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1. (★)根据二次函数与一元二次方程的联系,可以将一元二次方程问题转化为相应的二次函数问题. 比如,利用函数图象求方程$x^2+x-3=0$的根的近似值(结果保留小数点后一位).
方法一 第一步:画出函数$y=x^2+x-3$的图象如图所示.
第二步:由图可知,抛物线$y=x^2+x-3$与x轴的公共点的横坐标大约是.
所以方程$x^2+x-3=0$的实数根为$x_1≈$,$x_2≈$.
方法二 通过不断缩小根所在的范围,估计一元二次方程的根.
观察函数$y=x^2+x-3$的图象,可以发现:
点(1,-1)在x轴的下方,即当$x=1$时,$y=-1$0;
点(2,3)在x轴的上方,即当$x=2$时,$y=3$0.
因为抛物线$y=x^2+x-3$是一条连续不断的曲线,所以抛物线$y=x^2+x-3$在1＜x＜2这一段经过x轴,即方程$x^2+x-3=0$在1,2之间有
根. 我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围. 取1,2的平均数,当$x=$时,用计算器算得$y=$,与自变量为1时的函数值异号,所以这个根在,之间. 再取,的平均数,当$x=$时,用计算器算得$y=$,与自变量为1.5时的函数值异号,所以这个根在,之间. 重复上述步骤,我们逐步得到:这个根在,之间,在,之间……可以看到:根所在的范围越来越小,根所在范围的两端的值越来越接近根的值,因而可以作为根的近似值. 可以用这种方法得出方程$x^2+x-3=0$的另一个根的近似值.
方法一 第一步:画出函数$y=x^2+x-3$的图象如图所示.
第二步:由图可知,抛物线$y=x^2+x-3$与x轴的公共点的横坐标大约是.
所以方程$x^2+x-3=0$的实数根为$x_1≈$,$x_2≈$.
方法二 通过不断缩小根所在的范围,估计一元二次方程的根.
观察函数$y=x^2+x-3$的图象,可以发现:
点(1,-1)在x轴的下方,即当$x=1$时,$y=-1$0;
点(2,3)在x轴的上方,即当$x=2$时,$y=3$0.
因为抛物线$y=x^2+x-3$是一条连续不断的曲线,所以抛物线$y=x^2+x-3$在1＜x＜2这一段经过x轴,即方程$x^2+x-3=0$在1,2之间有
根. 我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围. 取1,2的平均数,当$x=$时,用计算器算得$y=$,与自变量为1时的函数值异号,所以这个根在,之间. 再取,的平均数,当$x=$时,用计算器算得$y=$,与自变量为1.5时的函数值异号,所以这个根在,之间. 重复上述步骤,我们逐步得到:这个根在,之间,在,之间……可以看到:根所在的范围越来越小,根所在范围的两端的值越来越接近根的值,因而可以作为根的近似值. 可以用这种方法得出方程$x^2+x-3=0$的另一个根的近似值.
