如图，在 $Rt △ ABC$ 中，$∠ ABC = 90°$，$∠ BAC$ 的平分线交 $BC$ 于点 $O$，以点 $O$ 为圆心，$OB$ 长为半径作$\odot O$，求证：$AC$ 是$\odot O$ 的切线。

归纳总结
证切线时辅助线的添加方法：
(1)有交点，连半径，证垂直。
(2)无交点，作垂直，证半径。

证明：
过点O作OD⊥AC，垂足为D。
∵ ∠ABC = 90°，
∴ OB⊥AB。
∵ AO平分∠BAC，OD⊥AC，OB⊥AB，
∴ OD = OB（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ ⊙O的半径为OB，
∴ OD是⊙O的半径。
又∵ OD⊥AC，
∴ AC是⊙O的切线。

【分析】
要证明AC是$\odot O$的切线，需结合切线的判定方法分析：本题中AC与$\odot O$的交点未明确标出，因此选择“无交点，作垂直，证半径”的思路解题。第一步过圆心O作AC的垂线段OD；第二步结合已知条件证明OD等于$\odot O$的半径：已知AO是$∠ BAC$的角平分线，且$OB⊥ AB$，根据角平分线的性质可得OD=OB，而OB是$\odot O$的半径，因此OD也是$\odot O$的半径；最后结合$OD⊥ AC$，即可判定AC是$\odot O$的切线。
【解析】
证明：过点O作$OD⊥ AC$，垂足为D。
$\because ∠ ABC = 90°$，
$\therefore OB⊥ AB$。
$\because AO$平分$∠ BAC$，$OD⊥ AC$，$OB⊥ AB$，
$\therefore OD = OB$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
$\because \odot O$的半径为$OB$，
$\therefore OD$是$\odot O$的半径。
又$\because OD⊥ AC$，
$\therefore AC$是$\odot O$的切线。
【答案】
证明：过点O作$OD⊥ AC$，垂足为D。
$\because ∠ ABC = 90°$，
$\therefore OB⊥ AB$。
$\because AO$平分$∠ BAC$，$OD⊥ AC$，$OB⊥ AB$，
$\therefore OD = OB$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
$\because \odot O$的半径为$OB$，
$\therefore OD$是$\odot O$的半径。
又$\because OD⊥ AC$，
$\therefore AC$是$\odot O$的切线。
【知识点】
切线的判定、角平分线的性质、圆的半径概念
【点评】
本题是切线判定的基础常考题，核心考查切线判定辅助线的选取方法，解题时要根据已知条件灵活选择“连半径证垂直”或“作垂直证半径”的辅助线做法，本题结合角平分线的性质即可快速完成证明。
【难度系数】
0.8

请根据本课所学，构建知识体系.
切线
切线的性质定理
其他性质
（1）切线与圆只有一个；
（2）圆心到切线的距离等于
圆的切线的半径
常用辅助线
见切点，
切线的判定定理
经过并且垂直于的直线是圆的切线
常用辅助线
（1）有交点，；
（2）无交点，
其他判定方法
（1）与圆只有一个的直线是圆的切线；
（2）圆心到直线的距离等于的直线是圆的切线

(1)公共点 (2)圆的半径 垂直于过切点 连半径，得垂直 半径的外端 这条半径 (1)连半径，证垂直 (2)作垂直，证半径 (1)公共点 (2)圆的半径

【分析】
本题考查圆的切线相关知识的体系构建，解题时可按照知识框架的分类依次回忆对应知识点即可：首先梳理切线的性质类内容，包括切线的交点特征、圆心到切线的距离特征、性质定理核心内容及对应辅助线做法；再梳理切线的判定类内容，包括判定定理的两个必备条件、分情况的判定辅助线做法、另外两种补充判定方法，逐一匹配空缺内容即可。
【解析】
我们按照知识框架顺序逐一填空：
1. 切线其他性质：
（1）切线与圆只有唯一的交点，即公共点；
（2）圆心到切线的距离等于圆的半径；
2. 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；对应的常用辅助线为：见切点，连半径，得垂直；
3. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；对应的常用辅助线分两种情况：（1）若直线和圆有交点，连半径，证垂直；（2）若直线和圆无明确交点，作垂直，证半径；
4. 切线的其他判定方法：（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）圆心到直线的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。
【答案】
(1)公共点 (2)圆的半径 垂直于过切点 连半径，得垂直 半径的外端 这条半径 (1)连半径，证垂直 (2)作垂直，证半径 (1)公共点 (2)圆的半径
【知识点】
切线的性质；切线的判定；切线辅助线作法
【点评】
本题属于基础的知识框架梳理题，能够帮助学生系统掌握切线相关的核心概念与常用解题技巧，为后续解决切线相关综合题夯实基础。
【难度系数】
0.85

任务一 探究过圆外一点作圆的切线
探究：上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线，如图1所示. 如图2，如果P是圆外一点，怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点，可以作几条圆的切线？

（1）分析：因为两点确定一条直线，并且所求作的直线过点P且与$\odot O$相切，所以需在$\odot O$上确定一点A，满足$OA ⊥ AP$，即$∠ OAP =$. 由此可知，点O，P，A
可以确定一个圆，OP是这个圆的. 因此以OP为作圆，该圆与$\odot O$的交点即所要确定的点. 交点有个，所以过圆外一点，可以作条圆的切线.
（2）作图：如图，连接OP，作线段OP的MN，与OP交于点C；以为圆心，为半径作圆，与$\odot O$相交于点A，B；作直线，，即所求作的切线.

新知生成：过圆外一点可以作出直线与这个圆相切.

探究
（1）90° 直径 直径 两 两
（2）垂直平分线 点C CO PA PB
新知生成 两条

【分析】
解决本题需从切线的性质和圆周角定理的推论入手思考：首先，圆的切线垂直于过切点的半径，若PA是⊙O的切线、A为切点，则必有OA⊥AP，可得∠OAP为直角；再根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可知点A在以OP为直径的圆上，因此以OP为直径作圆，它与⊙O的交点就是符合要求的切点，两圆相交有2个交点，因此过圆外一点可作2条切线。作图时先作OP的垂直平分线找到OP的中点C（即辅助圆的圆心），再以C为圆心、CO为半径作圆得到切点A、B，连接PA、PB即可得到切线。
【解析】
（1）根据切线的性质，切线与过切点的半径垂直，因此$∠ OAP=90°$；根据圆周角定理的推论，直角所对的弦是直径，因此OP是过O、P、A三点的圆的直径；因此以OP为直径作圆，该圆与$\odot O$的交点即为切点，两圆相交有2个交点，因此过圆外一点可以作2条圆的切线。
（2）作图步骤：连接OP，作线段OP的垂直平分线MN，与OP交于点C（OP的中点）；以点C为圆心，CO为半径作圆，与$\odot O$相交于点A，B；作直线PA、PB，即为所求作的切线。
新知生成：过圆外一点可以作出两条直线与这个圆相切。
【答案】
探究
（1）$90°$ 直径 直径 两 两
（2）垂直平分线 点C $CO$ $PA$ $PB$
新知生成 两条
【知识点】
切线的性质；圆周角定理推论；尺规作切线
【点评】
本题是圆的切线作图的基础探究题，结合切线性质和圆周角相关结论推导过圆外一点作圆切线的方法，侧重对作图原理的理解，是后续学习切线长定理的基础。
【难度系数】
0.85