4. 等边三角形的边长与高的比为.

比值为$2:\sqrt{3}$

设等边三角形的边长为$a$，高为$h$。
由等边三角形的性质，可知其高$h$可以表示为$h = a × \frac{\sqrt{3}}{2}$（利用30-60-90度直角三角形的性质，其中长直角边是斜边的一半乘以$\sqrt{3}$）。
因此，等边三角形的边长与高的比可以表示为：
$\frac{a}{h} = \frac{a}{a × \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$
为了得到最简比，我们可以同时乘以$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$，得到：
$\frac{a}{h} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$
再将其化为整数比，即得：
$\frac{a}{h} = 2 : \sqrt{3} = 2\sqrt{3}:3$
由于题目要求的是比值，可以简化为$2:\sqrt{3}$。

5. 在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,$\angle A= 30^{\circ}$,$\angle A$,$\angle B$,$\angle C$所对的边分别为a,b,c,则$a:b:c= $.

$1:\sqrt{3}:2$

在直角三角形$ABC$中，$\angle C= 90^{\circ}$，$\angle A= 30^{\circ}$，则$\angle B= 60^{\circ}$。
根据30°-60°-90°三角形的性质：
30°角所对的边（即$a$）是斜边（即$c$）的一半，即$a = \frac{c}{2}$。
60°角所对的边（即$b$）是30°角所对的边的$\sqrt{3}$倍，即$b = \sqrt{3} × a=\frac{\sqrt{3}c}{2} $。
因此，边长比例 $a:b:c$ 可以表示为：
$a:b:c = \frac{c}{2} : \frac{\sqrt{3}c}{2} : c=1:\sqrt{3}:2$。

6. 若点C是线段AB的黄金分割点($AC＞BC$).若$AB= 6\ cm$,则$AC= $.

$3\sqrt{5} - 3$

1. 根据黄金分割的定义，若点 $C$ 把线段 $AB$ 黄金分割，且 $AC ＞ BC$，则满足 $\frac{AC}{BC} = \frac{AB}{AC}$。
2. 设 $AC = x$，则 $BC = AB - AC = 6 - x$。
3. 根据黄金分割比例，$\frac{x}{6 - x} = \frac{6}{x}$。
4. 交叉相乘得到 $x^2 = 6(6 - x)$。
5. 展开并整理方程：$x^2 + 6x - 36 = 0$。
6. 使用求根公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，其中 $a = 1$，$b = 6$，$c = -36$。
7. 计算得 $x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 144}}{2} = \frac{-6 \pm 6\sqrt{5}}{2} = -3 \pm 3\sqrt{5}$。
8. 因 $x$ 为线段长度，必须为正值，故 $x = 3\sqrt{5} - 3$。

7. 若$a:b:c= 2:3:7$,且$a+b+c= 36$,则$a= $,$b= $,$c= $.

设 $a = 2k$，$b = 3k$，$c = 7k$，其中 $k$ 是一个常数。
根据题意，有 $a + b + c = 36$，代入得：
$2k + 3k + 7k = 36$，
合并同类项，得：
$12k = 36$，
解得：
$k = 3$。
将 $k = 3$ 代入 $a = 2k$，$b = 3k$，$c = 7k$，得到：
$a = 2 × 3 = 6$，
$b = 3 × 3 = 9$，
$c = 7 × 3 = 21$。
故答案为：$a = 6$；$b = 9$；$c = 21$。

8. 已知$\frac{3x-4y}{2x+y}= \frac{1}{2}$,求$\frac{x}{y}$的值.

$\boxed{\dfrac{9}{4}}$

由题设条件$\frac{3x-4y}{2x+y} = \frac{1}{2}$，两边交叉相乘得：
$2(3x - 4y) = 2x + y$
展开并整理：
$6x - 8y = 2x + y$
移项合并同类项：
$6x - 2x = 8y + y$
$4x = 9y$
两边同除以$4y$（$y \neq 0$）：
$\frac{x}{y} = \frac{9}{4}$

9. 已知$x:y= 3:5$,$y:z= 2:3$,求$\frac{x+y+z}{2x-y+z}$的值.

$\frac{31}{17}$

由 $x:y = 3:5$，设$x = 3k$，$y = 5k$（$k \neq 0$）。
由 $y:z = 2:3$，将$y = 5k$代入可得 $5k:z = 2:3$，即$\frac{5k}{z}=\frac{2}{3}$，交叉相乘得$2z = 15k$，解得$z=\frac{15}{2}k$。
将$x = 3k$，$y = 5k$，$z=\frac{15}{2}k$代入$\frac{x + y + z}{2x - y + z}$可得：
$\frac{3k + 5k+\frac{15}{2}k}{2×3k - 5k+\frac{15}{2}k}=\frac{\frac{6 + 10+15}{2}k}{\frac{12 - 10 + 15}{2}k}=\frac{\frac{31}{2}k}{\frac{17}{2}k}=\frac{31}{17}$。

10. 若线段a,b满足$(a^{2}+4b^{2}):ab= 4:1$,求$a:b$的值.

$a:b = 2:1$

由题意，有：
$\frac{a^{2} + 4b^{2}}{ab} = \frac{4}{1}$，
交叉相乘，得到：
$a^{2} + 4b^{2} = 4ab$，
移项，得到：
$a^{2} - 4ab + 4b^{2} = 0$，
这是一个完全平方公式，可以写为：
$(a - 2b)^{2} = 0$，
解得$a = 2b$。
所以，$\frac{a}{b} = 2$，即$a:b = 2:1$。

11. 已知实数a,b,c满足$\frac{b+c}{a}= \frac{c+a}{b}= \frac{a+b}{c}$,求$\frac{b+c}{a}$的值.

$2$或$-1$

设$\frac{b+c}{a} = \frac{c+a}{b} = \frac{a+b}{c} = k$，则有：
$b + c = ak$，$c + a = bk$，$a + b = ck$。
三式相加得：$2(a + b + c) = k(a + b + c)$。
情况1： 若$a + b + c \neq 0$，则$k = 2$，即$\frac{b+c}{a} = 2$。
情况2： 若$a + b + c = 0$，则$a + b = -c$，代入$a + b = ck$得$-c = ck$。
因$c \neq 0$（分母不为0），故$k = -1$，即$\frac{b+c}{a} = -1$。
综上，$\frac{b+c}{a}$的值为$2$或$-1$。