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1. 如图，△ABC的内切圆⊙O与各边分别相切于点D，E，F，则点O是△DEF的(
A.重心
B.内心
C.外心
D.以上选项都不正确
C
)。A.重心
B.内心
C.外心
D.以上选项都不正确
答案
1. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确两个核心概念：①三角形内切圆的性质：内切圆的圆心到各切点的距离都等于圆的半径；②三角形外心、内心的区别：外心是三角形外接圆的圆心，特征是到三角形三个顶点的距离相等；内心是三角形内切圆的圆心，特征是到三角形三边的距离相等。接下来结合已知条件推导：已知⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，那么OD、OE、OF都是⊙O的半径，因此OD=OE=OF，即点O到△DEF的三个顶点距离相等，符合外心的定义，即可得出结论。
【解析】
解：
∵⊙O是△ABC的内切圆，且与AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，
∴OD、OE、OF都是⊙O的半径，
∴OD=OE=OF，
即点O到△DEF的三个顶点D、E、F的距离相等。
根据三角形外心的定义：三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等，
可知点O是△DEF的外心。
【答案】
C
【知识点】
三角形内切圆的性质，三角形外心的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是区分三角形内心和外心的定义，不要将“到顶点距离相等”和“到边距离相等”的特征混淆，结合内切圆半径相等的性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确两个核心概念：①三角形内切圆的性质：内切圆的圆心到各切点的距离都等于圆的半径；②三角形外心、内心的区别：外心是三角形外接圆的圆心，特征是到三角形三个顶点的距离相等；内心是三角形内切圆的圆心，特征是到三角形三边的距离相等。接下来结合已知条件推导：已知⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，那么OD、OE、OF都是⊙O的半径，因此OD=OE=OF，即点O到△DEF的三个顶点距离相等，符合外心的定义，即可得出结论。
【解析】
解：
∵⊙O是△ABC的内切圆，且与AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，
∴OD、OE、OF都是⊙O的半径，
∴OD=OE=OF，
即点O到△DEF的三个顶点D、E、F的距离相等。
根据三角形外心的定义：三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等，
可知点O是△DEF的外心。
【答案】
C
【知识点】
三角形内切圆的性质，三角形外心的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是区分三角形内心和外心的定义，不要将“到顶点距离相等”和“到边距离相等”的特征混淆，结合内切圆半径相等的性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
2. 已知$△ ABC$的三边长分别为6 cm，8 cm，10 cm，则这个三角形的外接圆的面积为
$25π$
$\mathrm{cm}^2$，内切圆的面积为$4π$
$\mathrm{cm}^2$.（结果用含$π$的代数式表示）答案
2. $25π$ $4π$
解析
【分析】
解题第一步先根据三角形三边长度判断三角形形状：观察三边长6cm、8cm、10cm，可先验证是否满足勾股定理逆定理，判断是否为直角三角形。若为直角三角形，可利用直角三角形外接圆、内切圆的特殊性质计算半径：①直角三角形外接圆的直径等于斜边长，因此外接圆半径为斜边的一半；②内切圆半径可通过面积法（三角形面积=1/2×周长×内切圆半径）或直角三角形内切圆半径公式$r=(a+b-c)/2$（a、b为直角边，c为斜边）计算，最后根据圆的面积公式分别求外接圆、内切圆的面积即可。
【解析】
1. 判断三角形形状：
∵ $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$，满足勾股定理逆定理
∴ △ABC是直角三角形，斜边长为10cm。
2. 计算外接圆面积：
直角三角形的外接圆直径等于斜边长，因此外接圆半径$ R = \frac{10}{2} = 5\mathrm{cm} $
外接圆面积$ S_{\mathrm{外}} = π R^2 = π × 5^2 = 25π \mathrm{cm}^2 $
3. 计算内切圆面积：
用面积法求解：
△ABC的面积$ S = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24\mathrm{cm}^2 $
设内切圆半径为r，三角形面积也可表示为$ S = \frac{1}{2} × (a+b+c) × r $（a、b、c为三边长）
三角形周长为$6+8+10=24\mathrm{cm}$，代入得：
