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1. 下列选项中，∠1是三角形的一个外角的是（
D
）答案
1.D
解析
【分析】
解题的核心是先明确三角形外角的定义，再对照定义逐一判断每个选项的∠1是否符合要求。首先回忆三角形外角的三个构成要素：①顶点在三角形的一个顶点上；②其中一条边是三角形的一条边；③另一条边是三角形某条边的延长线。接下来带着这三个标准逐个排查选项即可得到答案。
【解析】
首先明确三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做三角形的外角。
选项A：∠1的顶点不在三角形的顶点上，不满足外角的构成条件，排除；
选项B：∠1的边均不属于三角形的边或边的延长线，不满足外角的构成条件，排除；
选项C：∠1的两条边都不是三角形的边，不满足外角的构成条件，排除；
选项D：∠1的顶点在三角形的右下角顶点，一条边是三角形的底边（属于三角形的边），另一条边是三角形右侧边的延长线，完全符合三角形外角的定义，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
三角形外角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考查对三角形外角定义的理解和辨识，只要牢记外角的构成条件，逐一比对选项就能快速得出正确结论。
【难度系数】
0.8
解题的核心是先明确三角形外角的定义，再对照定义逐一判断每个选项的∠1是否符合要求。首先回忆三角形外角的三个构成要素：①顶点在三角形的一个顶点上；②其中一条边是三角形的一条边；③另一条边是三角形某条边的延长线。接下来带着这三个标准逐个排查选项即可得到答案。
【解析】
首先明确三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做三角形的外角。
选项A：∠1的顶点不在三角形的顶点上，不满足外角的构成条件，排除；
选项B：∠1的边均不属于三角形的边或边的延长线，不满足外角的构成条件，排除；
选项C：∠1的两条边都不是三角形的边，不满足外角的构成条件，排除；
选项D：∠1的顶点在三角形的右下角顶点，一条边是三角形的底边（属于三角形的边），另一条边是三角形右侧边的延长线，完全符合三角形外角的定义，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
三角形外角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考查对三角形外角定义的理解和辨识，只要牢记外角的构成条件，逐一比对选项就能快速得出正确结论。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A=30°$，$∠ B=80°$，$CD$是$∠ ACB$的平分线，则$∠ BDC=$（
A.$60°$
B.$65°$
C.$70°$
D.$80°$
B
）A.$60°$
B.$65°$
C.$70°$
D.$80°$
答案
2.B
解析
【分析】
要计算∠BDC的度数，可按以下思路推导：首先根据三角形内角和为180°，结合已知的∠A和∠B的度数，先求出△ABC中∠ACB的度数；再根据角平分线的定义，求出∠ACD（或∠BCD）的度数；最后可利用三角形外角的性质（∠BDC是△ADC的外角，等于与它不相邻的两个内角和），或者在△BDC中再次用三角形内角和定理，即可算出∠BDC的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 30° - 80° = 70°$
∵CD是$∠ ACB$的平分线
∴$∠ ACD = \frac{1}{2}∠ ACB = \frac{1}{2} × 70° = 35°$
∵$∠ BDC$是△ADC的外角，根据三角形外角的性质：外角等于与它不相邻的两个内角的和
∴$∠ BDC = ∠ A + ∠ ACD = 30° + 35° = 65°$
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的常规基础题，解题核心是先通过已知角推导中间未知角的度数，再结合三角形相关的角度性质求解目标角，熟练掌握基础定理就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
