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8.如图,把平面直角坐标系xOy放置在边长为1的正方形网格中,O是坐标原点,点A,B,C均在格点上,将△ABC绕O点按逆时针方向旋转90°后,得到△A'B'C',则点A'的坐标是 (
A.(-5,1)
B.(5,-1)
C.(-1,5)
D.(1,-5)
B
)A.(-5,1)
B.(5,-1)
C.(-1,5)
D.(1,-5)
答案
8.B
解析
【分析】
要得到旋转后点A'的坐标，首先需要先确定旋转前点A的坐标，可通过网格直接读取；其次回忆点绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律，将点A的坐标代入规律计算，即可快速得到A'的坐标，也可通过作图旋转线段OA数格验证结果。
【解析】
第一步：读取点A的坐标，观察网格可得，点A的横坐标为-1，纵坐标为-5，即$A(-1,-5)$。
第二步：点绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律：若原点点坐标为$(x,y)$，绕原点O逆时针旋转90°后对应点的坐标为$(-y,x)$。
第三步：将A点坐标$x=-1$，$y=-5$代入规律计算：
横坐标：$-y = -(-5) = 5$，
纵坐标：$x = -1$，
因此点A'的坐标为$(5,-1)$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
坐标的确定，旋转的坐标规律，图形的旋转
【点评】
本题考查图形旋转过程中点的坐标变化，解题核心是熟练掌握绕原点旋转90°的坐标变换规则，也可通过手动画图的方式得到答案，属于基础类考题，主要考察学生对基础规律的掌握程度。
【难度系数】
0.8
要得到旋转后点A'的坐标，首先需要先确定旋转前点A的坐标，可通过网格直接读取；其次回忆点绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律，将点A的坐标代入规律计算，即可快速得到A'的坐标，也可通过作图旋转线段OA数格验证结果。
【解析】
第一步：读取点A的坐标，观察网格可得，点A的横坐标为-1，纵坐标为-5，即$A(-1,-5)$。
第二步：点绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律：若原点点坐标为$(x,y)$，绕原点O逆时针旋转90°后对应点的坐标为$(-y,x)$。
第三步：将A点坐标$x=-1$，$y=-5$代入规律计算：
横坐标：$-y = -(-5) = 5$，
纵坐标：$x = -1$，
因此点A'的坐标为$(5,-1)$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
坐标的确定，旋转的坐标规律，图形的旋转
【点评】
本题考查图形旋转过程中点的坐标变化，解题核心是熟练掌握绕原点旋转90°的坐标变换规则，也可通过手动画图的方式得到答案，属于基础类考题，主要考察学生对基础规律的掌握程度。
【难度系数】
0.8
9.如图，$AF⊥BD$于点$O$，$△ ABC$与$△ DEF$都是等腰三角形，$AB=AC$，$DF=DE$，$BC=EF$，$AB=ED$，则$△ DEF$至少由$△ ABC$绕点$O$顺时针旋转
$90°$
得到.答案
9.$90°$
解析
【分析】
要确定△DEF由△ABC绕点O顺时针旋转的最小角度，需结合旋转的性质分析：首先旋转前后图形全等，旋转角是对应点与旋转中心连线的最小正夹角。第一步先根据已知边的关系证明△ABC和△DEF全等，满足旋转前后图形全等的要求；再结合AF⊥BD的垂直关系，找到对应点与点O连线的夹角，即可确定最小旋转角。
【解析】
解：
∵AF⊥BD于点O，
∴∠AOD=90°。
∵AB=AC，DF=DE，且AB=ED，
∴AB=AC=DE=DF。
又
∵BC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SSS），符合旋转前后图形全等的性质。
当△ABC绕点O顺时针旋转时，顶点A的对应点为D，OA顺时针旋转至OD的位置的夹角为90°，其余对应点与O连线的旋转角也为90°，旋转后两个三角形完全重合，因此最小旋转角度为90°。
【答案】
90°
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定；垂直的定义
【点评】
本题考查旋转的相关应用，解题的关键是明确旋转角的定义，结合图形的垂直特征和全等关系快速确定旋转角度，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