$ 24 = \frac{1}{2} × 24 × r $，解得$ r=2\mathrm{cm} $
因此内切圆面积$ S_{\mathrm{内}} = π r^2 = π × 2^2 = 4π \mathrm{cm}^2 $
【答案】
$25π$；$4π$
【知识点】
勾股定理逆定理；三角形外接圆性质；三角形内切圆性质
【点评】
本题核心是先通过三边特征判断三角形为直角三角形，再利用直角三角形外接圆、内切圆的特殊性质计算半径，属于基础题型，熟练掌握特殊三角形与圆相关的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题第一步先根据三角形三边长度判断三角形形状：观察三边长6cm、8cm、10cm，可先验证是否满足勾股定理逆定理，判断是否为直角三角形。若为直角三角形，可利用直角三角形外接圆、内切圆的特殊性质计算半径：①直角三角形外接圆的直径等于斜边长，因此外接圆半径为斜边的一半；②内切圆半径可通过面积法（三角形面积=1/2×周长×内切圆半径）或直角三角形内切圆半径公式$r=(a+b-c)/2$（a、b为直角边，c为斜边）计算，最后根据圆的面积公式分别求外接圆、内切圆的面积即可。
【解析】
1. 判断三角形形状：
∵ $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$，满足勾股定理逆定理
∴ △ABC是直角三角形，斜边长为10cm。
2. 计算外接圆面积：
直角三角形的外接圆直径等于斜边长，因此外接圆半径$ R = \frac{10}{2} = 5\mathrm{cm} $
外接圆面积$ S_{\mathrm{外}} = π R^2 = π × 5^2 = 25π \mathrm{cm}^2 $
3. 计算内切圆面积：
用面积法求解：
△ABC的面积$ S = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24\mathrm{cm}^2 $
设内切圆半径为r，三角形面积也可表示为$ S = \frac{1}{2} × (a+b+c) × r $（a、b、c为三边长）
三角形周长为$6+8+10=24\mathrm{cm}$，代入得：
$ 24 = \frac{1}{2} × 24 × r $，解得$ r=2\mathrm{cm} $
因此内切圆面积$ S_{\mathrm{内}} = π r^2 = π × 2^2 = 4π \mathrm{cm}^2 $
【答案】
$25π$；$4π$
【知识点】
勾股定理逆定理；三角形外接圆性质；三角形内切圆性质
【点评】
本题核心是先通过三边特征判断三角形为直角三角形，再利用直角三角形外接圆、内切圆的特殊性质计算半径，属于基础题型，熟练掌握特殊三角形与圆相关的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. (1)若O为$△ ABC$的外心，且$∠ BOC=60°$，则$∠ BAC=$
(2)若I为$△ ABC$的内心，且$∠ BIC=115°$，则$∠ BAC=$
$30°$或$150°$
；(2)若I为$△ ABC$的内心，且$∠ BIC=115°$，则$∠ BAC=$
$50°$
。答案
3. $30°$或$150°$ $50°$
解析
【分析】
(1) 遇到外心相关的角度计算，首先回忆外心是三角形外接圆的圆心，∠BOC是弧BC对应的圆心角，∠BAC是弧BC对应的圆周角，结合圆周角定理，需分点A在优弧BC、劣弧BC两种情况讨论，避免漏解；
(2) 遇到内心相关的角度计算，首先回忆内心是三角形三条角平分线的交点，可得∠IBC、∠ICB分别是∠ABC、∠ACB的一半，再结合三角形内角和定理逐步推导∠BAC的度数。
【解析】
(1)
∵ O是△ABC的外心，
∴ O是△ABC外接圆的圆心，∠BOC是弧BC所对的圆心角。
① 当点A在优弧BC上时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，得∠BAC = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$×60° = 30°；
② 当点A在劣弧BC上时，弧BC所对的优弧的圆心角为360°-60°=300°，此时∠BAC = $\frac{1}{2}$×300° = 150°；
故∠BAC为30°或150°。
(2)
∵ I是△ABC的内心，
∴ IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，即∠IBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠ICB = $\frac{1}{2}$∠ACB。
在△BIC中，由三角形内角和为180°得：∠IBC + ∠ICB = 180° - ∠BIC = 180° - 115° = 65°，
∴ ∠ABC + ∠ACB = 2(∠IBC + ∠ICB) = 2×65° = 130°，
在△ABC中，∠BAC = 180° - (∠ABC + ∠ACB) = 180° - 130° = 50°。
【答案】
30°或150°；50°
【知识点】
圆周角定理；三角形外心的性质；三角形内心的性质
【点评】
