1.下列说法正确的是
（）

A.等弦所对的弧相等
B.等弧所对的弦相等
C.圆心角相等，所对的弦相等
D.弦相等，所对的圆心角相等

1.B

【分析】
本题考查圆心角、弧、弦的关系相关概念辨析，解题时首先要明确三者关系定理的适用前提是“在同圆或等圆中”，再结合等弧的定义逐一判断每个选项即可。首先回忆相关性质：在同圆或等圆中，相等的圆心角对应相等的弧、相等的弦；但等弧的定义是能完全重合的弧，本身就满足同圆或等圆的条件，无需额外加前提，接下来逐个排查选项的正误即可。
【解析】
根据圆心角、弧、弦的关系定理（适用前提：同圆或等圆中）逐一分析选项：
A. 缺少“同圆或等圆”的前提，且同一条弦对应优弧、劣弧两条弧，因此等弦所对的弧不一定相等，该选项错误；
B. 等弧指能够完全重合的弧，本身隐含了“同圆或等圆”的条件，因此等弧所对的弦一定相等，该选项正确；
C. 缺少“同圆或等圆”的前提，圆心角相等时，所对的弦不一定相等，该选项错误；
D. 缺少“同圆或等圆”的前提，弦相等时，所对的圆心角不一定相等，该选项错误。
【答案】
B
【知识点】
弧、弦、圆心角的关系；等弧的定义
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是容易忽略圆心角、弦、弧相等关系成立的“同圆或等圆”前提，需特别注意等弧的概念本身就包含了同圆或等圆的条件，无需额外说明。
【难度系数】
0.7

2.已知内接于$\odot O$的等边三角形$ABC$的边长是$2\sqrt{3}$，则$\odot O$的半径为（）

A.1
B.2
C.3
D.4

2.B

【分析】
本题是求等边三角形外接圆半径的问题，解题思路如下：①首先明确等边三角形的外心（外接圆圆心）与它的内心、重心、角平分线交点重合，位于三角形的高上；②过圆心作三角形一边的垂线，连接圆心与该边的顶点，可构造出含30°角的直角三角形；③结合垂径定理得到直角三角形的直角边长，再利用特殊角的三角函数即可求出外接圆半径。
【解析】
解：过圆心O作OD⊥AB于点D，连接OA。
∵△ABC是等边三角形，内接于⊙O，
∴OA平分∠CAB，且∠CAB=60°，
∴∠OAD=$\frac{1}{2}$∠CAB=30°。
根据垂径定理，OD垂直平分AB，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$。
在Rt△OAD中，$\cos∠ OAD=\frac{AD}{OA}$，
代入$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$、AD=$\sqrt{3}$得：
$\frac{\sqrt{3}}{OA}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得OA=2，即⊙O的半径为2。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质、垂径定理、三角形外接圆
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础题型，解题的核心是利用等边三角形的特殊性构造直角三角形，将外接圆半径的求解转化为直角三角形边长计算，是外接圆相关计算的典型考法。
【难度系数】
0.8

3.如图，C，D为半圆上三等分点，则下列说法正确的有 （）
①$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BC}$；②$∠ AOD=∠ DOC=∠ BOC$；③$AD=CD=OC$；④$△ AOD$沿OD翻折后与$△ COD$重合.

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
（第3题图） （第4题图） （第5题图）

3.A

【分析】
解题时首先明确“半圆上三等分点”的含义：将180°的半圆圆心角平均分成3份，每份对应圆心角为60°。再结合同圆中圆心角、弧、弦的对应关系，等边三角形的判定，以及全等图形的翻折性质，逐一判断4个说法的正误即可。
【解析】
∵AB是半圆的直径，
∴半圆对应的圆心角∠AOB=180°，
∵C、D为半圆上三等分点，
∴$\overset{\frown}{AD}$、$\overset{\frown}{CD}$、$\overset{\frown}{BC}$的度数均为$180°÷3=60°$，故①$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BC}$正确；
根据同圆中等弧对应相等的圆心角，可得$∠ AOD=∠ DOC=∠ BOC=60°$，故②正确；
∵OA=OD=OC=OB都是圆O的半径，
∴△AOD、△COD都是含60°角的等腰三角形，即等边三角形，
∴AD=OD=OA，CD=OC=OD，因此$AD=CD=OC$，故③正确；
△AOD和△COD都是边长等于半径的等边三角形，因此△AOD≌△COD，将△AOD沿OD翻折后与△COD完全重合，故④正确。
综上，4个说法均正确。
【答案】
A
【知识点】
1.圆心角、弧、弦的关系
2.等边三角形的判定
3.图形翻折的性质
【点评】
本题属于基础题，综合考查圆的基本性质和等边三角形、全等图形的相关知识，解题的关键是理解三等分点的含义，熟练运用同圆中圆心角、弧、弦的对应关系。
【难度系数】
0.8

