1. 下列函数中,y 关于 x 的二次函数是()
A.$ y= 2x+3 $
B.$ y= 2x(x-3) $
C.$ y= \frac{1}{x^2} $
D.$ y= (x-2)^2-x^2 $

B

A. $y=2x+3$是一次函数；
B. $y=2x(x-3)=2x^2 - 6x$，是二次函数；
C. $y=\frac{1}{x^2}=x^{-2}$，不是二次函数；
D. $y=(x-2)^2 - x^2=x^2 - 4x + 4 - x^2=-4x + 4$，是一次函数。
结论：B

2. 下列关于抛物线 $ y= -x^2-9 $ 的说法,正确的是()
A.抛物线开口向上
B.抛物线的对称轴是直线 $ x= 0 $
C.向右平移 3 个单位得到 $ y= (x+3)^2-9 $
D.抛物线的顶点坐标为 $ (-1,-9) $

B

对于抛物线$y=-x^2 - 9$：
二次项系数为$-1\lt0$，开口向下，A错误；
对称轴为直线$x = 0$（y轴），B正确；
向右平移3个单位得$y=-(x - 3)^2 - 9$，C错误；
顶点坐标为$(0,-9)$，D错误。
B

3. 把函数 $ y= x^2-2x+3 $ 的图像向右平移 1 个单位长度,平移后图像的函数表达式为()
A.$ y= x^2+2 $
B.$ y= (x-1)^2+1 $
C.$ y= (x-2)^2+2 $
D.$ y= (x-1)^2-3 $

C

解：将函数$y = x^2 - 2x + 3$配方得$y=(x - 1)^2+2$。
图像向右平移1个单位长度，根据平移规律“左加右减”，得平移后函数表达式为$y=(x - 1 - 1)^2+2=(x - 2)^2+2$。
C

4. 如果一条抛物线的形状和开口方向与 $ y= -2x^2+2 $ 相同,且顶点坐标是 $ (4,2) $,则它的表达式是()
A.$ y= -2(x-4)^2+2 $
B.$ y= -2(x-4)^2-2 $
C.$ y= 2(x-4)^2+2 $
D.$ y= -2(x+4)^2-2 $

A

抛物线的形状和开口方向由二次项系数决定，已知所求抛物线与$y = -2x^2 + 2$相同，故二次项系数为$-2$。
抛物线顶点式为$y = a(x - h)^2 + k$（$a\neq0$，$(h,k)$为顶点坐标），顶点坐标是$(4,2)$，则$h = 4$，$k = 2$。
所以表达式为$y = -2(x - 4)^2 + 2$。
A

5. 已知 $ y= ax^2+bx+c(a≠0) $ 的图像如图所示,则关于 x 的一元二次方程 $ ax^2+bx+c= 2(a≠0) $ 的解的个数是()
A.0
B.1
C.2
D.3

C

由图像可知，抛物线$y = ax^2 + bx + c(a \neq 0)$开口向上，顶点纵坐标小于$2$。
方程$ax^2 + bx + c = 2$的解，即为抛物线$y = ax^2 + bx + c$与直线$y = 2$交点的横坐标。
因为抛物线开口向上且顶点纵坐标小于$2$，所以直线$y = 2$与抛物线有两个不同交点。
故方程$ax^2 + bx + c = 2$的解的个数是$2$。
C

6. 已知二次函数 $ y_1= ax^2+bx+c $ 与一次函数 $ y_2= kx+m $ 的图像相交于点 $ A(-2,3) $,$ B(8,2) $,则能使 $ y_1＜y_2 $ 成立的 x 的取值范围是()
A.$ x＜-2 $
B.$ -2＜x＜8 $
C.$ x＜-2 $ 或 $ x＞8 $
D.$ x＞-2 $ 或 $ x＜8 $

