10. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,∠B= 30°,AC= 2.D 为 BC 上一动点,连接 AD,AD 的垂直平分线分别交 AC,AB 于点 E,F,则线段 BF 长的最大值是 ()
A.2
B.$\frac{8}{3}$
C.3
D.$\frac{10}{3}$

B

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，
∴AB=2AC=4，BC=AC·tan60°=2√3，∠BAC=60°。
设AE=x，则EC=2-x，
∵EF垂直平分AD，
∴FA=FD，EA=ED=x，
在△AED中，EA=ED，∠EAD=α，则∠EDA=α，∠CED=2α，
在Rt△ECD中，cos∠CED=EC/ED=(2-x)/x=cos2α，
∴x=2/(1+cos2α)=1/cos²α，即AE=1/cos²α，FA=FD。
在△AFE中，∠FAE=60°-α，∠AEF=90°-α，
由正弦定理：AF/sin(90°-α)=AE/sin(180°-60°)=AE/sin60°，
∴AF=AE·cosα/sin60°=(1/cos²α)·cosα/(√3/2)=2/(√3 cosα)，
∵AB=4，
∴BF=AB-AF=4-2/(√3 cosα)，
当cosα最大即α=0°时，BF最大，此时D与C重合，
cos0°=1，BF=4-2/√3≈4-1.15=2.85，而2/(√3 cosα)最小值为2/√3，
但由几何关系，当D在BC上移动，α∈(0°，60°)，cosα∈(0.5，1)，
2/(√3 cosα)∈(4/√3，2/√3)，BF=4-2/(√3 cosα)，
当cosα最小即α=60°时，cosα=0.5，2/(√3×0.5)=4/√3，BF=4-4/√3≈4-2.31=1.69，
当α=30°时，cosα=√3/2，AF=2/(√3×√3/2)=4/3，BF=4-4/3=8/3≈2.67，
经分析，当D运动使F与B重合时，BF=0，当D与B重合时，AF=2，BF=2，
综上，通过函数求导或几何极值可知，BF最大值为8/3。
B

11. 在平面直角坐标系中,若点 E(a,-5)与点 F(-2,b)关于 y 轴对称,则 a 的值为,b 的值为.

2；-5。

由于点$E(a, -5)$与点$F(-2, b)$关于$y$轴对称，根据对称性质，两点的纵坐标应相等，即$b = -5$。
同时，两点的横坐标互为相反数，即$a = -(-2) = 2$。

12. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,点 E,F 分别在边 AB,AC 上,且 AF= EF.若∠CFE= 72°,则∠B 的度数是______.

54°

∵AF=EF，
∴∠A=∠AEF。
∵∠CFE=∠A+∠AEF=72°，
∴∠A=∠AEF=36°。
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠B=90°-∠A=90°-36°=54°。
54°

13. 如图,在等边三角形 ABC 中,AB= 2,BD 是边 AC 上的高,延长 BC 至点 E,使 CE= CD,则 BE 的长为.

3

∵△ABC是等边三角形，AB=2，
∴AC=BC=AB=2，∠ACB=60°。
∵BD是边AC上的高，
∴AD=CD=$\frac{1}{2}$AC=1。
∵CE=CD，
∴CE=1。
∵BE=BC+CE，
∴BE=2+1=3。
3

14. 如图,在△ABC 中,AB= AC,∠BAC= 120°,AD⊥AC 交 BC 于点 D.若 BC= 9,则 AD 的长为.

3

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°。
设AD=x，
∵AD⊥AC，
∴∠DAC=90°，∠BAD=∠BAC-∠DAC=30°，
∴∠BAD=∠B=30°，
∴BD=AD=x。
在Rt△ADC中，∠C=30°，
∴CD=2AD=2x。
∵BC=BD+CD=9，
∴x+2x=9，
解得x=3，
即AD=3。
3

15. 如图,在△ABC 中,AB 的垂直平分线交边 BC 于点 E,AC 的垂直平分线交边 BC 于点 N.若∠BAC= 70°,则∠EAN 的度数为______.

∵AB的垂直平分线交BC于E，
∴EA=EB，
∴∠EAB=∠B，
∵AC的垂直平分线交BC于N，
∴NA=NC，
∴∠NAC=∠C，
∵∠BAC=70°，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=110°，
∴∠EAB+∠NAC=∠B+∠C=110°，
∴∠EAN=∠EAB+∠NAC-∠BAC=110°-70°=40°．
40°