要确定△DEF由△ABC绕点O顺时针旋转的最小角度，需结合旋转的性质分析：首先旋转前后图形全等，旋转角是对应点与旋转中心连线的最小正夹角。第一步先根据已知边的关系证明△ABC和△DEF全等，满足旋转前后图形全等的要求；再结合AF⊥BD的垂直关系，找到对应点与点O连线的夹角，即可确定最小旋转角。
【解析】
解：
∵AF⊥BD于点O，
∴∠AOD=90°。
∵AB=AC，DF=DE，且AB=ED，
∴AB=AC=DE=DF。
又
∵BC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SSS），符合旋转前后图形全等的性质。
当△ABC绕点O顺时针旋转时，顶点A的对应点为D，OA顺时针旋转至OD的位置的夹角为90°，其余对应点与O连线的旋转角也为90°，旋转后两个三角形完全重合，因此最小旋转角度为90°。
【答案】
90°
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定；垂直的定义
【点评】
本题考查旋转的相关应用，解题的关键是明确旋转角的定义，结合图形的垂直特征和全等关系快速确定旋转角度，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
10. 新情境 传统荷兰风车有四个扇叶，绕着轮毂顺时针旋转，每两个扇叶之间的夹角是$90°$，平均每4 s转一圈.如图，将扇叶看成四条线段，以四个扇叶相交处为原点，建立平面直角坐标系，一个扇叶的顶点A的坐标为$(1,2)$，若风车转速不变，1 005 s后点A转到点$A'$处，则点$A'$的坐标为
$(2,-1)$
.答案
10.$(2,-1)$
解析
【分析】
首先明确风车的旋转周期为4秒，要确定1005秒后点A的位置，先计算1005秒包含多少个完整旋转周期，得到剩余的有效旋转时间，换算为等效旋转角度；再回忆平面直角坐标系中点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律，代入原A点坐标即可求出A'的坐标。
【解析】
解：已知风车平均4s转一圈，即旋转周期$T=4\mathrm{s}$。
计算1005s内的旋转周期数：$1005÷4=251······1$，即251个完整周期后还剩余1s，因此1005s后点A的位置与顺时针旋转1s的位置相同。
1s内风车旋转的角度为：$\frac{360°}{4}×1=90°$，即点A绕原点顺时针旋转90°得到$A'$。
根据点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律：若原坐标为$(x,y)$，旋转后坐标为$(y,-x)$。
已知A点坐标为$(1,2)$，代入得$A'$的坐标为$(2,-1)$。
【答案】
$(2,-1)$
【知识点】
旋转变换的坐标规律，周期问题计算
【点评】
本题结合传统风车的实际情境考查旋转的相关知识，解题的关键是先通过周期计算将长时间旋转转化为等效的最小角度旋转，再正确应用旋转的坐标变换规律，需要注意不要搞混旋转方向对应的坐标变换规则。
【难度系数】
0.7
首先明确风车的旋转周期为4秒，要确定1005秒后点A的位置，先计算1005秒包含多少个完整旋转周期，得到剩余的有效旋转时间，换算为等效旋转角度；再回忆平面直角坐标系中点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律，代入原A点坐标即可求出A'的坐标。
【解析】
解：已知风车平均4s转一圈，即旋转周期$T=4\mathrm{s}$。
计算1005s内的旋转周期数：$1005÷4=251······1$，即251个完整周期后还剩余1s，因此1005s后点A的位置与顺时针旋转1s的位置相同。
1s内风车旋转的角度为：$\frac{360°}{4}×1=90°$，即点A绕原点顺时针旋转90°得到$A'$。
根据点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律：若原坐标为$(x,y)$，旋转后坐标为$(y,-x)$。
已知A点坐标为$(1,2)$，代入得$A'$的坐标为$(2,-1)$。
【答案】
$(2,-1)$
【知识点】
旋转变换的坐标规律，周期问题计算
【点评】
本题结合传统风车的实际情境考查旋转的相关知识，解题的关键是先通过周期计算将长时间旋转转化为等效的最小角度旋转，再正确应用旋转的坐标变换规律，需要注意不要搞混旋转方向对应的坐标变换规则。
【难度系数】
0.7
11.如图,平面直角坐标系内,小正方形网格的边长为1个单位长度,△ABC,△DEF的顶点均在格点上.