答案
解：
方法一：
由图可知，抛物线$y=x^2+x-3$与x轴的公共点的横坐标大约是$\boldsymbol{-2.3和1.3}$。
所以方程$x^2+x-3=0$的实数根为$x_1≈\boldsymbol{-2.3}$，$x_2≈\boldsymbol{1.3}$。
方法二：
点$(1,-1)$在x轴的下方，即当$x=1$时，$y=-1$ $\boldsymbol{＜}$ $0$；
点$(2,3)$在x轴的上方，即当$x=2$时，$y=3$ $\boldsymbol{＞}$ $0$。
取1,2的平均数$\boldsymbol{1.5}$，当$x=\boldsymbol{1.5}$时，用计算器算得$y=\boldsymbol{0.75}$，与自变量为1时的函数值异号，所以这个根在$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{1.5}$之间。
再取$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{1.5}$的平均数$\boldsymbol{1.25}$，当$x=\boldsymbol{1.25}$时，用计算器算得$y=\boldsymbol{-0.1875}$，与自变量为1.5时的函数值异号，所以这个根在$\boldsymbol{1.25}$，$\boldsymbol{1.5}$之间。
重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在$\boldsymbol{1.25}$，$\boldsymbol{1.375}$之间，在$\boldsymbol{1.25}$，$\boldsymbol{1.3125}$之间……
方法一：
由图可知，抛物线$y=x^2+x-3$与x轴的公共点的横坐标大约是$\boldsymbol{-2.3和1.3}$。
所以方程$x^2+x-3=0$的实数根为$x_1≈\boldsymbol{-2.3}$，$x_2≈\boldsymbol{1.3}$。
方法二：
点$(1,-1)$在x轴的下方，即当$x=1$时，$y=-1$ $\boldsymbol{＜}$ $0$；
点$(2,3)$在x轴的上方，即当$x=2$时，$y=3$ $\boldsymbol{＞}$ $0$。
取1,2的平均数$\boldsymbol{1.5}$，当$x=\boldsymbol{1.5}$时，用计算器算得$y=\boldsymbol{0.75}$，与自变量为1时的函数值异号，所以这个根在$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{1.5}$之间。
再取$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{1.5}$的平均数$\boldsymbol{1.25}$，当$x=\boldsymbol{1.25}$时，用计算器算得$y=\boldsymbol{-0.1875}$，与自变量为1.5时的函数值异号，所以这个根在$\boldsymbol{1.25}$，$\boldsymbol{1.5}$之间。
重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在$\boldsymbol{1.25}$，$\boldsymbol{1.375}$之间，在$\boldsymbol{1.25}$，$\boldsymbol{1.3125}$之间……
解析
【分析】
本题核心是利用二次函数与一元二次方程的对应关系求解方程的近似根，解题思路分为两部分：①方法一：一元二次方程的根就是对应二次函数图象与x轴交点的横坐标，直接观察抛物线和x轴交点的横坐标，估算取值即可得到根的近似值。②方法二：利用连续函数的性质，若区间两端点的函数值异号，则区间内存在使函数值为0的点（即方程的根），通过不断取区间中点，判断中点处函数值的符号，逐步缩小根所在的区间，最终得到符合精度要求的近似根。
【解析】
方法一
观察二次函数$y=x^2+x-3$的图象，抛物线与x轴有两个交点，横坐标分别位于$-3∼-2$和$1∼2$之间，估算得横坐标大约是-2.3和1.3。根据二次函数与一元二次方程的联系，这两个横坐标就是方程$x^2+x-3=0$的实数根。
方法二
1. 点$(1,-1)$在x轴下方，因此$x=1$时，$y=-1＜0$；点$(2,3)$在x轴上方，因此$x=2$时，$y=3＞0$，说明$1∼2$之间存在方程的根。
2. 取1和2的平均数1.5，代入函数得$y=1.5^2+1.5-3=0.75＞0$，和$x=1$时的函数值异号，因此根在$1∼1.5$之间。
3. 再取1和1.5的平均数1.25，代入函数得$y=1.25^2+1.25-3=-0.1875＜0$，和$x=1.5$时的函数值异号，因此根在$1.25∼1.5$之间。
4. 重复取中点、判断符号、缩小区间的步骤，可逐步得到根在$1.25∼1.375$之间、$1.25∼1.3125$之间，不断缩小范围即可得到近似根。
【答案】
方法一：-2.3和1.3；-2.3；1.3
