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8. 如图,先将正方形纸片ABCD对折,折痕为MN,再次折叠纸片,使点B落在MN上的点H处,折痕为AE,则$\angle HBC$的度数为 (
A.$15^{\circ}$
B.$22.5^{\circ}$
C.$27.5^{\circ}$
D.$30^{\circ}$
A
)A.$15^{\circ}$
B.$22.5^{\circ}$
C.$27.5^{\circ}$
D.$30^{\circ}$
答案
A
解析
连接AH，BH。
∵四边形ABCD是正方形，MN为对折折痕，
∴MN垂直平分AB，BC，
∴AH=BH。
∵折叠使B落在H处，折痕为AE，
∴AH=AB，
∴AH=AB=BH，
∴△ABH是等边三角形，
∴∠ABH=60°。
∵∠ABC=90°，
∴∠HBC=∠ABC-∠ABH=90°-60°=30°。
D
∵四边形ABCD是正方形，MN为对折折痕，
∴MN垂直平分AB，BC，
∴AH=BH。
∵折叠使B落在H处，折痕为AE，
∴AH=AB，
∴AH=AB=BH，
∴△ABH是等边三角形，
∴∠ABH=60°。
∵∠ABC=90°，
∴∠HBC=∠ABC-∠ABH=90°-60°=30°。
D
9. 如果两个三角形的两边和其中一边的对角分别相等,且这两边的夹角不相等,那么这两个三角形弱全等.如图,点D,E在$\triangle ABC$的边BC上,$AB= AC$,$AD= AE$,则图中弱全等三角形共有 (
A.3对
B.4对
C.5对
D.6对
B
)A.3对
B.4对
C.5对
D.6对
答案
【解析】：由AB=AC得∠B=∠C，由AD=AE得∠ADE=∠AED，故∠ADB=∠AEC（等角的补角相等）。
1. △ABD与△ACE：AB=AC，AD=AE，∠ADB=∠AEC（AB、AC的对角），夹角∠BAD≠∠CAE，满足弱全等；
2. △ABE与△ACD：AB=AC，AE=AD，∠B=∠C（AE、AD的对角），夹角∠BAE≠∠CAD，满足弱全等；
3. △ABD与△ABE：AD=AE，AB=AB，∠B=∠B（AD、AE的对角），夹角∠BAD≠∠BAE，满足弱全等；
4. △ACE与△ACD：AE=AD，AC=AC，∠C=∠C（AE、AD的对角），夹角∠CAE≠∠CAD，满足弱全等。
共4对。
【答案】：B
1. △ABD与△ACE：AB=AC，AD=AE，∠ADB=∠AEC（AB、AC的对角），夹角∠BAD≠∠CAE，满足弱全等；
2. △ABE与△ACD：AB=AC，AE=AD，∠B=∠C（AE、AD的对角），夹角∠BAE≠∠CAD，满足弱全等；
3. △ABD与△ABE：AD=AE，AB=AB，∠B=∠B（AD、AE的对角），夹角∠BAD≠∠BAE，满足弱全等；
4. △ACE与△ACD：AE=AD，AC=AC，∠C=∠C（AE、AD的对角），夹角∠CAE≠∠CAD，满足弱全等。
共4对。
【答案】：B
10. 设$a= 2022-x$,$b= 2024-x$,$c= 2023-x$,若$a^{2}+b^{2}= 2024$,则$c^{2}$的值为 (
A.1014
B.1013
C.1012
D.1011
D
)A.1014
B.1013
C.1012
D.1011
答案
D
解析
由题意知，$a = 2022 - x$，$b = 2024 - x$，$c = 2023 - x$。
因为$a = 2022 - x = (2023 - x) - 1 = c - 1$，$b = 2024 - x = (2023 - x) + 1 = c + 1$。
所以$a^2 + b^2 = (c - 1)^2 + (c + 1)^2$，展开得：
$\begin{aligned}(c - 1)^2 + (c + 1)^2&=c^2 - 2c + 1 + c^2 + 2c + 1\\&=2c^2 + 2\end{aligned}$
已知$a^2 + b^2 = 2024$，则$2c^2 + 2 = 2024$，移项得$2c^2 = 2024 - 2 = 2022$，两边同时除以2，得$c^2 = 1011$。
D
因为$a = 2022 - x = (2023 - x) - 1 = c - 1$，$b = 2024 - x = (2023 - x) + 1 = c + 1$。
所以$a^2 + b^2 = (c - 1)^2 + (c + 1)^2$，展开得：