要计算∠BDC的度数，可按以下思路推导：首先根据三角形内角和为180°，结合已知的∠A和∠B的度数，先求出△ABC中∠ACB的度数；再根据角平分线的定义，求出∠ACD（或∠BCD）的度数；最后可利用三角形外角的性质（∠BDC是△ADC的外角，等于与它不相邻的两个内角和），或者在△BDC中再次用三角形内角和定理，即可算出∠BDC的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 30° - 80° = 70°$
∵CD是$∠ ACB$的平分线
∴$∠ ACD = \frac{1}{2}∠ ACB = \frac{1}{2} × 70° = 35°$
∵$∠ BDC$是△ADC的外角，根据三角形外角的性质：外角等于与它不相邻的两个内角的和
∴$∠ BDC = ∠ A + ∠ ACD = 30° + 35° = 65°$
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的常规基础题，解题核心是先通过已知角推导中间未知角的度数，再结合三角形相关的角度性质求解目标角，熟练掌握基础定理就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
3. [新课标—情境题][2024·合肥庐江期中]马扎是中国传统手工艺制品，其腿交叉，上面绷帆布或麻绳等，可以合拢，方便携带，抽象出的几何图形.若$∠ BOD=80°$，$∠ AEC=125°$，则$∠ A=$（
A.$45°$
B.$50°$
C.$55°$
D.$60°$
A
）A.$45°$
B.$50°$
C.$55°$
D.$60°$
答案
3.A
解析
【分析】
解题时先利用对顶角的性质求出与∠BOD相等的∠AOC的度数，再识别出∠AEC是△AEO的外角，结合三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，代入已知角度即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵ 直线AB与CD相交于点O，
∴ ∠AOC与∠BOD是对顶角，根据对顶角相等可得：$∠ AOC=∠ BOD=80°$。
∵ $∠ AEC$是$△ AEO$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴ $∠ AEC=∠ A+∠ AOC$，
变形得$∠ A=∠ AEC-∠ AOC=125°-80°=45°$。
【答案】
A
【知识点】
对顶角的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题结合生活中的马扎结构创设情境，考查基础几何性质的应用，解题的关键是准确识别图形中的对顶角和三角形外角，代入性质计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时先利用对顶角的性质求出与∠BOD相等的∠AOC的度数，再识别出∠AEC是△AEO的外角，结合三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，代入已知角度即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵ 直线AB与CD相交于点O，
∴ ∠AOC与∠BOD是对顶角，根据对顶角相等可得：$∠ AOC=∠ BOD=80°$。
∵ $∠ AEC$是$△ AEO$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴ $∠ AEC=∠ A+∠ AOC$，
变形得$∠ A=∠ AEC-∠ AOC=125°-80°=45°$。
【答案】
A
【知识点】
对顶角的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题结合生活中的马扎结构创设情境，考查基础几何性质的应用，解题的关键是准确识别图形中的对顶角和三角形外角，代入性质计算即可。
【难度系数】
0.8
4.如图，∠CBE和∠BCF是△ABC的两个外角.若∠A=54°,则∠CBE+∠BCF的度数为
234°
答案
4.234°
解析
【分析】
解题时可先根据邻补角的性质，将两个外角分别用三角形相邻的内角表示，再结合三角形内角和定理求出两个内角的和，最后代入计算即可得到两个外角的和。具体思路如下：第一步，明确三角形的外角与相邻内角互补，和为180°，据此写出两个外角的表达式；第二步，利用三角形内角和为180°，将两个内角的和用已知的∠A表示；第三步，代入数值计算得到最终结果。
【解析】
∵ ∠CBE是△ABC的外角，∠CBE与∠ABC互为邻补角
∴ ∠CBE = 180° - ∠ABC