4.如图所示，在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，$∠ A=30°$，则$∠ B$的度数是 （）

A.$150°$
B.$75°$
C.$60°$
D.$15°$

4.B

【分析】
解题时首先利用同圆中相等的弧所对的弦相等，由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$推出AB=AC，得到△ABC为等腰三角形；再结合等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和为180°，代入已知的∠A的度数，即可计算出∠B的度数。
【解析】
∵在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$
∴根据同圆中相等的弧所对的弦相等，可得$AB=AC$
∴$△ ABC$是等腰三角形，$∠ B=∠ C$
∵三角形内角和为$180°$，$∠ A=30°$
∴$∠ B=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$
【答案】
B
【知识点】
弧与弦的关系；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，将圆的弧弦关系和三角形的性质结合考察，熟练掌握相关性质定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8

5.如图，点C，D在以AB为直径的半圆O上，且$OD// BC$，若$\overset{\frown}{AD}$的度数为$43°$，则$\overset{\frown}{BC}$的度数为。

5.$94°$

【分析】
解题时首先要明确：弧的度数等于它所对圆心角的度数，因此可以先将弧AD的度数转化为对应的圆心角∠AOD的度数；再利用OD//BC的平行性质，得到∠OBC与∠AOD的等量关系；结合同圆半径相等，可知△OBC为等腰三角形，利用三角形内角和求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数，即可得到弧BC的度数。
【解析】
1. 由弧的度数等于其所对圆心角的度数，已知$\overset{\frown}{AD}$的度数为$43°$，可得$∠ AOD=43°$。
2. 因为$OD// BC$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ OBC=∠ AOD=43°$。
3. 因为$OB$、$OC$都是半圆$O$的半径，所以$OB=OC$，即$△ OBC$是等腰三角形，因此$∠ OCB=∠ OBC=43°$。
4. 根据三角形内角和为$180°$，在$△ OBC$中，$∠ BOC=180°-∠ OBC-∠ OCB=180°-43°-43°=94°$。
5. 所以$\overset{\frown}{BC}$的度数等于其对应的圆心角$∠ BOC$的度数，即$94°$。
【答案】
$94°$
【知识点】
弧与圆心角的关系，平行线的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础性质的综合应用题，解题的核心是将弧的度数问题转化为圆心角的角度计算问题，再结合平行线、等腰三角形的角度性质推导，属于基础类的典型考题。
【难度系数】
0.7

6.如图，在$\odot O$中，$AB=BC=CD$，$OB$，$OC$分别交$AC$，$DB$于点$M$，$N$。
求证：$∠ OMN=∠ ONM$。

6.证明:连结 OA,OD.$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD},\therefore ∠ AOB=∠ BOC=∠ COD$,
$\therefore ∠ AOB+∠ BOC=∠ COD+∠ BOC$,即$∠ AOC=∠ BOD$.
$\because OA=OC,OB=OD,\therefore OM⊥ AC,ON⊥ BD$(等腰三角形三线合一的性质).
$\therefore OM=ON,\therefore ∠ OMN=∠ ONM$.

【分析】
要证明∠OMN=∠ONM，可转化为证明△OMN是等腰三角形，即证OM=ON。首先根据已知AB=BC=CD，结合同圆中相等的弦对应相等的弧、相等的弧对应相等的圆心角，可推出∠AOC=∠BOD，可得弦AC=BD；再结合等腰三角形三线合一的性质，可知OB⊥AC、OC⊥BD，OM、ON分别为弦AC、BD的弦心距，同圆中相等的弦对应的弦心距相等，即可得OM=ON，进而证得结论。
【解析】
证明:连结 OA,OD.
$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD},\therefore ∠ AOB=∠ BOC=∠ COD$,
$\therefore ∠ AOB+∠ BOC=∠ COD+∠ BOC$,即$∠ AOC=∠ BOD$.
$\because OA=OC,OB=OD,\therefore OM⊥ AC,ON⊥ BD$(等腰三角形三线合一的性质).
$\therefore OM=ON,\therefore ∠ OMN=∠ ONM$.
【答案】
证明:连结 OA,OD.
$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD},\therefore ∠ AOB=∠ BOC=∠ COD$,
$\therefore ∠ AOB+∠ BOC=∠ COD+∠ BOC$,即$∠ AOC=∠ BOD$.
$\because OA=OC,OB=OD,\therefore OM⊥ AC,ON⊥ BD$(等腰三角形三线合一的性质).
$\therefore OM=ON,\therefore ∠ OMN=∠ ONM$.
【知识点】
1.圆心角、弧、弦的关系
2.垂径定理
3.等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的核心是利用同圆中弦、弧、圆心角的对应等量关系，结合等腰三角形的性质得到线段相等，进而推导角相等，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.7