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6. 一项工作,甲单独做 8 天可以完成,乙单独做 4 天可以完成,现在甲先做 2 天,剩下的工作由乙继续完成,乙还需要多少天可以完成这项工作？设乙还需 $ x $ 天可以完成这项工作,可列方程为
$\frac{1}{8} × 2 + \frac{1}{4}x = 1$
。答案
$\frac{1}{8} × 2 + \frac{1}{4}x = 1$（以方程形式呈现即可，无需化简）
解析
设工作总量为1，甲的工作效率为 $ \frac{1}{8} $，乙的工作效率为 $ \frac{1}{4} $。甲先做2天，完成的工作量为 $ \frac{1}{8} × 2 = \frac{1}{4} $。剩下的工作量为 $ 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $。乙完成剩余工作量所需时间为 $ x $ 天，根据工作量关系可列方程：
$ \frac{1}{4}x = \frac{3}{4} $（或等价形式 $ x = 3 $ 的方程变形，但题目要求列方程故写方程原式） ，更准确根据题意列方程为：$\frac{1}{8} × 2 + \frac{1}{4}x = 1$。
$ \frac{1}{4}x = \frac{3}{4} $（或等价形式 $ x = 3 $ 的方程变形，但题目要求列方程故写方程原式） ，更准确根据题意列方程为：$\frac{1}{8} × 2 + \frac{1}{4}x = 1$。
7. 某单位为一中学捐赠了一批新桌椅,学校组织七年级 200 名学生搬桌椅。规定一人一次搬两把椅子,两人一次搬一张桌子,每人限搬一次,则七年级学生最多可搬桌椅的套数(一桌一椅为一套)为
80
套。答案
80
解析
设可以搬桌椅$x$套，即搬桌子$x$张、椅子$x$把。
搬桌子需学生$2x$人，搬椅子需学生$\frac{x}{2}$人（因为一人一次搬两把椅子，搬$x$把椅子需$\frac{x}{2}$人）。
根据七年级有$200$名学生，可列不等式：
$2x+\frac{x}{2}\leq200$
合并同类项得$\frac{5}{2}x\leq200$
两边同时除以$\frac{5}{2}$，$x\leq200×\frac{2}{5}=80$
所以七年级学生最多可搬桌椅$80$套。
搬桌子需学生$2x$人，搬椅子需学生$\frac{x}{2}$人（因为一人一次搬两把椅子，搬$x$把椅子需$\frac{x}{2}$人）。
根据七年级有$200$名学生，可列不等式：
$2x+\frac{x}{2}\leq200$
合并同类项得$\frac{5}{2}x\leq200$
两边同时除以$\frac{5}{2}$，$x\leq200×\frac{2}{5}=80$
所以七年级学生最多可搬桌椅$80$套。
8. 某城市下水管道工程由甲、乙两个工程队单独铺设分别需要 10 天和 15 天完成,如果两队从两端同时施工 2 天,剩下的由乙单独完成,则还需
10
天完成。答案
10
解析
设总工程量为1，甲队每天完成$\frac{1}{10}$，乙队每天完成$\frac{1}{15}$。两队同时施工2天完成的工作量为$2×(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})=2×\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$，剩余工作量为$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。由乙单独完成需$\frac{2}{3}÷\frac{1}{15}=10$天。
9. 用硬纸制作圆柱形茶叶筒,每张硬纸可制筒身 15 个或筒底 36 个(硬纸恰好无剩余),一个筒身和两个筒底配成一个茶叶筒。现有 110 张硬纸,用多少张硬纸制作筒身、多少张硬纸制作筒底可以正好制成整套茶叶筒且无剩余硬纸？共能做几套？
答案
设用$x$张硬纸制作筒身，则用$(110 - x)$张硬纸制作筒底。
由题意，筒身总数为$15x$个，筒底总数为$36(110 - x)$个。
根据一个筒身和两个筒底配成一个茶叶筒，可得：
$2 × 15x = 36(110 - x)$
$30x = 3960 - 36x$
$66x = 3960$
$x = 60$
所以，$110 - x = 50$。
共能制成的茶叶筒套数为：
$15 × 60 = 900$（套）
