1. 下列等式正确的是()

A.$(-2)^{-2}= 4$
B.$-2^{-2}= \frac{1}{4}$
C.$5x^{-2}= \frac{1}{5x^{2}}$
D.$2(xy)^{-1}= \frac{2}{xy}$

D

A. $(-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$，与选项中的$4$不符，错误。
B. $-2^{-2} = -\left(\frac{1}{2^2}\right) = -\frac{1}{4}$，与选项中的$\frac{1}{4}$不符，错误。
C. $5x^{-2} = 5 × \frac{1}{x^2} = \frac{5}{x^2}$，与选项中的$\frac{1}{5x^2}$不符，错误。
D. $2(xy)^{-1} = 2 × \frac{1}{xy} = \frac{2}{xy}$，与选项一致，正确。

2. 下列各式计算正确的是()
A.$2÷2^{-1}= -1$
B.$2x^{-3}÷(4x^{-4})= \frac{1}{2x}$
C.$(-2x^{-2})^{-3}= 6x^{6}$
D.$3x^{-2}+4x^{-2}= \frac{7}{x^{2}}$

D

A: $2 ÷ 2^{-1} = 2 ÷ \frac{1}{2} = 2 × 2 = 4$，选项错误。
B: $2x^{-3} ÷ (4x^{-4}) = \frac{2}{x^{3}} ÷ \frac{4}{x^{4}} = \frac{2}{x^{3}} × \frac{x^{4}}{4} = \frac{2x}{4} = \frac{x}{2}$，选项错误。
C: $(-2x^{-2})^{-3} = \frac{1}{(-2x^{-2})^{3}} = \frac{1}{-8x^{-6}} = -\frac{x^{6}}{8}$（或写为 $-\frac{1}{8}x^{6}$），选项错误。
D: $3x^{-2} + 4x^{-2} = \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}} = \frac{7}{x^{2}}$，选项正确。

3. 已知$-4^{-2}$,$-0.2^{-2}$,$(1\frac{1}{3})^{0}$,$(\frac{3}{5})^{-3}$,用“＜”连接上述各数：.

$-0.2^{-2} ＜ -4^{-2} ＜ (1\frac{1}{3})^{0} ＜ (\frac{3}{5})^{-3}$。

首先计算各个数值：
$-4^{-2} = -\frac{1}{4^2} = -\frac{1}{16} = -0.0625$，
$-0.2^{-2} = -\frac{1}{(0.2)^2} = -\frac{1}{0.04} = -25$，
$(1\frac{1}{3})^{0} = 1$，
$(\frac{3}{5})^{-3} = (\frac{5}{3})^{3} = \frac{125}{27} \approx 4.63$，
然后进行比较：
$-25 ＜ -0.0625 ＜ 1 ＜ 4.63$，
即$-0.2^{-2} ＜ -4^{-2} ＜ (1\frac{1}{3})^{0} ＜ (\frac{3}{5})^{-3}$。

4. 计算$(a^{-2})^{3}+a^{-2}\cdot a^{7}-a^{2}÷ a^{-3}$的结果为.

$a^{-6}$（或填写为$\frac{1}{a^{6}}$，根据题目要求，填写$a^{-6}$即可）

根据指数幂的运算法则，分别计算每一项的值。
第一项：$(a^{-2})^{3} = a^{-6}$，
第二项：$a^{-2} \cdot a^{7} = a^{-2+7} = a^{5}$，
第三项：$a^{2} ÷ a^{-3} = a^{2-(-3)} = a^{5}$，
将这三项相加，得到：
$a^{-6} + a^{5} - a^{5} = a^{-6}$。

5. 当$a= (\pi-\sqrt{3})^{0}+(\frac{1}{2})^{-1}$时,$(\frac{a+2}{a^{2}-2a}+\frac{1-a}{a^{2}-4a+4})÷\frac{a-4}{a}$的值为.

$1$

首先计算$a$的值，
因为$(\pi-\sqrt{3})^{0}=1$（任何非零数的0次方等于1），
$(\frac{1}{2})^{-1}=2$（负指数表示倒数），
所以$a=1+2=3$，
接下来，对原式进行化简，
原式$=\left[\frac{a+2}{a(a-2)}+\frac{1-a}{(a-2)^{2}}\right]÷\frac{a-4}{a}$
$=\left[\frac{a+2}{a(a-2)}-\frac{a-1}{(a-2)^{2}}\right]×\frac{a}{a-4}$
$=\frac{(a+2)(a-2)-a(a-1)}{a(a-2)^{2}}×\frac{a}{a-4}$
$=\frac{a^{2}-4-a^{2}+a}{a(a-2)^{2}}×\frac{a}{a-4}$
$=\frac{a-4}{a(a-2)^{2}}×\frac{a}{a-4}$
$=\frac{1}{(a-2)^{2}}$
当$a=3$时，
原式$=\frac{1}{(3-2)^{2}}=1$。

6. 计算：
(1)$4^{0}-2^{-3}+(-3)^{2}-(\frac{1}{4})^{-1}$；
(2)$a^{-2}b^{-4}÷(a^{-2}b)^{-3}$；
(3)$(-\frac{1}{2}x^{2}y)^{-3}\cdot(\frac{1}{3}xy^{-2})^{2}$；
(4)$(m^{3}n)^{-2}\cdot(2m^{-2}n^{-3})^{-2}÷(m^{-1}n)^{3}$.

