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8. 小影与小冬一起写作业. 在解一道二次项系数为1的一元二次方程时，小影在将其化为一般形式的过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1. 小冬在将其化为一般形式的过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2和－5. 原方程正确的解为
$x_1=2，x_2=5$
.答案
8. $x_1=2，x_2=5$
解析
【分析】
解题的核心是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），结合两人的错误特征推导正确的方程系数：首先明确二次项系数为1的一元二次方程一般形式为$x^2+bx+c=0$，若两根为$x_1、x_2$，则$x_1+x_2=-b$，$x_1x_2=c$。小影仅写错常数项，说明他计算用到的一次项系数$b$是正确的，因此可通过他得到的两根求出正确的$b$；小冬仅写错一次项系数，说明他计算用到的常数项$c$是正确的，因此可通过他得到的两根求出正确的$c$，最后代入原方程求解即可。
【解析】
设原二次项系数为1的一元二次方程为$x^2+bx+c=0$。
1. 求正确的一次项系数$b$：
小影仅写错常数项，得到的两根为6和1，此时一次项系数是正确的，根据韦达定理：
$6+1=-b$，解得$b=-7$。
2. 求正确的常数项$c$：
小冬仅写错一次项系数，得到的两根为-2和-5，此时常数项是正确的，根据韦达定理：
$(-2)×(-5)=c$，解得$c=10$。
3. 写出原方程并求解：
原正确方程为$x^2-7x+10=0$，因式分解得$(x-2)(x-5)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=5$。
【答案】
$x_1=2，x_2=5$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；解一元二次方程
【点评】
本题考查韦达定理的灵活应用，解题的关键是准确判断写错某一项系数时，另一项对应的根的运算结果是正确的，属于基础应用类题目，掌握韦达定理即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
解题的核心是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），结合两人的错误特征推导正确的方程系数：首先明确二次项系数为1的一元二次方程一般形式为$x^2+bx+c=0$，若两根为$x_1、x_2$，则$x_1+x_2=-b$，$x_1x_2=c$。小影仅写错常数项，说明他计算用到的一次项系数$b$是正确的，因此可通过他得到的两根求出正确的$b$；小冬仅写错一次项系数，说明他计算用到的常数项$c$是正确的，因此可通过他得到的两根求出正确的$c$，最后代入原方程求解即可。
【解析】
设原二次项系数为1的一元二次方程为$x^2+bx+c=0$。
1. 求正确的一次项系数$b$：
小影仅写错常数项，得到的两根为6和1，此时一次项系数是正确的，根据韦达定理：
$6+1=-b$，解得$b=-7$。
2. 求正确的常数项$c$：
小冬仅写错一次项系数，得到的两根为-2和-5，此时常数项是正确的，根据韦达定理：
$(-2)×(-5)=c$，解得$c=10$。
3. 写出原方程并求解：
原正确方程为$x^2-7x+10=0$，因式分解得$(x-2)(x-5)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=5$。
【答案】
$x_1=2，x_2=5$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；解一元二次方程
【点评】
本题考查韦达定理的灵活应用，解题的关键是准确判断写错某一项系数时，另一项对应的根的运算结果是正确的，属于基础应用类题目，掌握韦达定理即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
9. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - ax + a - 1 = 0 $.
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根 $ x_1 $，$ x_2 $ 满足 $ |x_1 - x_2| = 3 $，求 $ a $ 的值.
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根 $ x_1 $，$ x_2 $ 满足 $ |x_1 - x_2| = 3 $，求 $ a $ 的值.
答案
9. （1）证明 因为 $\Delta=(-a)^2-4(a-1)=a^2-4a+4=(a-2)^2\ge0$，
所以该方程总有两个实数根.
（2）解 由题意，得 $x_1+x_2=a$，$x_1· x_2=a-1$. 因为$|x_1-x_2|=3$，所以 $(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=a^2-4a+4=9$.
所以 $a^2-4a-5=0$.
所以 $(a+1)(a-5)=0$.
所以 $a_1=5$，$a_2=-1$，即 $a$ 的值为5或$-1$.
所以该方程总有两个实数根.
（2）解 由题意，得 $x_1+x_2=a$，$x_1· x_2=a-1$. 因为$|x_1-x_2|=3$，所以 $(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=a^2-4a+4=9$.
所以 $a^2-4a-5=0$.
所以 $(a+1)(a-5)=0$.
所以 $a_1=5$，$a_2=-1$，即 $a$ 的值为5或$-1$.