(1)将△ABC绕点O旋转180°得到△A₁B₁C₁,画出△A₁B₁C₁;
(2)将△DEF绕点E逆时针旋转90°得到△D₁EF₁,画出△D₁EF₁;
(3)若△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的,则这点的坐标为
(1)将△ABC绕点O旋转180°得到△A₁B₁C₁,画出△A₁B₁C₁;
(2)将△DEF绕点E逆时针旋转90°得到△D₁EF₁,画出△D₁EF₁;
(3)若△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的,则这点的坐标为
$(0,1)$
.答案
11.解：(1)略.(2)略.(3)$(0,1)$
解析
【分析】
(1) 要画出△ABC绕原点O旋转180°得到的△A₁B₁C₁，本质是作△ABC关于原点的中心对称图形，只需先找到A、B、C三点关于原点对称的对应点，再顺次连接即可，关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数。
(2) 要画出△DEF绕点E逆时针旋转90°得到的△D₁EF₁，只需将点D、F分别绕点E逆时针旋转90°得到对应点D₁、F₁，再顺次连接E、D₁、F₁即可，可借助网格确定旋转后点的相对位置，旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。
(3) 旋转中心到每一组对应点的距离都相等，因此旋转中心是两组对应点连线的垂直平分线的交点，只需找到两组对应点，分别作它们连线的垂直平分线，交点坐标即为所求。
【解析】
(1) 先确定△ABC各顶点坐标：$A(1,2)$，$B(3,4)$，$C(2,1)$，根据关于原点对称的点的坐标特征，得对应点坐标为$A_1(-1,-2)$，$B_1(-3,-4)$，$C_1(-2,-1)$，在网格中描出以上三点，顺次连接即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 先确定△DEF各顶点坐标：$D(1,0)$，$E(3,-2)$，$F(0,-1)$。将点D、F分别绕点E逆时针旋转90°，根据旋转90°的坐标变换规律得到对应点$D_1(1,-4)$、$F_1(2,-5)$，在网格中描出$D_1$、$F_1$，顺次连接E、$D_1$、$F_1$即可得到△D₁EF₁。
(3) 选取两组对应点：A对应D，C对应F。
① 作线段AD的垂直平分线：A(1,2)、D(1,0)，AD为竖直线，中点为$(1,1)$，因此其垂直平分线为水平线$y=1$；
② 作线段CF的垂直平分线：C(2,1)、F(0,-1)，中点为$(1,0)$，线段CF的斜率为1，因此其垂直平分线斜率为-1，解析式为$y=-x+1$；
③ 联立两条垂直平分线的解析式$\begin{cases}y=1\\y=-x+1\end{cases}$，解得$x=0$，$y=1$，即交点坐标为$(0,1)$，也就是旋转中心的坐标。
【答案】
(1) 画图见解析；(2) 画图见解析；(3) $\boldsymbol{(0,1)}$
【知识点】
中心对称作图，旋转作图，旋转的性质
【点评】
本题考查旋转相关的作图和性质应用，作图时要明确旋转中心、旋转方向和旋转角三个要素，求旋转中心时利用旋转前后对应点到旋转中心距离相等的性质，通过作垂直平分线找交点是常规解题方法，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要画出△ABC绕原点O旋转180°得到的△A₁B₁C₁，本质是作△ABC关于原点的中心对称图形，只需先找到A、B、C三点关于原点对称的对应点，再顺次连接即可，关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数。
(2) 要画出△DEF绕点E逆时针旋转90°得到的△D₁EF₁，只需将点D、F分别绕点E逆时针旋转90°得到对应点D₁、F₁，再顺次连接E、D₁、F₁即可，可借助网格确定旋转后点的相对位置，旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。
(3) 旋转中心到每一组对应点的距离都相等，因此旋转中心是两组对应点连线的垂直平分线的交点，只需找到两组对应点，分别作它们连线的垂直平分线，交点坐标即为所求。
【解析】
(1) 先确定△ABC各顶点坐标：$A(1,2)$，$B(3,4)$，$C(2,1)$，根据关于原点对称的点的坐标特征，得对应点坐标为$A_1(-1,-2)$，$B_1(-3,-4)$，$C_1(-2,-1)$，在网格中描出以上三点，顺次连接即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 先确定△DEF各顶点坐标：$D(1,0)$，$E(3,-2)$，$F(0,-1)$。将点D、F分别绕点E逆时针旋转90°，根据旋转90°的坐标变换规律得到对应点$D_1(1,-4)$、$F_1(2,-5)$，在网格中描出$D_1$、$F_1$，顺次连接E、$D_1$、$F_1$即可得到△D₁EF₁。
(3) 选取两组对应点：A对应D，C对应F。
