1. (1)写一个与 $ -\frac{1}{2}x^{2} $ 是同类项的式子；
(2)若式子 $ -4x^{6}y $ 与 $ x^{2n}y $ 是同类项,则常数 $ n $ 的值是.

(1)（答案不唯一）$x^{2}$；(2)$3$。

(1) 同类项的定义是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。在式子$ -\frac{1}{2}x^{2} $中，字母是$x$，指数是$2$，所以与它是同类项的式子可以是$x^{2}$（答案不唯一，只要$x$的指数为$2$即可）。
(2) 因为式子$ -4x^{6}y $与$ x^{2n}y $是同类项，根据同类项的定义，它们所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，所以$x$的指数$2n$必须等于$6$，即$2n = 6$，解得$n = 3$。

2. 定义：若 $ a + b = 0 $,则称 $ a $ 与 $ b $ 是关于原点的归零数.
(1) $ -2 $ 与是关于原点的归零数,$ 7 - x $ 与是关于原点的归零数；
(2)若 $ a = -3x^{2}+4x - 6 $,$ b = -4x + 2x^{2}+x^{2}-5 $,则 $ a $ 与 $ b $(填“是”或“不是”)关于原点的归零数.

(1) 2；$x - 7$
(2) 不是
解析：
(1) 因为互为归零数的两数之和为0，所以$-2$的归零数是$0 - (-2) = 2$；$7 - x$的归零数是$0 - (7 - x) = x - 7$。
(2) 计算$a + b$：$\begin{aligned}a + b&=(-3x^{2}+4x - 6) + (-4x + 2x^{2}+x^{2}-5)\\&=-3x^{2}+4x - 6 -4x + 2x^{2}+x^{2}-5\\&=(-3x^{2}+2x^{2}+x^{2}) + (4x - 4x) + (-6 - 5)\\&=0 + 0 - 11\\&=-11 \neq 0\end{aligned}$所以$a$与$b$不是关于原点的归零数。

3. 下列式子不是同类项的是()
A.$ -1 $ 和 3
B.$ 3ab $ 与 $ -\frac{1}{3}ba $
C.$ 3x^{2}y $ 和 $ 3xy^{2} $
D.$ 2ab^{2} $ 与 $ -b^{2}a $

C

同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。
A选项：$-1$和3都是常数项，属于同类项。
B选项：$3ab$与$-\frac{1}{3}ba$所含字母相同（$a$和$b$），且$a$和$b$的指数均为1，属于同类项。
C选项：$3x^{2}y$中$x$的指数为2，$y$的指数为1；而$3xy^{2}$中$x$的指数为1，$y$的指数为2，不属于同类项。
D选项：$2ab^{2}$与$-b^{2}a$所含字母相同（$a$和$b$），且$a$的指数为1，$b$的指数为2，属于同类项。

4. 把多项式 $ 2x^{2}-5x + x^{2}+4x + 3x^{2} $ 合并同类项后,所得多项式是()
A.二次二项式
B.二次三项式
C.一次二项式
D.三次二项式

A

首先将同类项合并，原式为 $2x^{2}-5x + x^{2}+4x + 3x^{2}$。
合并 $x^{2}$ 的系数：$2x^{2} + x^{2} + 3x^{2} = 6x^{2}$。
合并 $x$ 的系数：$-5x + 4x = -x$。
因此，合并后的多项式为 $6x^{2} - x$，是二次二项式。

5. 下列运算中结果正确的是()
A.$ 3a + 2b = 5ab $
B.$ 2a^{3}+3a^{2}= 5a^{5} $
C.$ 3a^{2}b-3ba^{2}= 0 $
D.$ 5a^{2}-4a^{2}= 1 $

C

A. $3a$和$2b$不是同类项，不能合并，故此选项错误；
B. $2a^{3}$和$3a^{2}$不是同类项，不能合并，故此选项错误；
C. $3a^{2}b - 3ba^{2} = 0$，因为$3a^{2}b$和$-3ba^{2}$是同类项且系数互为相反数，合并后为0，故此选项正确；
D. $5a^{2} - 4a^{2} = a^{2}$，而非1，故此选项错误。

6. 阅读理解,合并同类项.
$ -4x^{2}-2x + 7 - 3x + 8x^{2}-2 $
$ =(-4x^{2}+8x^{2})+(-2x - 3x)+(7 - 2) $ ①
$ =(-4 + 8)x^{2}+(-2 - 3)x+(7 - 2) $ ②
$ =4x^{2}-5x + 5 $.
①的依据是；
②的依据是.