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程总有两个实数根，只需验证根的判别式Δ≥0即可：先写出Δ的表达式，再化简判断其取值范围就能得到结论。（2）已知两根差的绝对值，可先将等式两边平方得到$(x_1-x_2)^2=9$，再利用根与系数的关系写出两根之和、两根之积的表达式，结合完全平方公式的变形$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$代入，得到关于$a$的方程，解方程即可求出$a$的值。
【解析】
（1）证明：对于方程$x^2 - ax + a - 1 = 0$，根的判别式$\Delta=(-a)^2-4×1×(a-1)=a^2-4a+4=(a-2)^2$。
因为任意实数的平方均为非负数，所以$(a-2)^2\ge0$，即$\Delta\ge0$，因此该方程总有两个实数根。
（2）解：根据一元二次方程根与系数的关系，得$x_1+x_2=a$，$x_1· x_2=a-1$。
已知$|x_1 - x_2| = 3$，两边平方得$(x_1-x_2)^2=9$。
结合完全平方公式变形得$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，代入得：
$a^2-4(a-1)=9$
整理得$a^2-4a-5=0$，因式分解得$(a+1)(a-5)=0$，
解得$a_1=5$，$a_2=-1$。
【答案】
（1）证明见解析，方程总有两个实数根；（2）$a$的值为5或$-1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，完全平方公式变形
【点评】
本题属于一元二次方程的基础常考题，第一问核心是掌握判别式和根的个数的对应关系，第二问需要熟练运用韦达定理结合完全平方变形计算，只要掌握相关基础知识点就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
（1）要证明一元二次方程总有两个实数根，只需验证根的判别式Δ≥0即可：先写出Δ的表达式，再化简判断其取值范围就能得到结论。（2）已知两根差的绝对值，可先将等式两边平方得到$(x_1-x_2)^2=9$，再利用根与系数的关系写出两根之和、两根之积的表达式，结合完全平方公式的变形$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$代入，得到关于$a$的方程，解方程即可求出$a$的值。
【解析】
（1）证明：对于方程$x^2 - ax + a - 1 = 0$，根的判别式$\Delta=(-a)^2-4×1×(a-1)=a^2-4a+4=(a-2)^2$。
因为任意实数的平方均为非负数，所以$(a-2)^2\ge0$，即$\Delta\ge0$，因此该方程总有两个实数根。
（2）解：根据一元二次方程根与系数的关系，得$x_1+x_2=a$，$x_1· x_2=a-1$。
已知$|x_1 - x_2| = 3$，两边平方得$(x_1-x_2)^2=9$。
结合完全平方公式变形得$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，代入得：
$a^2-4(a-1)=9$
整理得$a^2-4a-5=0$，因式分解得$(a+1)(a-5)=0$，
解得$a_1=5$，$a_2=-1$。
【答案】
（1）证明见解析，方程总有两个实数根；（2）$a$的值为5或$-1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，完全平方公式变形
【点评】
本题属于一元二次方程的基础常考题，第一问核心是掌握判别式和根的个数的对应关系，第二问需要熟练运用韦达定理结合完全平方变形计算，只要掌握相关基础知识点就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
10. 如果关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 \ (a ≠ 0) $ 有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”。例如：一元二次方程 $ x^2 - 6x + 8 = 0 $ 的两个根分别是 $ x_1 = 2 $，$ x_2 = 4 $，则方程 $ x^2 - 6x + 8 = 0 $ 是“倍根方程”。
（1）通过计算，判断 $ x^2 - 3x + 2 = 0 $ 是不是“倍根方程”；
（2）若关于 $ x $ 的方程 $ (x - 2)(x - m) = 0 $ 是“倍根方程”，求 $ m^2 + 2m + 2 $ 的值；
（3）已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - (m - 1)x + 32 = 0 \ (m $ 是常数) 是“倍根方程”，求 $ m $ 的值。
（1）通过计算，判断 $ x^2 - 3x + 2 = 0 $ 是不是“倍根方程”；
（2）若关于 $ x $ 的方程 $ (x - 2)(x - m) = 0 $ 是“倍根方程”，求 $ m^2 + 2m + 2 $ 的值；
（3）已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - (m - 1)x + 32 = 0 \ (m $ 是常数) 是“倍根方程”，求 $ m $ 的值。
答案
10. 解 (1) $x^2-3x+2=0$，
$(x-2)(x-1)=0$. 所以 $x_1=2$，$x_2=1$.
因为2是1的2倍，
所以方程 $x^2-3x+2=0$ 是“倍根方程”.
(2) 由 $(x-2)(x-m)=0$，
解得 $x_1=2$，$x_2=m$.
因为 $(x-2)(x-m)=0$ 是“倍根方程”，
所以 $m=4$ 或 $m=1$.
当 $m=4$ 时，$m^2+2m+2=16+8+2=26$；
当 $m=1$ 时，$m^2+2m+2=1+2+2=5$.
所以 $m^2+2m+2$ 的值为 26 或 5.
(3) 根据题意设方程的两个根分别为 $α$，$2α$. 则 $α+2α=m-1$，$α·2α=32$. 解得 $α_1=4$，$α_2=-4$. 当 $α=4$ 时，$m=13$；当 $α=-4$ 时，$m=-11$. 所以 $m$ 的值为 13或$-11$.
$(x-2)(x-1)=0$. 所以 $x_1=2$，$x_2=1$.
因为2是1的2倍，
所以方程 $x^2-3x+2=0$ 是“倍根方程”.