(1)
$4^{0}-2^{-3}+(-3)^{2}-(\frac{1}{4})^{-1}$
$=1 - \frac{1}{8} + 9 - 4$
$=\frac{8}{8}-\frac{1}{8}+9 - 4$
$=\frac{7}{8}+5$
$=5\frac{7}{8}$
(2)
$a^{-2}b^{-4}÷(a^{-2}b)^{-3}$
$=a^{-2}b^{-4}÷(a^{6}b^{-3})$
$=a^{-2 - 6}b^{-4-(-3)}$
$=a^{-8}b^{-1}$
$=\frac{1}{a^{8}b}$
(3)
$(-\frac{1}{2}x^{2}y)^{-3}\cdot(\frac{1}{3}xy^{-2})^{2}$
$=(-2)^{3}x^{-6}y^{-3}\cdot\frac{1}{9}x^{2}y^{-4}$
$=-8×\frac{1}{9}x^{-6 + 2}y^{-3-4}$
$=-\frac{8}{9}x^{-4}y^{-7}$
$=-\frac{8}{9x^{4}y^{7}}$
(4)
$(m^{3}n)^{-2}\cdot(2m^{-2}n^{-3})^{-2}÷(m^{-1}n)^{3}$
$=m^{-6}n^{-2}\cdot2^{-2}m^{4}n^{6}÷(m^{-3}n^{3})$
$=\frac{1}{4}m^{-6 + 4}n^{-2 + 6}÷(m^{-3}n^{3})$
$=\frac{1}{4}m^{-2}n^{4}÷(m^{-3}n^{3})$
$=\frac{1}{4}m^{-2-(-3)}n^{4 - 3}$
$=\frac{1}{4}mn$

7. 下列四个算式：①$(-1)^{0}= -1$；②$(-1)^{-1}= 1$；③$2×2^{-2}= \frac{1}{2}$；④$3a^{-2}= \frac{1}{3a^{2}}(a\neq0)$,其中正确的是()
A.①
B.②
C.③
D.④

C

① 对于 $(-1)^{0}$，根据零指数幂的定义，任何非零数的0次幂都是1，所以 $(-1)^{0} = 1$，与给定的 $-1$ 不符，故①错误。
② 对于 $(-1)^{-1}$，根据负整数指数幂的定义，$(-1)^{-1} = \frac{1}{-1} = -1$，与给定的 $1$ 不符，故②错误。
③ 对于 $2 × 2^{-2}$，根据负整数指数幂的定义，$2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$，所以 $2 × 2^{-2} = 2 × \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$，与题目中给出的相符，故③正确。
④ 对于 $3a^{-2}$，根据负整数指数幂的定义，$a^{-2} = \frac{1}{a^2}$，所以 $3a^{-2} = 3 × \frac{1}{a^2} = \frac{3}{a^2}$，与给定的 $\frac{1}{3a^2}$ 不符，故④错误。
综上所述，只有③是正确的。

8. $(\frac{3b^{2}}{4a^{3}})^{-2}\cdot(-\frac{3}{2}a^{-2}b)^{3}$的值为()
A.$\frac{6}{b}$
B.$-\frac{6}{b}$
C.$\frac{2}{b}$
D.$-\frac{2}{b}$

B

先化简$(\frac{3b^{2}}{4a^{3}})^{-2}$：根据负指数幂法则$(\frac{m}{n})^{-p}=(\frac{n}{m})^{p}$，得$(\frac{4a^{3}}{3b^{2}})^{2}=\frac{16a^{6}}{9b^{4}}$；再化简$(-\frac{3}{2}a^{-2}b)^{3}$：由积的乘方及幂的乘方，得$(- \frac{3}{2})^{3}(a^{-2})^{3}b^{3}=-\frac{27}{8}a^{-6}b^{3}$；两式相乘：$\frac{16a^{6}}{9b^{4}} \cdot (-\frac{27}{8}a^{-6}b^{3}) = [\frac{16}{9} × (-\frac{27}{8})] \cdot (a^{6} \cdot a^{-6}) \cdot (b^{-4} \cdot b^{3}) = -6 \cdot 1 \cdot b^{-1}=-\frac{6}{b}$。

9. 计算：$(x^{-2}-y^{-2})÷(x^{-1}+y^{-1})$.

$\frac{y - x}{xy}$

$(x^{-2}-y^{-2})÷(x^{-1}+y^{-1})$
$=[(x^{-1})^2-(y^{-1})^2]÷(x^{-1}+y^{-1})$
$=(x^{-1}-y^{-1})(x^{-1}+y^{-1})÷(x^{-1}+y^{-1})$
$=x^{-1}-y^{-1}$
$=\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$
$=\frac{y - x}{xy}$

10. 已知$(|x|-4)^{x+1}= 1$,求整数$x$的值.
小红与小明交流如下：
小红：因为$a^{0}= 1(a\neq0)$,所以$x+1= 0$,且$|x|-4\neq0$,所以$x= -1$.
小明：因为$1^{n}= 1$,所以$|x|-4= 1$,所以$x= \pm5$.
你认为小红与小明的解答合在一起后是对这道题的完整解答吗？若不完整,请求出所有的整数$x$的值.

1. 情况一：$a^0=1(a\neq0)$
指数$x+1=0$，解得$x=-1$
底数$|x|-4\neq0$，当$x=-1$时，$|-1|-4=-3\neq0$，故$x=-1$是解。
2. 情况二：$1^n=1$
底数$|x|-4=1$，解得$|x|=5$，$x=\pm5$
当$x=5$时，$(5-4)^{6}=1^6=1$；当$x=-5$时，$(5-4)^{-4}=1^{-4}=1$，故$x=\pm5$是解。
3. 情况三：$(-1)^{偶次幂}=1$
底数$|x|-4=-1$，解得$|x|=3$，$x=\pm3$
指数$x+1$为偶数，当$x=3$时，指数$4$（偶数），$(-1)^4=1$；当$x=-3$时，指数$-2$（偶数），$(-1)^{-2}=1$，故$x=\pm3$是解。
综上，整数$x$的值为$-5,-3,-1,3,5$。