6. 如图所示, 在 $ \triangle ABC $ 中, $ AB = 6 $, $ AC = 4 $, 则 $ BC $ 边上的中线 $ AD $ 的取值范围是.

$1 \lt AD \lt 5$

延长 $AD$ 到 $E$，使 $DE = AD$，连接 $BE$。
因为$AD$是$BC$边上的中线，
所以$BD = CD$，
在$\triangle ADC$和$\triangle EDB$中，
$\begin{cases}CD = BD, \\\angle ADC = \angle BDE, \\AD = DE.\end{cases}$
根据$SAS$（边角边）全等判定，
可得$\triangle ADC \cong \triangle EDB$，
所以$BE = AC = 4$，
在$\triangle ABE$中，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，
$AB - BE \lt AE \lt AB + BE$，
即$6 - 4 \lt 2AD \lt 6 + 4$，
$2 \lt 2AD \lt 10$，
解得$1 \lt AD \lt 5$。

7. 如图所示, $ AD $ 是 $ \triangle ABC $ 的中线, $ AB = AE $, $ AC = AF $, $ \angle BAE = \angle CAF = 90° $, 判断线段 $ EF $ 和 $ AD $ 的数量关系和位置关系, 并加以证明.

EF=2AD且EF⊥AD。
证明：延长AD至点G，使DG=AD，连接BG。
∵AD是△ABC中线，∴BD=CD。
在△ADC和△GDB中，
$\left\{\begin{array}{l} AD=GD \\ ∠ADC=∠GDB \\ CD=BD \end{array}\right.$
∴△ADC≌△GDB（SAS）。
∴BG=AC，∠G=∠CAD，∠GBD=∠ACD。
∵AC=AF，∴BG=AF。
∵∠BAE=∠CAF=90°，∴∠EAF=360°-∠BAE-∠CAF-∠BAC=180°-∠BAC。
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，
∴∠ABG=∠ABC+∠GBD=∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=∠EAF。
在△ABG和△EAF中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=EA \\ ∠ABG=∠EAF \\ BG=AF \end{array}\right.$
∴△ABG≌△EAF（SAS）。
∴EF=AG，∠AEF=∠BAG。
∵AG=AD+DG=2AD，∴EF=2AD。
延长DA交EF于点H，
∵∠BAE=90°，∴∠BAG+∠EAH=90°。
∵∠AEF=∠BAG，∴∠AEF+∠EAH=90°。
∴∠EHA=180°-（∠AEF+∠EAH）=90°，即EF⊥AD。
综上，EF=2AD且EF⊥AD。

8. 如图所示, 在 $ \triangle ABC $ 中, 点 $ D $ 是 $ BC $ 的中点, 点 $ E $, $ F $ 分别在 $ AB $, $ AC $ 上, 且 $ DE \perp DF $, 求证: $ BE + CF ＞ EF $.

证明：
延长 $FD$ 到点 $G$，使得 $DG = DF$，连接 $BG$，$EG$。
因为点 $D$ 是 $BC$ 的中点，
所以$BD = CD$，
在$\triangle BDG$和$\triangle CDF$中，
$\begin{cases}BD = CD, \\ \angle BDG = \angle CDF, \\DG = DF.\end{cases}$
根据$SAS$（边角边）全等条件，
所以$\triangle BDG \cong \triangle CDF$，
所以$BG = CF$，
因为$DE \perp DF$，$DG = DF$，
所以$\angle EDF = \angle EDG = 90°$，
在$\triangle EDF$和$\triangle EDG$中，
$\begin{cases}DE = DE, \\ \angle EDF = \angle EDG, \\ DF = DG.\end{cases}$
根据$SAS$（边角边）全等条件，
所以$\triangle EDF \cong \triangle EDG$，
所以$EF = EG$，
在$\triangle BEG$中，根据三角形两边之和大于第三边，
所以$BE + BG＞ EG$，
因为$BG = CF$，$EG = EF$，
所以$BE + CF ＞ EF$。