登录
1. 如图是用纸板制作的一个圆锥模型,它的底面半径为1,高为$2\sqrt{2}$,则这个圆锥的侧面积是(
A.$4\pi$
B.$3\pi$
C.$\pi$
D.$2\pi$
B
)A.$4\pi$
B.$3\pi$
C.$\pi$
D.$2\pi$
答案
B
解析
圆锥底面半径$r = 1$，高$h = 2\sqrt{2}$。
母线长$l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{1^{2}+(2\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{1 + 8}=\sqrt{9}=3$。
侧面积$S=\pi rl=\pi×1×3 = 3\pi$。
B
母线长$l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{1^{2}+(2\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{1 + 8}=\sqrt{9}=3$。
侧面积$S=\pi rl=\pi×1×3 = 3\pi$。
B
2. 一个圆锥的底面半径是6cm,其侧面展开图为半圆,则圆锥的母线长为(
A.9 cm
B.12 cm
C.15 cm
D.18 cm
B
)A.9 cm
B.12 cm
C.15 cm
D.18 cm
答案
B
解析
设圆锥的母线长为$ l $cm。
圆锥底面周长为$ 2\pi × 6 = 12\pi $cm。
侧面展开图半圆的弧长为$ \frac{1}{2} × 2\pi l = \pi l $cm。
由底面周长等于侧面展开图弧长，得$ \pi l = 12\pi $，解得$ l = 12 $。
B
圆锥底面周长为$ 2\pi × 6 = 12\pi $cm。
侧面展开图半圆的弧长为$ \frac{1}{2} × 2\pi l = \pi l $cm。
由底面周长等于侧面展开图弧长，得$ \pi l = 12\pi $，解得$ l = 12 $。
B
3. 如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,AC= 3,BC= 4,以AC所在直线为轴,把△ABC旋转1周,得到圆锥,则该圆锥的侧面积为(
A.$12\pi$
B.$15\pi$
C.$20\pi$
D.$24\pi$
C
)A.$12\pi$
B.$15\pi$
C.$20\pi$
D.$24\pi$
答案
C
解析
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4。
由勾股定理得，AB=$\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$。
以AC所在直线为轴旋转1周得到圆锥，底面半径r=BC=4，母线长l=AB=5。
圆锥侧面积公式为$S=\pi rl$，则侧面积$S=\pi×4×5=20\pi$。
答案：C
由勾股定理得，AB=$\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$。
以AC所在直线为轴旋转1周得到圆锥，底面半径r=BC=4，母线长l=AB=5。
圆锥侧面积公式为$S=\pi rl$，则侧面积$S=\pi×4×5=20\pi$。
答案：C
4. 已知圆锥的母线长是20 cm,底面圆的直径是10 cm,则这个圆锥的侧面积是
100π cm²
,全面积是125π cm²
.答案
侧面积是 $100\pi cm^2$，全面积是 $125\pi cm^2$。
解析
圆锥底面圆的半径 $ r = \frac{10}{2} = 5 \, cm $，母线长 $ l = 20 \, cm $。
侧面积 $ S_{侧} = \pi r l = \pi × 5 × 20 = 100\pi \, cm^2 $。
底面积 $ S_{底} = \pi r^2 = \pi × 5^2 = 25\pi \, cm^2 $。
全面积 $ S_{全} = S_{侧} + S_{底} = 100\pi + 25\pi = 125\pi \, cm^2 $。
$100\pi \, cm^2$，$125\pi \, cm^2$
侧面积 $ S_{侧} = \pi r l = \pi × 5 × 20 = 100\pi \, cm^2 $。
底面积 $ S_{底} = \pi r^2 = \pi × 5^2 = 25\pi \, cm^2 $。
全面积 $ S_{全} = S_{侧} + S_{底} = 100\pi + 25\pi = 125\pi \, cm^2 $。
$100\pi \, cm^2$，$125\pi \, cm^2$
5. 已知一个圆锥的母线长为30,底面半径为10,则它的侧面展开图的圆心角等于
120
.答案
120
解析
圆锥底面周长为$2\pi×10 = 20\pi$。
设侧面展开图的圆心角为$n^\circ$，母线长为侧面展开图扇形的半径$R = 30$。
由扇形弧长公式$\frac{n\pi R}{180}$等于底面周长，可得$\frac{n\pi×30}{180}=20\pi$。
化简得$\frac{n\pi}{6}=20\pi$，两边同除以$\pi$：$\frac{n}{6}=20$，解得$n = 120$。
120
设侧面展开图的圆心角为$n^\circ$，母线长为侧面展开图扇形的半径$R = 30$。
由扇形弧长公式$\frac{n\pi R}{180}$等于底面周长，可得$\frac{n\pi×30}{180}=20\pi$。
化简得$\frac{n\pi}{6}=20\pi$，两边同除以$\pi$：$\frac{n}{6}=20$，解得$n = 120$。
120
6. 把一个半径为8 cm的圆,剪去一个圆心角为90°的扇形后,用剩下的部分做成一个圆锥的侧面,那么这个圆锥的高为
$ 2\sqrt{7} \, cm $
.答案
$ 2\sqrt{7} \, cm $
解析
圆的周长为$2\pi×8 = 16\pi\ cm$，圆心角为$90^\circ$的扇形弧长为$\frac{90}{360}×16\pi = 4\pi\ cm$，剩下部分的弧长为$16\pi - 4\pi = 12\pi\ cm$。圆锥底面周长等于剩下部分弧长，设圆锥底面半径为$r$，则$2\pi r = 12\pi$，解得$r = 6\ cm$。圆锥母线长为圆的半径$8\ cm$，圆锥的高$h = \sqrt{8^2 - 6^2} = \sqrt{64 - 36} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}\ cm$。
$2\sqrt{7}\ cm$
$2\sqrt{7}\ cm$
7. 如图,圆锥的表面展开图由一扇形和一个圆组成,已知圆的面积为$100\pi$,扇形的圆心角为120°,求这个扇形的面积.
答案
$300\pi$
解析
设圆的半径为$r$，扇形的半径为$R$。
因为圆的面积为$100\pi$，所以$\pi r^2 = 100\pi$，解得$r = 10$。
圆的周长为$2\pi r=2\pi×10 = 20\pi$，此周长即为扇形的弧长。
扇形的圆心角为$120^\circ$，根据弧长公式$l=\frac{n\pi R}{180}$（其中$n$为圆心角度数），可得$20\pi=\frac{120\pi R}{180}$，解得$R = 30$。
扇形的面积为$\frac{1}{2}lR=\frac{1}{2}×20\pi×30 = 300\pi$。
$300\pi$
因为圆的面积为$100\pi$，所以$\pi r^2 = 100\pi$，解得$r = 10$。
圆的周长为$2\pi r=2\pi×10 = 20\pi$，此周长即为扇形的弧长。
扇形的圆心角为$120^\circ$，根据弧长公式$l=\frac{n\pi R}{180}$（其中$n$为圆心角度数），可得$20\pi=\frac{120\pi R}{180}$，解得$R = 30$。
扇形的面积为$\frac{1}{2}lR=\frac{1}{2}×20\pi×30 = 300\pi$。
$300\pi$
