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5. 某电信公司有甲、乙两种手机收费业务.甲种业务规定月租费 10 元,每通话 1 min 收费 0.3 元；乙种业务不收月租费,但每通话 1 min 收费 0.4 元.
(1)何时选择甲种业务对顾客更合算？
(2)何时选择乙种业务对顾客更合算？
(1)何时选择甲种业务对顾客更合算？
(2)何时选择乙种业务对顾客更合算？
答案
解：设通话x分钟，甲收费业务的价格为$y_{甲}$元，乙收费业务的价格为$y_{乙}$元
∵甲种业务规定月租费10元，每通话$1 \mathrm {\mathrm {min}}$收费0.3元，∴$y_{甲}=10+0.3x$
∵乙种业务不收月租费，但每通话$1 \mathrm {\mathrm {min}}$收费0.4元，∴$y_{乙}=0.4x$
当$y_{甲}＞y_{乙}$时，10+0.3x＞0.4x，解得x＜100
当$y_{甲}=y_{乙}$时，10+0.3x=0.4x，解得x=100
当$y_{甲}＜y_{乙}$时，10+0.3x＜0.4x，解得x＞100
(1)当通话时间大于100分钟时，选择甲种业务对顾客更合算
(2)当通话时间小于100分钟时，选择乙种业务对顾客更合算.
∵甲种业务规定月租费10元，每通话$1 \mathrm {\mathrm {min}}$收费0.3元，∴$y_{甲}=10+0.3x$
∵乙种业务不收月租费，但每通话$1 \mathrm {\mathrm {min}}$收费0.4元，∴$y_{乙}=0.4x$
当$y_{甲}＞y_{乙}$时，10+0.3x＞0.4x，解得x＜100
当$y_{甲}=y_{乙}$时，10+0.3x=0.4x，解得x=100
当$y_{甲}＜y_{乙}$时，10+0.3x＜0.4x，解得x＞100
(1)当通话时间大于100分钟时，选择甲种业务对顾客更合算
(2)当通话时间小于100分钟时，选择乙种业务对顾客更合算.
6. 甲、乙两根蜡烛燃烧时,剩余部分的高度 $ y $ cm 与燃烧时间 $ x $ h 之间的关系如图所示.已知 $ y_{乙} = -10x + 25 $.请根据所提供的信息,解答下列问题.
(1)求甲蜡烛燃烧时,$ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式.
(2)燃烧多长时间时,甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度一样？
(1)求甲蜡烛燃烧时,$ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式.
(2)燃烧多长时间时,甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度一样？
答案
解：(1)设甲蜡烛燃烧时 y 关于 x 的函数表达式为 y=kx+b
由图可知，甲蜡烛初始高度为$18\ \mathrm {cm}($当 x=0 时， y=18 )
燃烧3小时后燃尽(当 x=3 时， y=0 )
将(0，18)和(3，0)代入表达式得$\begin {cases} b=18\\3k+b=0 \end {cases}，$解得$\begin {cases} k=-6\\b =18 \end {cases}$
∴函数表达式为 y=-6x+18
(2)令甲、乙剩余高度相等，即-6x+18=-10x+25，解得x=1.75
∴燃烧1.75小时时，两根蜡烛剩余部分高度一样
由图可知，甲蜡烛初始高度为$18\ \mathrm {cm}($当 x=0 时， y=18 )
燃烧3小时后燃尽(当 x=3 时， y=0 )
将(0，18)和(3，0)代入表达式得$\begin {cases} b=18\\3k+b=0 \end {cases}，$解得$\begin {cases} k=-6\\b =18 \end {cases}$
∴函数表达式为 y=-6x+18
(2)令甲、乙剩余高度相等，即-6x+18=-10x+25，解得x=1.75
∴燃烧1.75小时时，两根蜡烛剩余部分高度一样
7. 某文创产品商店购进甲、乙两种商品,已知购进甲商品 2 件和乙商品 3 件共需 270 元；购进甲商品 3 件和乙商品 2 件共需 230 元.
(1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元.
(2)该店决定甲商品以每件 40 元出售,乙商品以每件 90 元出售.为满足市场需求,需购进甲、乙两种商品共 100 件,且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的 4 倍,请你求出获利最大的进货方案,并求出最大利润.
(1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元.
(2)该店决定甲商品以每件 40 元出售,乙商品以每件 90 元出售.为满足市场需求,需购进甲、乙两种商品共 100 件,且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的 4 倍,请你求出获利最大的进货方案,并求出最大利润.
答案
解：(1)设甲商品每件进价为 x 元，乙商品每件进价为 y 元
根据题意列方程组$\begin {cases} 2x+3y=270\\3x+2y=230 \end {cases}，$解得$\begin {cases} x=30\\y=70 \end {cases}$
∴甲商品进价30元，乙商品进价70元
(2)设购进甲商品 a 件，乙商品 b 件， a+b=100 且$ a\geq 4b $
利润 W=(40-30)a+(90-70)b=10a+20b=2000-10a
由$ a\geq 4(100-a) $得$ a\geq 80 ，$ a 最小为80时，W 最大
此时 b=20 ，最大利润 W=2000-10×80=1200 元
∴进货方案为购进甲80件、乙20件，最大利润1200元
根据题意列方程组$\begin {cases} 2x+3y=270\\3x+2y=230 \end {cases}，$解得$\begin {cases} x=30\\y=70 \end {cases}$
∴甲商品进价30元，乙商品进价70元
(2)设购进甲商品 a 件，乙商品 b 件， a+b=100 且$ a\geq 4b $
利润 W=(40-30)a+(90-70)b=10a+20b=2000-10a
由$ a\geq 4(100-a) $得$ a\geq 80 ，$ a 最小为80时，W 最大
此时 b=20 ，最大利润 W=2000-10×80=1200 元
∴进货方案为购进甲80件、乙20件，最大利润1200元
