20. 下面表格中的两组对应值满足一次函数$y = kx + b$,现画出了它的图象为直线$l$,如图所示。琪琪为观察$k$,$b$对图象的影响,将上面函数中的$k$与$b$交换位置后得到另一个一次函数,设其图象为直线$l'$。
(1) 求直线$l$的表达式。
(2) 求直线$l'$的表达式,并在图中画出直线$l'$。
(3) 若$P(a,0)$是$x$轴上的一个动点,过点$P$作$y$轴的平行线,分别交直线$l$,$l'$于点$M$,$N$。当$MN = 4$时,求出$a$的值。
(4) 若$Q(0,m)$是$y$轴上的一个动点,过点$Q$作$x$轴的平行线,分别与直线$l$,$l'$及$y$轴有三个不同的交点,且其中两点关于第三点对称,直接写出$m$的值。



(1) 求直线$l$的表达式。
(2) 求直线$l'$的表达式,并在图中画出直线$l'$。
(3) 若$P(a,0)$是$x$轴上的一个动点,过点$P$作$y$轴的平行线,分别交直线$l$,$l'$于点$M$,$N$。当$MN = 4$时,求出$a$的值。
(4) 若$Q(0,m)$是$y$轴上的一个动点,过点$Q$作$x$轴的平行线,分别与直线$l$,$l'$及$y$轴有三个不同的交点,且其中两点关于第三点对称,直接写出$m$的值。
答案
解:$(1)$∵直线$ l∶y=kx+b $中
当$ x=0 $时,$y=1;$当$ x=2 $时,$y=7$
∴$\begin {cases}{b=1}\\{2k+b=7}\end {cases},$$ $解得$\begin {cases}{k=3}\\{b=1}\end {cases}$
∴直线$ l $的表达式为$ y=3x+1$
$(2)$依题意,得直线$ l' $的表达式为$ y=x+3$
画出直线$ l' $如图所示
$(3)$把$ x=a $代入$ y=3x+1,$得$ y=3a+1$
把$ x=a $代入$ y=x+3,$得$ y=a+3$
∵$MN=4$
∴$|3a+1-a-3|=4$
解得$ a=3 $或$ a=-1$
$(4)m $的值为$ \frac 52 $或$ 7 $或$ \frac {17}5$
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