1. 如果$\frac{m}{3}= \frac{n}{2}(n\neq0)$,那么下列比例式中,正确的是().
A.$\frac{m}{n}= \frac{3}{2}$
B.$\frac{m}{2}= \frac{3}{n}$
C.$\frac{m}{n}= \frac{2}{3}$
D.$\frac{m}{3}= \frac{2}{n}$

【解析】：
本题主要考察比例式的变形。
给定条件是 $\frac{m}{3} = \frac{n}{2}$，且 $n \neq 0$。
需要判断哪个选项是正确的比例式。
A选项：$\frac{m}{n} = \frac{3}{2}$，
将给定条件 $\frac{m}{3} = \frac{n}{2}$ 两边同时乘以 6（即两个分母的最小公倍数），得到 $2m = 3n$。
对 $2m = 3n$ 两边同时除以 $2n$（由于 $n \neq 0$，所以可以进行此操作），得到 $\frac{m}{n} = \frac{3}{2}$。
所以A选项是正确的。
B选项：$\frac{m}{2} = \frac{3}{n}$，
将给定条件 $\frac{m}{3} = \frac{n}{2}$ 两边同时乘以 6，得到 $2m = 3n$。
显然，这个等式不能直接变形为 $\frac{m}{2} = \frac{3}{n}$。
所以B选项是错误的。
C选项：$\frac{m}{n} = \frac{2}{3}$，
根据给定条件 $\frac{m}{3} = \frac{n}{2}$ 得到的 $2m = 3n$，
可以推出 $\frac{m}{n} = \frac{3}{2}$，而不是 $\frac{2}{3}$。
所以C选项是错误的。
D选项：$\frac{m}{3} = \frac{2}{n}$，
给定条件是 $\frac{m}{3} = \frac{n}{2}$，显然不能直接变形为 $\frac{m}{3} = \frac{2}{n}$。
所以D选项是错误的。
【答案】：
A.$\frac{m}{n} = \frac{3}{2}$。

2. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$DE// BC$,$AD = 2$,$BD = 3$,$AC = 10$,那么$AE$的长为().

A.3
B.4
C.5
D.6

【解析】：本题可根据平行线分线段成比例定理来求解$AE$的长度。
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
在$\triangle ABC$中，因为$DE// BC$，所以有$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$。
已知$AD = 2$，$BD = 3$，$AC = 10$，设$AE=x$，则$EC = 10 - x$。
将$AD = 2$，$BD = 3$，$AE=x$，$EC = 10 - x$代入$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$可得：
$\frac{2}{3}=\frac{x}{10 - x}$
交叉相乘可得：
$3x = 2×(10 - x)$
去括号：
$3x = 20 - 2x$
移项：
$3x + 2x = 20$
合并同类项：
$5x = 20$
系数化为$1$：
$x = 4$
即$AE = 4$。
【答案】：B

3. 如图所示,若$C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC)$,则下列结论中,正确的是( ).

A.$AB^{2}= AC^{2}+BC^{2}$
B.$BC^{2}= AC\cdot BA$
C.$\frac{BC}{AC}= \frac{\sqrt{5}-1}{2}$
D.$\frac{AC}{BC}= \frac{\sqrt{5}-1}{2}$

【解析】：本题可根据黄金分割点的定义来逐一分析选项。
黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是$0.618$，这个比值也被称为黄金分割比，用$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$表示。
已知$C$是线段$AB$的黄金分割点且$AC\gt BC$，则$AC$为较大部分，$BC$为较小部分，根据黄金分割点的定义可得$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
选项A：
$AB^{2}= AC^{2}+BC^{2}$是勾股定理的表达式，而本题是黄金分割问题，并不满足勾股定理的条件，所以该选项错误。
选项B：
由黄金分割点的定义可知$\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，交叉相乘可得$AC\cdot(\sqrt{5}-1)=2BC$，进一步变形为$BC^{2}=AC\cdot(AB - AC)\neq AC\cdot BA$，所以该选项错误。
选项C：
因为$C$是线段$AB$的黄金分割点且$AC\gt BC$，根据黄金分割点的定义可知$\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，所以该选项正确。
选项D：
由黄金分割点的定义可知$\frac{AC}{BC}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\neq\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，所以该选项错误。
综上，答案是C。
【答案】：C。

4. 如图所示,直线$l_{1}// l_{2}// l_{3}$. 若$AB = 6$,$BC = 9$,$EF = 6$,则$DE$的长为().

A.4
B.6
C.7
D.9

【解析】：本题可根据平行线分线段成比例定理来求解$DE$的长度。
平行线分线段成比例定理为：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
在本题中，因为$l_{1}// l_{2}// l_{3}$，所以可得$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$。
已知$AB = 6$，$BC = 9$，$EF = 6$，将其代入到上述比例式中，即可求出$DE$的值。
【答案】：解：
∵$l_{1}// l_{2}// l_{3}$，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$，
将$AB = 6$，$BC = 9$，$EF = 6$代入$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$可得：
$\frac{6}{9}=\frac{DE}{6}$，
交叉相乘可得：$9× DE=6×6$，
即$9DE = 36$，
两边同时除以$9$，解得$DE = 4$。
所以答案是A选项。

5. 下列说法中,正确的是().
A.矩形都是相似的
B.有一个角相等的菱形都是相似的
C.直角三角形都是相似的
D.任意两个等腰梯形相似

【解析】：
本题考察的是对几何图形相似性的理解。需要分析每个选项中的图形是否都满足相似的条件。
A选项：矩形都是相似的。矩形的所有角都是$90^\circ$，但对应边的比值不一定相等，因此不是所有矩形都相似。
B选项：有一个角相等的菱形都是相似的。菱形的四边等长，且两组对角都相等。若有一个角相等，则其它三个角也必然相等（因为菱形的相临内角互补），从而满足相似图形的条件。
C选项：直角三角形都是相似的。直角三角形只有一个$90^\circ$的角是确定的，其它两个角以及三边的比例关系并不确定，因此不是所有直角三角形都相似。
D选项：任意两个等腰梯形相似。等腰梯形的两腰等长，但上底、下底和高的比例关系并不确定，且对应角也不一定相等，因此不是所有等腰梯形都相似。
【答案】：
B