$\begin{aligned}(c - 1)^2 + (c + 1)^2&=c^2 - 2c + 1 + c^2 + 2c + 1\\&=2c^2 + 2\end{aligned}$
已知$a^2 + b^2 = 2024$，则$2c^2 + 2 = 2024$，移项得$2c^2 = 2024 - 2 = 2022$，两边同时除以2，得$c^2 = 1011$。
D
11. 在平面直角坐标系xOy中,点$(2,3)$关于y轴对称的点的坐标为
$(-2,3)$
.答案
$(-2,3)$
解析
在平面直角坐标系中，关于y轴对称的点的坐标规律是横坐标互为相反数，纵坐标不变。
已知点的坐标为$(2,3)$，根据上述规律，其关于y轴对称的点的横坐标为$-2$，纵坐标仍为$3$。
所以点$(2,3)$关于y轴对称的点的坐标为$(-2,3)$。
已知点的坐标为$(2,3)$，根据上述规律，其关于y轴对称的点的横坐标为$-2$，纵坐标仍为$3$。
所以点$(2,3)$关于y轴对称的点的坐标为$(-2,3)$。
12. 计算:$(8a^{4}+6a)÷ 2a=$
$4a^{3} + 3$
.答案
$4a^{3} + 3$
解析
$(8a^{4}+6a)÷ 2a$
$=8a^{4}÷2a + 6a÷2a$
$=4a^{3} + 3$
$=8a^{4}÷2a + 6a÷2a$
$=4a^{3} + 3$
13. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,$AD是\triangle ABC$的角平分线.若$CD= 3$,则点D到AB的距离为
3
.答案
3
解析
过点D作$DE\bot AB$于点E，则$DE$就是点D到$AB$的距离。
因为$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，$\angle C = 90^{\circ}$（即$DC\bot AC$），$DE\bot AB$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$DE = CD$。
已知$CD = 3$，所以$DE = 3$，即点$D$到$AB$的距离为$3$。
因为$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，$\angle C = 90^{\circ}$（即$DC\bot AC$），$DE\bot AB$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$DE = CD$。
已知$CD = 3$，所以$DE = 3$，即点$D$到$AB$的距离为$3$。
14. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,点D在AC上,且$BD= BC= AD$,则$\angle C$的度数为______
72
.答案
72
解析
设$\angle A = x$。
因为$AD = BD$，所以$\angle ABD=\angle A=x$，则$\angle BDC=\angle A + \angle ABD = 2x$。
因为$BD = BC$，所以$\angle C=\angle BDC = 2x$。
因为$AB = AC$，所以$\angle ABC=\angle C = 2x$。
在$\triangle ABC$中，$\angle A+\angle ABC+\angle C=180^\circ$，即$x + 2x + 2x=180^\circ$，解得$x = 36^\circ$，所以$\angle C=2x = 72^\circ$。
72
因为$AD = BD$，所以$\angle ABD=\angle A=x$，则$\angle BDC=\angle A + \angle ABD = 2x$。
因为$BD = BC$，所以$\angle C=\angle BDC = 2x$。
因为$AB = AC$，所以$\angle ABC=\angle C = 2x$。
在$\triangle ABC$中，$\angle A+\angle ABC+\angle C=180^\circ$，即$x + 2x + 2x=180^\circ$，解得$x = 36^\circ$，所以$\angle C=2x = 72^\circ$。
72
