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8. 如图,长方形 $ ABCD $ 的两边之差为 4,以长方形的四条边分别为边向外作四个正方形,且这四个正方形的面积和为 80,则长方形 $ ABCD $ 的面积是 (
A.12
B.21
C.24
D.32
A
)A.12
B.21
C.24
D.32
答案
A
解析
设长方形$ABCD$的长为$a$，宽为$b$，且$a ＞ b$。
由题意得：
1. $a - b = 4$
2. 四个正方形面积和为$80$，即$a^2 + a^2 + b^2 + b^2 = 80$，化简得$2a^2 + 2b^2 = 80$，进一步得$a^2 + b^2 = 40$
对$a - b = 4$两边平方：$(a - b)^2 = 16$，即$a^2 - 2ab + b^2 = 16$
将$a^2 + b^2 = 40$代入上式：$40 - 2ab = 16$，解得$2ab = 24$，则$ab = 12$
长方形面积为$ab = 12$
A
由题意得：
1. $a - b = 4$
2. 四个正方形面积和为$80$，即$a^2 + a^2 + b^2 + b^2 = 80$，化简得$2a^2 + 2b^2 = 80$，进一步得$a^2 + b^2 = 40$
对$a - b = 4$两边平方：$(a - b)^2 = 16$，即$a^2 - 2ab + b^2 = 16$
将$a^2 + b^2 = 40$代入上式：$40 - 2ab = 16$，解得$2ab = 24$，则$ab = 12$
长方形面积为$ab = 12$
A
9. 已知 $ (x + y)^2 = 25 $,$ x^2 + y^2 = 15 $,则 $ xy = $
5
.答案
5
解析
$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，已知$(x+y)^2=25$，$x^2+y^2=15$，则$25=15+2xy$，$2xy=25-15=10$，$xy=5$。
5
5
10. 按下列要求给多项式 $ - a^3 + 2a^2 - a + 1 $ 添括号.
(1)使最高次项系数变为正数.
(2)把奇次项放在前面是“$ - $”号的括号里,其余的项放在前面是“$ + $”号的括号里.
(1)使最高次项系数变为正数.
(2)把奇次项放在前面是“$ - $”号的括号里,其余的项放在前面是“$ + $”号的括号里.
答案
解:
(1)根据题意可得-(a³-2a²+a-1).
(2)根据题意可得-(a³+a)+(2a²+1).
(1)根据题意可得-(a³-2a²+a-1).
(2)根据题意可得-(a³+a)+(2a²+1).
11. 计算：(1)$ (3a - 2b - c)(3a + 2b + c) $；
(2)$ (a - 2b + 5c)^2 $；
(3)$ (2x - y + 3)^2 $.
(2)$ (a - 2b + 5c)^2 $；
(3)$ (2x - y + 3)^2 $.
答案
解:
(1)原式=[3a-(2b+c)][3a+(2b+c)]=9a²-(2b+c)²=9a²-(4b²+4bc+c²)=9a²-4b²-4bc-c².
(2)原式=[a-(2b-5c)]²=a²-2a(2b-5c)+(2b-5c)²=a²-4ab+10ac+4b²-20bc+25c².
(3)原式=[(2x-y)+3]²=(2x-y)²+2(2x-y)·3+3²=4x²-4xy+y²+12x-6y+9.
(1)原式=[3a-(2b+c)][3a+(2b+c)]=9a²-(2b+c)²=9a²-(4b²+4bc+c²)=9a²-4b²-4bc-c².
(2)原式=[a-(2b-5c)]²=a²-2a(2b-5c)+(2b-5c)²=a²-4ab+10ac+4b²-20bc+25c².
(3)原式=[(2x-y)+3]²=(2x-y)²+2(2x-y)·3+3²=4x²-4xy+y²+12x-6y+9.
12. 若 $ x - 2y = 5 $,$ xy = - 2 $,求下列各式的值：(1)$ x^2 + 4y^2 $；(2)$ (x + 2y)^2 $.
答案
解:
(1)把x-2y=5两边平方得(x-2y)²=x²+4y²-4xy=25,把xy=-2代入,得x²+4y²=17.
(2)因为(x-2y)²=25,xy=-2,所以(x+2y)²=(x-2y)²+8xy=25-16=9.
(1)把x-2y=5两边平方得(x-2y)²=x²+4y²-4xy=25,把xy=-2代入,得x²+4y²=17.
(2)因为(x-2y)²=25,xy=-2,所以(x+2y)²=(x-2y)²+8xy=25-16=9.
13. 若 $ a - b = 2 $,$ a - c = 1 $,求$ (2a - b - c)^2 + (c - a)^2 $ 的值.
答案
解:(2a-b-c)²+(c-a)²=(a-b+a-c)²+(a-c)²=(2+1)²+1²=10.
解析
解：$(2a - b - c)^2 + (c - a)^2$
$=(a - b + a - c)^2 + (a - c)^2$
$=(2 + 1)^2 + 1^2$
$=9 + 1$
$=10$
$=(a - b + a - c)^2 + (a - c)^2$
$=(2 + 1)^2 + 1^2$
$=9 + 1$
$=10$
14. 如果$ (2a + 2b + 1)(2a + 2b - 1)= 63 $,求 $ a + b $ 的值.
答案
解:(2a+2b+1)(2a+2b-1)=[(2a+2b)+1][(2a+2b)-1]=(2a+2b)²-1=4(a+b)²-1=63.
∴(a+b)²=16,
∴a+b=±4.
∴(a+b)²=16,
∴a+b=±4.
15. 将 4 个数 $ a $,$ b $,$ c $,$ d $ 排成两行两列,两边各加一条竖线记成 $ \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} $,定义 $ \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} = ad - bc $,上述记号就叫作二阶行列式. 若 $ \begin{vmatrix}x + 1&x - 1\\1 - x&x + 1\end{vmatrix} = 10 $,求 $ x $ 的值.
答案
解:根据题意知(x+1)(x+1)-(x-1)(1-x)=10,
∴(x+1)²+(x-1)²=10,
∴x²+2x+1+x²-2x+1=10,
∴2x²=8,
∴x²=4,
∴x=±2.
∴(x+1)²+(x-1)²=10,
∴x²+2x+1+x²-2x+1=10,
∴2x²=8,
∴x²=4,
∴x=±2.