加法交换律和结合律；合并同类项法则

题中①是将同类项放在一起，依据是加法交换律和结合律。
题中②是根据合并同类项的法则，即字母和字母的指数不变，系数相加减。

7. 合并同类项：
$ -2x^{2}y + 3xy^{2}+3x^{2}y-3xy^{2} $.

解：$-2x^{2}y + 3xy^{2}+3x^{2}y-3xy^{2}$
$=(-2x^{2}y + 3x^{2}y)+(3xy^{2}-3xy^{2})$
$=( -2 + 3)x^{2}y+(3 - 3)xy^{2}$
$=x^{2}y + 0$
$=x^{2}y$

8. 先合并同类项,再求值：
$ a^{3}-5a^{2}b + 3ab^{2}-3b^{3}+2b^{3}-3b^{2}a-5a^{2}b-2a^{3} $,其中 $ a = -1 $,$ b = 2 $.

$-27$

合并同类项：
$\begin{aligned}&a^{3}-5a^{2}b + 3ab^{2}-3b^{3}+2b^{3}-3b^{2}a-5a^{2}b-2a^{3}\\=&(a^{3}-2a^{3})+(-5a^{2}b-5a^{2}b)+(3ab^{2}-3ab^{2})+(-3b^{3}+2b^{3})\\=&-a^{3}-10a^{2}b -b^{3}\end{aligned}$
代入求值：
当 $a=-1$，$b=2$ 时，
$\begin{aligned}&-(-1)^{3}-10×(-1)^{2}×2-(2)^{3}\\=&-(-1)-10×1×2-8\\=&1-20-8\\=&-27\end{aligned}$

9. 已知 $ 4a^{4}b^{m}c $ 与 $ -\frac{7}{2}b^{2}a^{n + 3}c^{p - 2} $ 的和是单项式,求 $ 5m + 3n - p $ 的值.

因为$4a^{4}b^{m}c$与$-\frac{7}{2}b^{2}a^{n + 3}c^{p - 2}$的和是单项式，
所以它们是同类项。
根据同类项的定义，两个单项式所含字母相同，且相同字母的指数也相同。
对比$a$的指数，有：
$n + 3 = 4$
解得：
$n = 1$
对比$b$的指数，有：
$m = 2$
对比$c$的指数，有：
$p - 2 = 1$
解得：
$p = 3$
将$m = 2$，$n = 1$，$p = 3$代入$5m + 3n - p$，得：
$5 × 2 + 3 × 1 - 3 = 10 + 3 - 3 = 10$
故$5m + 3n - p = 10$。

10. 已知 $ \frac{x^{5 + a}y^{7}}{2} $ 与 $ -7x^{6}y^{b + 4} $ 是同类项.
(1)求 $ a $,$ b $ 的值；
(2)请判断 $ -2x^{4a + 1}y^{2b - 3} $,$ x^{7 - 2a}y^{b} $,$ 6x^{2a + 1}y^{2b - 1} $,$ \frac{x^{a + b + 1}y^{2b - 3a}}{2} $,$ y^{3a}x^{2b - 1} $ 中哪些是同类项？

(1)因为$\frac{x^{5 + a}y^{7}}{2}$与$-7x^{6}y^{b + 4}$是同类项，所以相同字母的指数相同，即$5 + a = 6$，$7 = b + 4$。解得$a = 1$，$b = 3$。
(2)将$a = 1$，$b = 3$代入各整式：
$-2x^{4a + 1}y^{2b - 3}=-2x^{4×1 + 1}y^{2×3 - 3}=-2x^{5}y^{3}$
$x^{7 - 2a}y^{b}=x^{7 - 2×1}y^{3}=x^{5}y^{3}$
$6x^{2a + 1}y^{2b - 1}=6x^{2×1 + 1}y^{2×3 - 1}=6x^{3}y^{5}$
$\frac{x^{a + b + 1}y^{2b - 3a}}{2}=\frac{x^{1 + 3 + 1}y^{2×3 - 3×1}}{2}=\frac{x^{5}y^{3}}{2}$
$y^{3a}x^{2b - 1}=x^{2×3 - 1}y^{3×1}=x^{5}y^{3}$
所以$-2x^{4a + 1}y^{2b - 3}$、$x^{7 - 2a}y^{b}$、$\frac{x^{a + b + 1}y^{2b - 3a}}{2}$、$y^{3a}x^{2b - 1}$是同类项。
(1)$a = 1$，$b = 3$；(2)$-2x^{4a + 1}y^{2b - 3}$、$x^{7 - 2a}y^{b}$、$\frac{x^{a + b + 1}y^{2b - 3a}}{2}$、$y^{3a}x^{2b - 1}$是同类项。