(2) 由 $(x-2)(x-m)=0$，
解得 $x_1=2$，$x_2=m$.
因为 $(x-2)(x-m)=0$ 是“倍根方程”，
所以 $m=4$ 或 $m=1$.
当 $m=4$ 时，$m^2+2m+2=16+8+2=26$；
当 $m=1$ 时，$m^2+2m+2=1+2+2=5$.
所以 $m^2+2m+2$ 的值为 26 或 5.
(3) 根据题意设方程的两个根分别为 $α$，$2α$. 则 $α+2α=m-1$，$α·2α=32$. 解得 $α_1=4$，$α_2=-4$. 当 $α=4$ 时，$m=13$；当 $α=-4$ 时，$m=-11$. 所以 $m$ 的值为 13或$-11$.
解析
【分析】
（1）判断方程是否为“倍根方程”，首先需解出方程的两个实数根，再验证是否存在一个根是另一个根的2倍即可。
（2）先求出方程$(x - 2)(x - m) = 0$的两个根，结合“倍根方程”的定义分两种情况讨论：要么$m$是2的2倍，要么2是$m$的2倍，求出$m$后代入代数式计算即可。
（3）设方程的两根为$α$和$2α$，根据一元二次方程根与系数的关系，分别列出两根之和、两根之积的等式，先求解$α$的取值，再代入计算$m$的值，注意不要漏解$α$的负数值。
【解析】
（1）解方程$x^2 - 3x + 2 = 0$，
因式分解得：$(x-1)(x-2)=0$，
解得：$x_1=1$，$x_2=2$，
∵2是1的2倍，符合“倍根方程”的定义，
∴$x^2 - 3x + 2 = 0$是“倍根方程”。
（2）解方程$(x-2)(x-m)=0$，
解得：$x_1=2$，$x_2=m$，
∵该方程是“倍根方程”，分两种情况讨论：
①当$m=2×2=4$时，$m^2+2m+2=4^2+2×4+2=26$；
②当$2=2m$，即$m=1$时，$m^2+2m+2=1^2+2×1+2=5$；
综上，$m^2+2m+2$的值为26或5。
（3）设方程的两个根分别为$α$、$2α$，
根据根与系数的关系可得：
$\begin{cases}α + 2α = m - 1\\α · 2α = 32\end{cases}$
由$2α^2=32$得$α^2=16$，解得$α=4$或$α=-4$，
当$α=4$时，$3×4=m-1$，解得$m=13$；
当$α=-4$时，$3×(-4)=m-1$，解得$m=-11$；
综上，$m$的值为13或$-11$。
【答案】
（1）是“倍根方程”；（2）26或5；（3）13或$-11$
【知识点】
一元二次方程的解法，根与系数的关系，新定义理解
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程的相关知识，解题核心是准确理解“倍根方程”的定义，灵活运用解方程的方法和韦达定理，解题时注意分类讨论多种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
（1）判断方程是否为“倍根方程”，首先需解出方程的两个实数根，再验证是否存在一个根是另一个根的2倍即可。
（2）先求出方程$(x - 2)(x - m) = 0$的两个根，结合“倍根方程”的定义分两种情况讨论：要么$m$是2的2倍，要么2是$m$的2倍，求出$m$后代入代数式计算即可。
（3）设方程的两根为$α$和$2α$，根据一元二次方程根与系数的关系，分别列出两根之和、两根之积的等式，先求解$α$的取值，再代入计算$m$的值，注意不要漏解$α$的负数值。
【解析】
（1）解方程$x^2 - 3x + 2 = 0$，
因式分解得：$(x-1)(x-2)=0$，
解得：$x_1=1$，$x_2=2$，
∵2是1的2倍，符合“倍根方程”的定义，
∴$x^2 - 3x + 2 = 0$是“倍根方程”。
（2）解方程$(x-2)(x-m)=0$，
解得：$x_1=2$，$x_2=m$，
∵该方程是“倍根方程”，分两种情况讨论：
①当$m=2×2=4$时，$m^2+2m+2=4^2+2×4+2=26$；
②当$2=2m$，即$m=1$时，$m^2+2m+2=1^2+2×1+2=5$；
综上，$m^2+2m+2$的值为26或5。
（3）设方程的两个根分别为$α$、$2α$，
根据根与系数的关系可得：
$\begin{cases}α + 2α = m - 1\\α · 2α = 32\end{cases}$
由$2α^2=32$得$α^2=16$，解得$α=4$或$α=-4$，
当$α=4$时，$3×4=m-1$，解得$m=13$；
当$α=-4$时，$3×(-4)=m-1$，解得$m=-11$；
综上，$m$的值为13或$-11$。
【答案】
（1）是“倍根方程”；（2）26或5；（3）13或$-11$
【知识点】
一元二次方程的解法，根与系数的关系，新定义理解
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程的相关知识，解题核心是准确理解“倍根方程”的定义，灵活运用解方程的方法和韦达定理，解题时注意分类讨论多种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
