1. 下列各式中,y 是 x 的二次函数的是 ()
A.y= 2x-3

B.y= x^2-5x+13$$
C.y= x^2-(x+2)(x-3)$$
$D.y= x^2-1/x+2$

B

A. $y = 2x - 3$ 是一次函数，因为它的最高次项是 $x^1$。
B. $y = x^2 - 5x + 13$ 是二次函数，因为它的最高次项是 $x^2$，并且满足二次函数的一般形式 $y = ax^2 + bx + c$。
C. $y = x^2 - (x + 2)(x - 3)$ 需要化简：
$y = x^2 - (x^2 - x - 6) = x^2 - x^2 + x + 6 = x + 6$
这是一个一次函数，因为它的最高次项是 $x^1$。
D. $y = x^2 - \frac{1}{x} + 2$ 不是一个二次函数，因为它包含了一个分式项 $-\frac{1}{x}$。

2. 若函数$ y= (m-3)x^{m^2-3m+2}+mx+1 $是二次函数,则 m 的值一定是 ()
A.3
B.0
C.3 或 0
D.1 或 2

B

要使函数$ y=(m-3)x^{m^2-3m+2}+mx+1 $是二次函数，需满足：
1. 二次项系数不为$0$：$ m - 3 \neq 0 \implies m \neq 3 $；
2. 自变量最高次数为$2$：$ m^2 - 3m + 2 = 2 $。
解方程$ m^2 - 3m + 2 = 2 $：
$\begin{aligned}m^2 - 3m + 2 - 2 &= 0 \\m^2 - 3m &= 0 \\m(m - 3) &= 0\end{aligned}$
解得$ m = 0 $或$ m = 3 $。
结合$ m \neq 3 $，得$ m = 0 $。
B

3. 二次函数$ y= 3x-5x^2+1 $的二次项系数为,一次项是,常数项是。

$-5$，$3x$，$1$

将二次函数$y=3x - 5x^2 + 1$化为一般形式为$y=-5x^2 + 3x + 1$。所以二次项系数为$-5$，一次项是$3x$，常数项是$1$。

4. 把二次函数 y= (30+x)(800-10x)化为一般形式为。

$y = -10x^{2} + 500x + 24000$

$y=(30+x)(800-10x)$
$=30×800 - 30×10x + 800x - 10x^{2}$
$=24000 - 300x + 800x - 10x^{2}$
$=-10x^{2} + 500x + 24000$

5. (1)菱形的两条对角线的和为 26 cm,求菱形的面积 S(单位：$cm^2)$与一对角线长 x(单位：cm)之间的函数表达式：S=；
(2)如图,在长 200 m、宽 80 m 的矩形广场内修建等宽的十字形道路,请写出绿地面积 y(单位：$m^2)$与路宽 x(单位：m)之间的函数表达式：y=。

【解析】：
(1) 菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。设一条对角线长为 $x$ cm，则另一条对角线长为 $26 - x$ cm。
因此，菱形的面积 $S$ 可以表示为：
$S = \frac{1}{2} × x × (26 - x) = \frac{1}{2} × (26x - x^2) = - \frac{1}{2}x^2 + 13x$，
故答案为：$S = - \frac{1}{2}x^2 + 13x$；
(2) 矩形广场的总面积为 $200 × 80 = 16000 m^2$。
十字形道路的面积由两条垂直的道路组成，每条道路的宽度为 $x$ m。
因此，十字形道路的总面积为 $200x + 80x - x^2 = 280x - x^2$ $m^2$（注意减去重复计算的 $x^2$ 部分）。
所以，绿地的面积 $y$ 可以表示为：
$y = 16000 - (280x - x^2) = x^2 - 280x + 16000$，
但考虑到 $x$ 是路宽，且道路不能超出广场的边界，因此 $x$ 的取值范围应满足 $0 ＜ x ＜ 80$（因为广场的最短边为80m）。
不过，由于题目只要求函数表达式，所以最终答案为：
$y = x^2 - 280x + 16000$，
故答案为：$y =x^2 - 280x + 16000$。

6. 已知$ y= (m+2)x^{m^2+m-4}-8x+10。$
(1)当 m 为何值时,它是 y 关于 x 的二次函数？
(2)在(1)的情况下,当 x= 1 时,求 y 的值。

(1) 为了使 $y = (m+2)x^{m^2+m-4} - 8x + 10$ 是关于 $x$ 的二次函数，需要满足以下条件：
$m^2 + m - 4 = 2$，
$m + 2 \neq 0$，
解第一个方程 $m^2 + m - 4 = 2$，得到：
$m^2 + m - 6 = 0$，
$(m - 2)(m + 3) = 0$，
$m = 2 \quad 或 \quad m = -3$，
由于 $m + 2 \neq 0$，所以 $m \neq -2$。
因此，当 $m = 2$ 或 $m = -3$ 时，它是 $y$ 关于 $x$ 的二次函数。
(2) 当 $m = 2$ 时，原函数变为：
$y = 4x^2 - 8x + 10$，
当 $x = 1$ 时，
$y = 4×1^2 - 8×1 + 10 = 4 - 8 + 10 = 6$，
当 $m = -3$ 时，原函数变为：
$y = (-3+2)x^{(-3)^2+(-3)-4} - 8x + 10 = -x^2 - 8x + 10$，
当 $x = 1$ 时，
$y = -1^2 - 8×1 + 10 = -1 - 8 + 10 = 1$，
综上，当 $m = 2$，$x = 1$ 时，$y = 6$；当 $m = -3$，$x = 1$ 时，$y = 1$。

7. 已知 y 与$ x^2$成正比例,且当 x= 3,y= -18 时,求 y 与 x 之间的函数表达式,并判断它是否为二次函数。

设函数表达式为$y = kx^{2}$ (其中$k \neq 0$)。
根据题目条件，当$x = 3$时，$y = -18$，代入得：
$-18 = 9k$
$k = -2$
因此，所求的函数表达式为$y = -2x^{2}$。
根据二次函数的定义，该函数表达式符合二次函数的形式，所以它是二次函数。