能:a+b=2c.理由如下:因为xᵃ·xᵇ=xᵃ⁺ᵇ=8×2=16,(xᶜ)²=4²=x²ᶜ=16,即xᵃ⁺ᵇ=x²ᶜ,所以a+b=2c.第三种可能:a+c=5b.理由如下:因为xᵃ·xᶜ=xᵃ⁺ᶜ=8×4=32,(xᵇ)⁵=2⁵=x⁵ᵇ=32,即xᵃ⁺ᶜ=x⁵ᵇ,所以a+c=5b.
解析
13.解:有三种可能.
第一种可能:$a=b+c$.理由如下:因为$x^{b} \cdot x^{c}=x^{b+c}=2 × 4=8=x^{a}$,即$x^{b+c}=x^{a}$,所以$b+c=a$.
第二种可能:$a+b=2c$.理由如下:因为$x^{a} \cdot x^{b}=x^{a+b}=8 × 2=16$,$(x^{c})^{2}=4^{2}=x^{2c}=16$,即$x^{a+b}=x^{2c}$,所以$a+b=2c$.
第三种可能:$a+c=5b$.理由如下:因为$x^{a} \cdot x^{c}=x^{a+c}=8 × 4=32$,$(x^{b})^{5}=2^{5}=x^{5b}=32$,即$x^{a+c}=x^{5b}$,所以$a+c=5b$.
第一种可能:$a=b+c$.理由如下:因为$x^{b} \cdot x^{c}=x^{b+c}=2 × 4=8=x^{a}$,即$x^{b+c}=x^{a}$,所以$b+c=a$.
第二种可能:$a+b=2c$.理由如下:因为$x^{a} \cdot x^{b}=x^{a+b}=8 × 2=16$,$(x^{c})^{2}=4^{2}=x^{2c}=16$,即$x^{a+b}=x^{2c}$,所以$a+b=2c$.
第三种可能:$a+c=5b$.理由如下:因为$x^{a} \cdot x^{c}=x^{a+c}=8 × 4=32$,$(x^{b})^{5}=2^{5}=x^{5b}=32$,即$x^{a+c}=x^{5b}$,所以$a+c=5b$.