方法二：＜；＞；1.5；1.5；0.75；1；1.5；1；1.5；1.25；1.25；-0.1875；1.25；1.5；1.25；1.375；1.25；1.3125
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 图象法求近似根
3. 二分法估算根
【点评】
本题直观体现了函数与方程的转化思想，既考查了识图估算能力，又引导学生掌握逐步缩小区间求近似值的方法，是数形结合思想的典型基础应用。
【难度系数】
0.8
本题核心是利用二次函数与一元二次方程的对应关系求解方程的近似根，解题思路分为两部分：①方法一：一元二次方程的根就是对应二次函数图象与x轴交点的横坐标，直接观察抛物线和x轴交点的横坐标，估算取值即可得到根的近似值。②方法二：利用连续函数的性质，若区间两端点的函数值异号，则区间内存在使函数值为0的点（即方程的根），通过不断取区间中点，判断中点处函数值的符号，逐步缩小根所在的区间，最终得到符合精度要求的近似根。
【解析】
方法一
观察二次函数$y=x^2+x-3$的图象，抛物线与x轴有两个交点，横坐标分别位于$-3∼-2$和$1∼2$之间，估算得横坐标大约是-2.3和1.3。根据二次函数与一元二次方程的联系，这两个横坐标就是方程$x^2+x-3=0$的实数根。
方法二
1. 点$(1,-1)$在x轴下方，因此$x=1$时，$y=-1＜0$；点$(2,3)$在x轴上方，因此$x=2$时，$y=3＞0$，说明$1∼2$之间存在方程的根。
2. 取1和2的平均数1.5，代入函数得$y=1.5^2+1.5-3=0.75＞0$，和$x=1$时的函数值异号，因此根在$1∼1.5$之间。
3. 再取1和1.5的平均数1.25，代入函数得$y=1.25^2+1.25-3=-0.1875＜0$，和$x=1.5$时的函数值异号，因此根在$1.25∼1.5$之间。
4. 重复取中点、判断符号、缩小区间的步骤，可逐步得到根在$1.25∼1.375$之间、$1.25∼1.3125$之间，不断缩小范围即可得到近似根。
【答案】
方法一：-2.3和1.3；-2.3；1.3
方法二：＜；＞；1.5；1.5；0.75；1；1.5；1；1.5；1.25；1.25；-0.1875；1.25；1.5；1.25；1.375；1.25；1.3125
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 图象法求近似根
3. 二分法估算根
【点评】
本题直观体现了函数与方程的转化思想，既考查了识图估算能力，又引导学生掌握逐步缩小区间求近似值的方法，是数形结合思想的典型基础应用。
【难度系数】
0.8
2. (★)如图,点$A(2.26,-0.32)$,$B(2.56,0.41)$在二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象上,则方程$ax^2+bx+c=0$的一个根的近似值可能是 【 】
A.2.67
B.2.56
C.2.39
D.2.26
A.2.67
B.2.56
C.2.39
D.2.26
答案
C
解析
【分析】
解题时首先要明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$根的几何意义：它对应二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$图象与$x$轴交点的横坐标。已知$A$点纵坐标为负，说明$A$在$x$轴下方，$B$点纵坐标为正，说明$B$在$x$轴上方，二次函数图象是连续的抛物线，因此$A$、$B$两点之间的图象必然与$x$轴相交，即方程的一个根在$A$、$B$的横坐标2.26和2.56之间，最后判断选项中哪个数值落在这个区间即可。
【解析】
解：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与$x$轴交点的横坐标。
已知点$A(2.26,-0.32)$，此时$y=-0.32＜0$；点$B(2.56,0.41)$，此时$y=0.41＞0$。
因为二次函数图象是连续的曲线，因此在$2.26＜x＜2.56$的范围内，一定存在一个$x$使得$y=0$，即方程$ax^2+bx+c=0$的一个根的取值范围是$2.26＜x＜2.56$。
对选项逐一判断：
A. $2.67＞2.56$，不在该区间，排除；
B. $x=2.56$时$y=0.41≠0$，不是方程的根，排除；
C. $2.26＜2.39＜2.56$，在根的取值区间内，符合要求；
D. $x=2.26$时$y=-0.32≠0$，不是方程的根，排除。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.估算一元二次方程的根
【点评】