同理可得：∠BCF = 180° - ∠ACB
则 ∠CBE + ∠BCF = (180° - ∠ABC) + (180° - ∠ACB) = 360° - (∠ABC + ∠ACB)
在△ABC中，根据三角形内角和定理得：
∠ABC + ∠ACB + ∠A = 180°
已知∠A=54°，因此∠ABC + ∠ACB = 180° - 54° = 126°
将其代入上式得：
∠CBE + ∠BCF = 360° - 126° = 234°
【答案】
234°
【知识点】
邻补角的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义
【点评】
本题是三角形外角相关的基础计算题，解题核心是通过邻补角的性质将未知的外角和转化为与三角形内角和相关的表达式，结合已知角的度数即可求解，熟练掌握基础性质能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时可先根据邻补角的性质，将两个外角分别用三角形相邻的内角表示，再结合三角形内角和定理求出两个内角的和，最后代入计算即可得到两个外角的和。具体思路如下：第一步，明确三角形的外角与相邻内角互补，和为180°，据此写出两个外角的表达式；第二步，利用三角形内角和为180°，将两个内角的和用已知的∠A表示；第三步，代入数值计算得到最终结果。
【解析】
∵ ∠CBE是△ABC的外角，∠CBE与∠ABC互为邻补角
∴ ∠CBE = 180° - ∠ABC
同理可得：∠BCF = 180° - ∠ACB
则 ∠CBE + ∠BCF = (180° - ∠ABC) + (180° - ∠ACB) = 360° - (∠ABC + ∠ACB)
在△ABC中，根据三角形内角和定理得：
∠ABC + ∠ACB + ∠A = 180°
已知∠A=54°，因此∠ABC + ∠ACB = 180° - 54° = 126°
将其代入上式得：
∠CBE + ∠BCF = 360° - 126° = 234°
【答案】
234°
【知识点】
邻补角的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义
【点评】
本题是三角形外角相关的基础计算题，解题核心是通过邻补角的性质将未知的外角和转化为与三角形内角和相关的表达式，结合已知角的度数即可求解，熟练掌握基础性质能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
5. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，使两条斜边互相平行，则∠1=（
A.$45°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$75°$
D
）A.$45°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$75°$
答案
5.D
解析
【分析】
首先明确一副三角板的固定角度：含30°角的三角板三个角为30°、60°、90°，含45°角的三角板三个角为45°、45°、90°。已知两条斜边互相平行，可先利用平行线的性质得到45°角的同位角大小，再结合三角形外角的性质，即可求出∠1的度数。
【解析】
∵ 两条斜边互相平行，根据“两直线平行，同位角相等”，可得45°角的同位角为45°。
又
∵ ∠1是含30°角的三角形的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴ ∠1=30°+45°=75°。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质；三角形外角的性质；三角板角度特征
【点评】
本题是角度计算的常见基础题型，解题关键是熟练掌握平行线的性质和三角形外角定理，同时牢记三角板的固有角度，准确找到角度之间的数量关系即可求解。
【难度系数】
0.7
首先明确一副三角板的固定角度：含30°角的三角板三个角为30°、60°、90°，含45°角的三角板三个角为45°、45°、90°。已知两条斜边互相平行，可先利用平行线的性质得到45°角的同位角大小，再结合三角形外角的性质，即可求出∠1的度数。
【解析】
∵ 两条斜边互相平行，根据“两直线平行，同位角相等”，可得45°角的同位角为45°。
又
∵ ∠1是含30°角的三角形的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴ ∠1=30°+45°=75°。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质；三角形外角的性质；三角板角度特征
