7. 点 $ P(x,y) $ 在第二象限,且 $ |x| = 1 $,$ |y| = 2 $,则 $ P $ 点坐标为()
A.$ (-1,-2) $
B.$ (-1,2) $
C.$ (1,2) $
D.$ (1,-2) $

B

1. 已知点 $ P(x, y) $ 在第二象限，第二象限的点满足 $ x ＜ 0 $，$ y ＞ 0 $。
2. 由 $ |x| = 1 $，得 $ x = \pm 1 $，但 $ x ＜ 0 $，故 $ x = -1 $。
3. 由 $ |y| = 2 $，得 $ y = \pm 2 $，但 $ y ＞ 0 $，故 $ y = 2 $。
4. 因此，点 $ P $ 的坐标为 $ (-1, 2) $。

▲8. 如图,在平面直角坐标系中,我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点. 已知点 $ A(0,4) $,点 $ B $ 是 $ x $ 轴正半轴上的整点,记 $ \triangle AOB $ 内部(不包括边界)的整点个数为 $ m $. 如当点 $ B $ 的横坐标为 $ 4 $ 时,$ m = 3 $；那么当点 $ B $ 的横坐标为 $ 4n $($ n $ 为正整数)时,$ m = $(用含 $ n $ 的代数式表示).
]

6n-3

当点B横坐标为4n（n为正整数）时，△AOB的顶点为O(0,0)、A(0,4)、B(4n,0)。直线AB的方程为$y=-\frac{1}{n}x + 4$（此处斜率计算可简化，通过列举n=1,2,3,4验证规律）。
当n=1（B横坐标4）时，内部整点个数m=3；
当n=2（B横坐标8）时，m=9；
当n=3（B横坐标12）时，m=15；
当n=4（B横坐标16）时，m=21。
观察得m值构成等差数列：3,9,15,21,...，公差为6，首项为3。故m=3+6(n-1)=6n-3。

9. 已知点 $ P(2a - 12,1 - a) $ 位于第三象限.
(1) 若点 $ P $ 的纵坐标为 $ -3 $,试求出 $ a $ 的值.
(2) 求 $ a $ 的取值范围.
(3) 若点 $ P $ 的横、纵坐标都是整数,试求出 $ a $ 的值以及点 $ P $ 的坐标.

(1) 已知点 $P(2a - 12, 1 - a)$ 的纵坐标为 $-3$，则有：
$1 - a = -3$，
解得：
$a = 4$。
(2) 已知点 $P(2a - 12, 1 - a)$ 位于第三象限，则：
$\begin{cases}2a - 12 ＜ 0 \\1 - a ＜ 0\end{cases}$
解不等式组得：
$1 ＜ a ＜ 6$，
所以$a$ 的取值范围为 $1 ＜ a ＜ 6$。
(3) 已知点 $P(2a - 12, 1 - a)$ 的横、纵坐标都是整数，且 $1 ＜ a ＜ 6$，则 $a$ 可以取 $2, 3, 4, 5$。
当 $a = 2$ 时，$P(-8, -1)$；
当 $a = 3$ 时，$P(-6, -2)$；
当 $a = 4$ 时，$P(-4, -3)$；
当 $a = 5$ 时，$P(-2, -4)$。
综上，$a$ 的值以及点 $P$ 的坐标为$2,P(-8, -1)$；$3, P(-6, -2)$；$4,P(-4, -3)$；$5, P(-2, -4)$。

10. 在平面直角坐标系中,对于点 $ P(x,y) $,我们把 $ P'(y - 1,-x - 1) $ 叫做点 $ P $ 的友好点,已知点 $ A_1 $ 的友好点为 $ A_2 $,点 $ A_2 $ 的友好点为 $ A_3 $,点 $ A_3 $ 的友好点为 $ A_4 … $ 这样依次得到点 $ A_1,A_2,A_3,…,A_n $.
(1) 若点 $ A_1 $ 的坐标为 $ (2,1) $,则点 $ A_3 $ 的坐标为,点 $ A_{2024} $ 的坐标为.
(2) 若点 $ A_{2024} $ 的坐标为 $ (-3,2) $,设 $ A_1(x,y) $,求 $ x + y $ 的值.
★(3) 设点 $ A_1 $ 的坐标为 $ (a,b) $,若点 $ A_1,A_2,A_3,…,A_n $ 均在 $ y $ 轴左侧,求 $ a,b $ 的取值范围.

(1)
∵点$A_1(2,1)$，
∴$A_2$的坐标为$(1-1,-2-1)=(0,-3)$，
$A_3$的坐标为$(-3-1,-0-1)=(-4,-1)$。
∵$A_4$的坐标为$(-1-1,-(-4)-1)=(-2,3)$，$A_5$的坐标为$(3-1,-(-2)-1)=(2,1)=A_1$，
∴周期为4。
∵$2024÷4=506$，∴$A_{2024}=A_4=(-2,3)$。
故$A_3(-4,-1)$，$A_{2024}(-2,3)$。
(2)
设$A_1(x,y)$，则$A_2(y-1,-x-1)$，$A_3=(-x-2,-y)$，$A_4=(-y-1,x+1)$。
∵周期为4，$A_{2024}=A_4=(-3,2)$，
∴$\begin{cases}-y-1=-3\\x+1=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$，
∴$x+y=3$。
(3)
∵$A_1(a,b)$在$y$轴左侧，∴$a＜0$。
$A_2(b-1,-a-1)$在$y$轴左侧，∴$b-1＜0\Rightarrow b＜1$。
$A_3(-a-2,-y)$在$y$轴左侧，∴$-a-2＜0\Rightarrow a＞-2$。
$A_4(-b-1,x+1)$在$y$轴左侧，∴$-b-1＜0\Rightarrow b＞-1$。
综上，$-2＜a＜0$且$-1＜b＜1$。
(1) $(-4,-1)$，$(-2,3)$
(2) $3$
(3) $-2＜a＜0$，$-1＜b＜1$