答：用60张硬纸制作筒身，50张硬纸制作筒底可以正好制成整套茶叶筒且无剩余硬纸，共能做900套。
由题意，筒身总数为$15x$个，筒底总数为$36(110 - x)$个。
根据一个筒身和两个筒底配成一个茶叶筒，可得：
$2 × 15x = 36(110 - x)$
$30x = 3960 - 36x$
$66x = 3960$
$x = 60$
所以，$110 - x = 50$。
共能制成的茶叶筒套数为：
$15 × 60 = 900$（套）
答：用60张硬纸制作筒身，50张硬纸制作筒底可以正好制成整套茶叶筒且无剩余硬纸，共能做900套。
10. 某制衣厂计划若干天完成一批服装的订单任务,如果每天生产服装 20 套,那么就比订单任务少生产 100 套；如果每天生产服装 23 套,那么就可超过订单任务 20 套,这批订单任务有多少套？
答案
设此批订单任务有$x$套，计划完成天数为$y$天。
根据题意，得$\begin{cases}20y = x - 100,\\23y = x + 20.\end{cases}$
两式相减得：
$3y = 120$
$y = 40$
将$y = 40$代入$20y = x - 100$，得：
$20×40 = x - 100$
$800 = x - 100$
$x = 900$
答：此批订单任务有$900$套。
根据题意，得$\begin{cases}20y = x - 100,\\23y = x + 20.\end{cases}$
两式相减得：
$3y = 120$
$y = 40$
将$y = 40$代入$20y = x - 100$，得：
$20×40 = x - 100$
$800 = x - 100$
$x = 900$
答：此批订单任务有$900$套。
11. 甲、乙两人想共同承包一项工程,甲单独做 30 天完成,乙单独做 20 天完成,合同规定 15 天完成,若完不成视为违约,甲、乙两人经过商量后签订了该合同。
(1)正常情况下,甲、乙两人合作能否履行该合同？为什么？
(2)现在两人合作了 9 天,因别处有急事,必须调走 1 人,问：两人调走谁可以不违约？说明理由。
(1)正常情况下,甲、乙两人合作能否履行该合同？为什么？
(2)现在两人合作了 9 天,因别处有急事,必须调走 1 人,问：两人调走谁可以不违约？说明理由。
答案
(1)设工程总量为$1$。
甲单独做一天完成工程的$\frac{1}{30}$，乙单独做一天完成工程的$\frac{1}{20}$。
甲、乙两人合作一天完成的工程量为：
$\frac{1}{30} + \frac{1}{20} = \frac{1}{12}$。
所以，甲、乙两人合作完成工程需要的天数为：
$1 ÷ \frac{1}{12} = 12$（天）。
因为$12 \lt 15$，
所以在正常情况下，甲、乙两人合作能履行该合同。
(2)设两人合作了$9$天后，余下的工程由甲单独完成需$x$天。
根据题意，可以列出方程：
$\frac{9}{12} + \frac{x}{30} = 1$，
解得$x = \frac{15}{2} = 7.5$，
$7.5 + 9 = 16.5 \gt 15$，所以甲不能单独完成；
设两人合作了$9$天后，余下的工程由乙单独完成需$y$天。
根据题意，可以列出方程：
$\frac{9}{12} + \frac{y}{20} = 1$，
解得$y = 5$，
因为$ 5 + 9 = 14 \lt 15$，所以乙可以单独完成。
所以调走甲可以不违约。
甲单独做一天完成工程的$\frac{1}{30}$，乙单独做一天完成工程的$\frac{1}{20}$。
甲、乙两人合作一天完成的工程量为：
$\frac{1}{30} + \frac{1}{20} = \frac{1}{12}$。
所以，甲、乙两人合作完成工程需要的天数为：
$1 ÷ \frac{1}{12} = 12$（天）。
因为$12 \lt 15$，
所以在正常情况下，甲、乙两人合作能履行该合同。
(2)设两人合作了$9$天后，余下的工程由甲单独完成需$x$天。
根据题意，可以列出方程：
$\frac{9}{12} + \frac{x}{30} = 1$，
解得$x = \frac{15}{2} = 7.5$，
$7.5 + 9 = 16.5 \gt 15$，所以甲不能单独完成；
设两人合作了$9$天后，余下的工程由乙单独完成需$y$天。
根据题意，可以列出方程：
$\frac{9}{12} + \frac{y}{20} = 1$，
解得$y = 5$，
因为$ 5 + 9 = 14 \lt 15$，所以乙可以单独完成。
所以调走甲可以不违约。