【点评】
本题是角度计算的常见基础题型，解题关键是熟练掌握平行线的性质和三角形外角定理，同时牢记三角板的固有角度，准确找到角度之间的数量关系即可求解。
【难度系数】
0.7
6. [教材P87 A组复习题第5题改编]如图，$△ ABC$的内角平分线$BE$与外角平分线$CE$交于点$E$.若$∠ ABE=20°,∠ ACE=50°$,则$∠ E$的度数为
30°
.答案
6.30°
解析
【分析】
解题时先结合角平分线的定义，由已知的角平分线和对应角度，求出∠EBC和∠ECD的度数；再观察图形可得∠ECD是△BCE的外角，根据三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，建立等式即可求出∠E的度数。
【解析】
∵ BE是△ABC的内角平分线，∠ABE=20°
∴ ∠EBC=∠ABE=20°
∵ CE是△ABC的外角平分线，∠ACE=50°
∴ ∠ECD=∠ACE=50°
又
∵ ∠ECD是△BCE的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
∴ ∠ECD=∠EBC+∠E
∴ ∠E=∠ECD - ∠EBC=50° - 20°=30°
【答案】
30°
【知识点】
1.角平分线的定义 2.三角形外角的性质
【点评】
本题是角平分线性质和三角形外角性质的基础综合题，解题的关键是识别出△BCE的外角∠ECD，建立所求角与已知角的数量关系，整体计算难度较低，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时先结合角平分线的定义，由已知的角平分线和对应角度，求出∠EBC和∠ECD的度数；再观察图形可得∠ECD是△BCE的外角，根据三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，建立等式即可求出∠E的度数。
【解析】
∵ BE是△ABC的内角平分线，∠ABE=20°
∴ ∠EBC=∠ABE=20°
∵ CE是△ABC的外角平分线，∠ACE=50°
∴ ∠ECD=∠ACE=50°
又
∵ ∠ECD是△BCE的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
∴ ∠ECD=∠EBC+∠E
∴ ∠E=∠ECD - ∠EBC=50° - 20°=30°
【答案】
30°
【知识点】
1.角平分线的定义 2.三角形外角的性质
【点评】
本题是角平分线性质和三角形外角性质的基础综合题，解题的关键是识别出△BCE的外角∠ECD，建立所求角与已知角的数量关系，整体计算难度较低，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
7.[新课标—综合与实践题]星期天,小明见爸爸愁眉苦脸地看着一张图纸,便悄悄地来到爸爸身边,想看看爸爸为什么犯愁.爸爸见到他,高兴地对他说:“来帮我一个忙,你看这是一个四边形零件的平面图,它要求∠BDC等于140°才算合格.”小明通过测量,得∠BAC=90°,∠ABD=19°,∠ACD=40°后,就下结论说此零件不合格.于是爸爸让小明解释这是为什么,小明很轻松地说出了原因,并用如下的三种方法解出此题.请你利用下列三个图形分别说出不合格的理由.
(1)如图1,连接AD并延长;
(2)如图2,延长CD交AB于点E;
(3)如图3,连接BC.
(1)如图1,连接AD并延长;
(2)如图2,延长CD交AB于点E;
(3)如图3,连接BC.
答案
7. (1)$\because ∠BDC=∠1+∠2=∠BAC+∠B+∠C=90°+19°+40°=149°≠140°$,$\therefore$不合格.
(2)$\because ∠BDC=∠1+∠B=∠A+∠C+∠B=149°≠140°$,$\therefore$不合格.
(3)$\because$在$△ ABC$中,$∠1+∠2=180°-∠BAC-∠ABD-∠ACD=31°$,
在$△ BCD$中,$∠BDC=180°-(∠1+∠2)=149°≠140°$,$\therefore$不合格.
(2)$\because ∠BDC=∠1+∠B=∠A+∠C+∠B=149°≠140°$,$\therefore$不合格.
(3)$\because$在$△ ABC$中,$∠1+∠2=180°-∠BAC-∠ABD-∠ACD=31°$,
在$△ BCD$中,$∠BDC=180°-(∠1+∠2)=149°≠140°$,$\therefore$不合格.