① 作线段AD的垂直平分线：A(1,2)、D(1,0)，AD为竖直线，中点为$(1,1)$，因此其垂直平分线为水平线$y=1$；
② 作线段CF的垂直平分线：C(2,1)、F(0,-1)，中点为$(1,0)$，线段CF的斜率为1，因此其垂直平分线斜率为-1，解析式为$y=-x+1$；
③ 联立两条垂直平分线的解析式$\begin{cases}y=1\\y=-x+1\end{cases}$，解得$x=0$，$y=1$，即交点坐标为$(0,1)$，也就是旋转中心的坐标。
【答案】
(1) 画图见解析；(2) 画图见解析；(3) $\boldsymbol{(0,1)}$
【知识点】
中心对称作图，旋转作图，旋转的性质
【点评】
本题考查旋转相关的作图和性质应用，作图时要明确旋转中心、旋转方向和旋转角三个要素，求旋转中心时利用旋转前后对应点到旋转中心距离相等的性质，通过作垂直平分线找交点是常规解题方法，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
12. 推理能力 如图,矩形ABOC的顶点O为坐标原点,BC=2,对角线OA在第二象限的角平分线上.若矩形从图示位置开始绕点O以每秒$45°$的速度顺时针旋转,则第2026 s时,点A的对应点的坐标为 (
A.$(2,0)$
B.$(0,2)$
C.$(\sqrt{2},\sqrt{2})$
D.$(-\sqrt{2},-\sqrt{2})$
C
)A.$(2,0)$
B.$(0,2)$
C.$(\sqrt{2},\sqrt{2})$
D.$(-\sqrt{2},-\sqrt{2})$
答案
12.C
解析
【分析】
解题思路可分四步走：第一步，利用矩形对角线相等的性质，先求出线段OA的长度；第二步，结合OA在第二象限角平分线的条件，确定OA初始位置与x轴正方向的夹角；第三步，根据旋转速度计算旋转周期，用总时间除以周期得到余数，确定最终OA实际旋转的角度，得到最终OA所在的位置；第四步，结合OA长度和所在位置的特征，计算对应点的坐标。
【解析】
1. 由矩形的性质可知，矩形的对角线相等，因此$ OA = BC = 2 $。
2. 初始状态下OA在第二象限的角平分线上，因此OA与x轴正方向的夹角为$ 135° $。
3. 矩形绕点O顺时针旋转的速度为每秒$ 45° $，旋转一周（$ 360° $）的周期为$ 360° ÷ 45° = 8\ \mathrm{s} $。
4. 计算总时间对应的周期余数：$ 2026 ÷ 8 = 253······2 $，即第2026s时，相当于OA仅顺时针旋转了2s，旋转角度为$ 2 × 45° = 90° $。
5. 此时OA与x轴正方向的夹角为$ 135° - 90° = 45° $，即OA在第一象限的角平分线上，对应点的横、纵坐标相等，设坐标为$ (a,a) $（$ a＞0 $）。
6. 由OA长度为2，结合勾股定理得$ a^2 + a^2 = 2^2 $，解得$ a = \sqrt{2} $，因此对应点坐标为$ (\sqrt{2},\sqrt{2}) $。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；旋转的性质；平面直角坐标系
【点评】
本题综合考查了几何图形性质与旋转规律的结合，解题的核心是利用旋转的周期性简化长时长的旋转角度计算，再结合特殊位置点的坐标特征求解，解题时要注意旋转方向对最终角度的影响。
【难度系数】
0.7
解题思路可分四步走：第一步，利用矩形对角线相等的性质，先求出线段OA的长度；第二步，结合OA在第二象限角平分线的条件，确定OA初始位置与x轴正方向的夹角；第三步，根据旋转速度计算旋转周期，用总时间除以周期得到余数，确定最终OA实际旋转的角度，得到最终OA所在的位置；第四步，结合OA长度和所在位置的特征，计算对应点的坐标。
【解析】
1. 由矩形的性质可知，矩形的对角线相等，因此$ OA = BC = 2 $。
2. 初始状态下OA在第二象限的角平分线上，因此OA与x轴正方向的夹角为$ 135° $。
3. 矩形绕点O顺时针旋转的速度为每秒$ 45° $，旋转一周（$ 360° $）的周期为$ 360° ÷ 45° = 8\ \mathrm{s} $。
4. 计算总时间对应的周期余数：$ 2026 ÷ 8 = 253······2 $，即第2026s时，相当于OA仅顺时针旋转了2s，旋转角度为$ 2 × 45° = 90° $。
5. 此时OA与x轴正方向的夹角为$ 135° - 90° = 45° $，即OA在第一象限的角平分线上，对应点的横、纵坐标相等，设坐标为$ (a,a) $（$ a＞0 $）。
6. 由OA长度为2，结合勾股定理得$ a^2 + a^2 = 2^2 $，解得$ a = \sqrt{2} $，因此对应点坐标为$ (\sqrt{2},\sqrt{2}) $。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；旋转的性质；平面直角坐标系
【点评】
本题综合考查了几何图形性质与旋转规律的结合，解题的核心是利用旋转的周期性简化长时长的旋转角度计算，再结合特殊位置点的坐标特征求解，解题时要注意旋转方向对最终角度的影响。
【难度系数】
0.7