本题考查二次函数和一元二次方程的对应关系，解题关键是通过两点的函数值符号确定方程根的范围，再结合选项筛选答案，是对基础概念应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$根的几何意义：它对应二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$图象与$x$轴交点的横坐标。已知$A$点纵坐标为负，说明$A$在$x$轴下方，$B$点纵坐标为正，说明$B$在$x$轴上方，二次函数图象是连续的抛物线，因此$A$、$B$两点之间的图象必然与$x$轴相交，即方程的一个根在$A$、$B$的横坐标2.26和2.56之间，最后判断选项中哪个数值落在这个区间即可。
【解析】
解：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与$x$轴交点的横坐标。
已知点$A(2.26,-0.32)$，此时$y=-0.32＜0$；点$B(2.56,0.41)$，此时$y=0.41＞0$。
因为二次函数图象是连续的曲线，因此在$2.26＜x＜2.56$的范围内，一定存在一个$x$使得$y=0$，即方程$ax^2+bx+c=0$的一个根的取值范围是$2.26＜x＜2.56$。
对选项逐一判断：
A. $2.67＞2.56$，不在该区间，排除；
B. $x=2.56$时$y=0.41≠0$，不是方程的根，排除；
C. $2.26＜2.39＜2.56$，在根的取值区间内，符合要求；
D. $x=2.26$时$y=-0.32≠0$，不是方程的根，排除。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.估算一元二次方程的根
【点评】
本题考查二次函数和一元二次方程的对应关系，解题关键是通过两点的函数值符号确定方程根的范围，再结合选项筛选答案，是对基础概念应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
3. (★)二次函数$y=ax^2+bx+c(a＞0)$的自变量与函数的部分对应值如下表,则关于x的方程$ax^2+bx+c=0$的一个根的取值范围为
【 】
A.$2.01＜x＜2.02$
B.$2.02＜x＜2.03$
C.$2.03＜x＜2.04$
D.$x＞2.04$
【 】
A.$2.01＜x＜2.02$
B.$2.02＜x＜2.03$
C.$2.03＜x＜2.04$
D.$x＞2.04$
答案
B
解析
【分析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中函数值$y=0$时的自变量$x$的值。由于二次函数的图象是连续的抛物线，当两个相邻的自变量取值对应的函数值一正一负时，这两个自变量之间必然存在一个值使得$y=0$，也就是方程的一个根落在这个区间内。解题时只需找到表格中$y$值由负变正对应的$x$区间即可。
【解析】
方程$ax^2+bx+c=0$的根对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时$x$的取值：
观察表格数据可得：
当$x=2.02$时，$y=-0.01＜0$；
当$x=2.03$时，$y=0.02＞0$；
因为二次函数图象是连续的，所以在$2.02＜x＜2.03$的区间内，必然存在一个$x$使得$y=0$，即方程$ax^2+bx+c=0$的一个根的取值范围是$2.02＜x＜2.03$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，函数值符号应用
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解二次函数与对应一元二次方程的联系，只要掌握“连续函数在函数值正负交替的区间内存在y=0的点”的规律，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中函数值$y=0$时的自变量$x$的值。由于二次函数的图象是连续的抛物线，当两个相邻的自变量取值对应的函数值一正一负时，这两个自变量之间必然存在一个值使得$y=0$，也就是方程的一个根落在这个区间内。解题时只需找到表格中$y$值由负变正对应的$x$区间即可。
【解析】
方程$ax^2+bx+c=0$的根对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时$x$的取值：
观察表格数据可得：
当$x=2.02$时，$y=-0.01＜0$；
当$x=2.03$时，$y=0.02＞0$；
因为二次函数图象是连续的，所以在$2.02＜x＜2.03$的区间内，必然存在一个$x$使得$y=0$，即方程$ax^2+bx+c=0$的一个根的取值范围是$2.02＜x＜2.03$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，函数值符号应用
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解二次函数与对应一元二次方程的联系，只要掌握“连续函数在函数值正负交替的区间内存在y=0的点”的规律，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