解析
【分析】
要判断零件是否合格，需计算出∠BDC的实际度数并与140°对比，三种方法均通过给定的辅助线，结合三角形外角性质或内角和定理，将∠BDC转化为用已知角表示的形式，进而计算求值：
(1) 图1连接AD并延长后，利用三角形外角性质，可将∠BDC拆分为两个外角的和，进而转化为∠BAC、∠ABD、∠ACD的和；
(2) 图2延长CD交AB于E，先通过外角性质得到∠BED与∠A、∠C的关系，再结合外角性质得到∠BDC与∠BED、∠B的关系，最终推导出∠BDC与三个已知角的关系；
(3) 图3连接BC后，先在△ABC中利用内角和定理求出∠DBC与∠DCB的和，再在△BDC中利用内角和定理求出∠BDC的度数。
【解析】
(1) 如图1，连接AD并延长：
根据三角形外角的性质，可得∠1=∠B+∠BAD，∠2=∠C+∠CAD，
∴$∠ BDC=∠ 1+∠ 2=∠ B+∠ BAD+∠ C+∠ CAD=∠ BAC+∠ B+∠ C$，
代入$∠ BAC=90°$，$∠ ABD=19°$，$∠ ACD=40°$，得$∠ BDC=90°+19°+40°=149°≠140°$，故不合格。
(2) 如图2，延长CD交AB于点E：
根据三角形外角的性质，∠1是△AEC的外角，故$∠ 1=∠ A+∠ C$，
∠BDC是△BDE的外角，故$∠ BDC=∠ 1+∠ B=∠ A+∠ C+∠ B$，
代入数值得$∠ BDC=90°+40°+19°=149°≠140°$，故不合格。
(3) 如图3，连接BC：
在△ABC中，根据三角形内角和为$180°$，得$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ BAC=90°$，
即$∠ ABD+∠ 1+∠ ACD+∠ 2=90°$，代入已知角度，得$∠ 1+∠ 2=90°-19°-40°=31°$，
在△BCD中，$∠ BDC=180°-(∠ 1+∠ 2)=180°-31°=149°≠140°$，故不合格。
【答案】
三种方法均计算得$∠ BDC=149°≠140°$，故此零件不合格。
【知识点】
三角形外角性质，三角形内角和定理，角的和差运算
【点评】
本题结合实际生产的零件合格判定场景，考查三角形内外角相关性质的应用，通过给定的辅助线构造可快速建立待求角与已知角的数量关系，体现了转化思想在几何计算中的应用，有助于提升运用几何知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
要判断零件是否合格，需计算出∠BDC的实际度数并与140°对比，三种方法均通过给定的辅助线，结合三角形外角性质或内角和定理，将∠BDC转化为用已知角表示的形式，进而计算求值：
(1) 图1连接AD并延长后，利用三角形外角性质，可将∠BDC拆分为两个外角的和，进而转化为∠BAC、∠ABD、∠ACD的和；
(2) 图2延长CD交AB于E，先通过外角性质得到∠BED与∠A、∠C的关系，再结合外角性质得到∠BDC与∠BED、∠B的关系，最终推导出∠BDC与三个已知角的关系；
(3) 图3连接BC后，先在△ABC中利用内角和定理求出∠DBC与∠DCB的和，再在△BDC中利用内角和定理求出∠BDC的度数。
【解析】
(1) 如图1，连接AD并延长：
根据三角形外角的性质，可得∠1=∠B+∠BAD，∠2=∠C+∠CAD，
∴$∠ BDC=∠ 1+∠ 2=∠ B+∠ BAD+∠ C+∠ CAD=∠ BAC+∠ B+∠ C$，
代入$∠ BAC=90°$，$∠ ABD=19°$，$∠ ACD=40°$，得$∠ BDC=90°+19°+40°=149°≠140°$，故不合格。
(2) 如图2，延长CD交AB于点E：
根据三角形外角的性质，∠1是△AEC的外角，故$∠ 1=∠ A+∠ C$，
∠BDC是△BDE的外角，故$∠ BDC=∠ 1+∠ B=∠ A+∠ C+∠ B$，
代入数值得$∠ BDC=90°+40°+19°=149°≠140°$，故不合格。
(3) 如图3，连接BC：
在△ABC中，根据三角形内角和为$180°$，得$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ BAC=90°$，
即$∠ ABD+∠ 1+∠ ACD+∠ 2=90°$，代入已知角度，得$∠ 1+∠ 2=90°-19°-40°=31°$，
在△BCD中，$∠ BDC=180°-(∠ 1+∠ 2)=180°-31°=149°≠140°$，故不合格。
【答案】
三种方法均计算得$∠ BDC=149°≠140°$，故此零件不合格。
【知识点】
三角形外角性质，三角形内角和定理，角的和差运算
【点评】
本题结合实际生产的零件合格判定场景，考查三角形内外角相关性质的应用，通过给定的辅助线构造可快速建立待求角与已知角的数量关系，体现了转化思想在几何计算中的应用，有助于提升运用几何知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