B

二次函数$y_1 = ax^2 + bx + c$与一次函数$y_2 = kx + m$的图像相交于点$A(-2,3)$，$B(8,2)$。
当$y_1 ＜ y_2$时，即二次函数图像在一次函数图像下方。
观察两函数图像交点横坐标为$-2$和$8$，由图像可知，在两交点之间，二次函数图像在一次函数图像下方。
所以$x$的取值范围是$-2 ＜ x ＜ 8$。
B

7. 函数 $ y= x^2-x+1 $ 的图像与 x 轴的交点的情况是()
A.有两个交点
B.有一个交点
C.没有交点
D.无法判断

C

要判断函数 $ y = x^2 - x + 1 $ 的图像与 $ x $ 轴的交点情况，需令 $ y = 0 $，即解方程 $ x^2 - x + 1 = 0 $。
对于一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $（$ a \neq 0 $），其判别式为 $ \Delta = b^2 - 4ac $。当 $ \Delta ＞ 0 $ 时，方程有两个不相等的实数根，函数图像与 $ x $ 轴有两个交点；当 $ \Delta = 0 $ 时，方程有两个相等的实数根，函数图像与 $ x $ 轴有一个交点；当 $ \Delta ＜ 0 $ 时，方程无实数根，函数图像与 $ x $ 轴没有交点。
在方程 $ x^2 - x + 1 = 0 $ 中，$ a = 1 $，$ b = -1 $，$ c = 1 $，则判别式：
$\Delta = (-1)^2 - 4 × 1 × 1 = 1 - 4 = -3$
因为 $ \Delta = -3 ＜ 0 $，所以方程 $ x^2 - x + 1 = 0 $ 无实数根，即函数 $ y = x^2 - x + 1 $ 的图像与 $ x $ 轴没有交点。
C

8. 如图,以 $ (2,5) $ 为顶点的二次函数 $ y= ax^2+bx+c $ 的图像与 x 轴负半轴交于点 A,则一元二次方程 $ ax^2+bx+c= 0 $ 的正数解的范围是()
A.$ 2＜x＜3 $
B.$ 1＜x＜2 $
C.$ 4＜x＜5 $
D.$ 5＜x＜6 $

C

二次函数顶点为$(2,5)$，其对称轴为直线$x=2$。设二次函数与$x$轴交于点$A(x_1,0)$（$x_1＜0$）和点$B(x_2,0)$（$x_2＞0$）。
由抛物线对称性，对称轴$x=2$是线段$AB$的垂直平分线，故$\frac{x_1 + x_2}{2}=2$，即$x_1 + x_2=4$，则$x_2=4 - x_1$。
因为$x_1＜0$，所以$-x_1＞0$，则$x_2=4 + (-x_1)＞4$。
又因为抛物线开口向下（顶点在$x$轴上方且与$x$轴有两个交点），当$x=0$时，$y=c＞0$，且顶点到$y$轴距离为$2$，根据抛物线的对称性，点$B$到对称轴$x=2$的距离应小于顶点到$y$轴距离的$1.5$倍（估算），即$x_2 - 2＜3$，所以$x_2＜5$。
综上，$4＜x_2＜5$，即正数解的范围是$4＜x＜5$。
C

9. 二次函数 $ y= (m-2)x^2+2x+1 $ 的图像与 x 轴有交点,则 m 取值范围是()
A.$ m≤3 $ 且 $ m≠2 $
B.$ m＜3 $
C.$ m＜3 $ 且 $ m≠2 $
D.$ m≤3 $

A

解：二次函数$y=(m - 2)x^2 + 2x + 1$的图像与$x$轴有交点，需满足判别式$\Delta\geq0$且二次项系数不为$0$。
1. 判别式$\Delta = 2^2 - 4(m - 2)×1 = 4 - 4(m - 2)$，由$\Delta\geq0$得：
$4 - 4(m - 2)\geq0$
$4 - 4m + 8\geq0$
$12 - 4m\geq0$
$-4m\geq -12$
$m\leq3$
2. 二次项系数$m - 2\neq0$，即$m\neq2$
综上，$m$的取值范围是$m\leq3$且$m\neq2$。
A