10. 已知关于$x的一元二次方程ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)有两个实数根x_{1},x_{2}$,请用配方法探索有实数根的条件,推导出求根公式,并求证:$x_{1}· x_{2}= \frac{c}{a}$.

解：$\because ax^2+bx+c=0(a≠0)$，$\therefore x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$，$\therefore x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$，即$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$，$\because4a^2＞0$，$\therefore$当$b^2-4ac≥0$时，方程有实数根，$\therefore x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$\therefore$当$b^2-4ac＞0$时，$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；当$b^2-4ac=0$时，$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$。$\therefore x_1· x_2=\frac{(-b+\sqrt{b^2-4ac})(-b-\sqrt{b^2-4ac})}{4a^2}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}$，或$x_1· x_2=(-\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}$，$\therefore x_1· x_2=\frac{c}{a}$。

已知关于$x的一元二次方程(m-1)x^{2}-2mx+m+1= 0$.
(1)试用公式法解该方程;
(2)若该方程的两个根都为正整数,求整数$m$的值.

答题卡：
(1) 解：
由于方程是$(m-1)x^{2}-2mx+m+1= 0$，
所以$a = m-1$，$b = -2m$，$c = m+1$。
首先计算判别式：
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-2m)^{2} - 4(m-1)(m+1) = 4m^{2} - 4m^{2} + 4 = 4$
因为$\Delta ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根。
利用公式法，方程的两个根为：
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2m \pm \sqrt{4}}{2(m-1)} = \frac{2m \pm 2}{2(m-1)} = \frac{m \pm 1}{m-1}$
所以，
$x_{1} = \frac{m+1}{m-1} = 1 + \frac{2}{m-1}$
$x_{2} = \frac{m-1}{m-1} = 1$
(2) 解：
由(1)知，方程的两个根为$x_{1} = 1 + \frac{2}{m-1}$和$x_{2} = 1$。
因为方程的两个根都为正整数，所以$1 + \frac{2}{m-1}$必须为正整数。
考虑$\frac{2}{m-1}$为正整数，那么$m-1$只能是2的正约数，即$m-1 = 1$或$m-1 = 2$。
解得：$m = 2$或$m = 3$。
所以，整数$m$的值为2或3。