本题是三角形特殊心的基础考查题，易错点为第一问忽略三角形形状的分类讨论导致漏解，解题时要牢记外心对应的圆周角需根据顶点所在弧的位置分情况计算，内心的角度计算要熟练结合角平分线性质和内角和定理推导。
【难度系数】
0.7
(1) 遇到外心相关的角度计算，首先回忆外心是三角形外接圆的圆心，∠BOC是弧BC对应的圆心角，∠BAC是弧BC对应的圆周角，结合圆周角定理，需分点A在优弧BC、劣弧BC两种情况讨论，避免漏解；
(2) 遇到内心相关的角度计算，首先回忆内心是三角形三条角平分线的交点，可得∠IBC、∠ICB分别是∠ABC、∠ACB的一半，再结合三角形内角和定理逐步推导∠BAC的度数。
【解析】
(1)
∵ O是△ABC的外心，
∴ O是△ABC外接圆的圆心，∠BOC是弧BC所对的圆心角。
① 当点A在优弧BC上时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，得∠BAC = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$×60° = 30°；
② 当点A在劣弧BC上时，弧BC所对的优弧的圆心角为360°-60°=300°，此时∠BAC = $\frac{1}{2}$×300° = 150°；
故∠BAC为30°或150°。
(2)
∵ I是△ABC的内心，
∴ IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，即∠IBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠ICB = $\frac{1}{2}$∠ACB。
在△BIC中，由三角形内角和为180°得：∠IBC + ∠ICB = 180° - ∠BIC = 180° - 115° = 65°，
∴ ∠ABC + ∠ACB = 2(∠IBC + ∠ICB) = 2×65° = 130°，
在△ABC中，∠BAC = 180° - (∠ABC + ∠ACB) = 180° - 130° = 50°。
【答案】
30°或150°；50°
【知识点】
圆周角定理；三角形外心的性质；三角形内心的性质
【点评】
本题是三角形特殊心的基础考查题，易错点为第一问忽略三角形形状的分类讨论导致漏解，解题时要牢记外心对应的圆周角需根据顶点所在弧的位置分情况计算，内心的角度计算要熟练结合角平分线性质和内角和定理推导。
【难度系数】
0.7
4.【问题情境】探讨有关不同情况下扇形与圆的关系问题.
【初步探究】(1)甲小组提出问题：如图1，扇形ABC的圆心角∠BAC＝60°，半径AB为10.若⊙G与扇形ABC的两条半径AB，AC及$\overset{\frown}{BC}$都相切，求⊙G的半径.
【拓展探究】(2)乙小组突发奇想，提出问题：如图2，在正方形ABCD中，⊙O₁与扇形ABD相切，⊙O₁与边BC，CD相切.若扇形ABD的半径为10，请求出⊙O₁的半径.
【初步探究】(1)甲小组提出问题：如图1，扇形ABC的圆心角∠BAC＝60°，半径AB为10.若⊙G与扇形ABC的两条半径AB，AC及$\overset{\frown}{BC}$都相切，求⊙G的半径.
【拓展探究】(2)乙小组突发奇想，提出问题：如图2，在正方形ABCD中，⊙O₁与扇形ABD相切，⊙O₁与边BC，CD相切.若扇形ABD的半径为10，请求出⊙O₁的半径.
答案
(1)$\frac{10}{3}$ (2)$30-20\sqrt{2}$
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，先根据圆与角两边相切的性质，可得圆心G在∠BAC的角平分线上，设⊙G半径为r，构造含30°角的直角三角形求出AG的长度，再结合圆与弧BC相切的性质，得到AG + r = AB，列方程即可求解。
(2) 求解第二问时，先根据⊙O₁与BC、CD相切的性质，可得O₁到BC、CD的距离都等于半径r，结合正方形对角线的性质，得到A到O₁的距离关系，再结合弧BD所在圆与⊙O₁外切的性质，即圆心距等于两半径之和，列方程求解即可。
【解析】
(1) 设⊙G的半径为$r$。
∵ ⊙G与AB、AC都相切，
∴ 点G在∠BAC的角平分线上，即$∠ BAG=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$。
过G作$GE⊥ AB$于点E，则$GE=r$。
在$Rt△ AGE$中，$\sin∠ BAG=\frac{GE}{AG}$，即$\sin30°=\frac{r}{AG}$，解得$AG=2r$。
又
∵ ⊙G与$\overset{\frown}{BC}$相切，
∴ A、G和$\overset{\frown}{BC}$上的切点三点共线，满足$AG+r=AB=10$。
将$AG=2r$代入得：$2r+r=10$，解得$r=\frac{10}{3}$。
(2) 设⊙$O_1$的半径为$r$。
∵ ⊙$O_1$与BC、CD都相切，
∴ 点$O_1$到BC、CD的距离均为$r$，即$O_1$在∠BCD的角平分线上，也就是正方形的对角线AC上。
∵ 扇形ABD的圆心为A，半径为10，⊙$O_1$与$\overset{\frown}{BD}$相切，
∴ A、$O_1$和$\overset{\frown}{BD}$上的切点三点共线，圆心距$AO_1=10+r$（两圆外切，圆心距等于半径和）。
正方形边长为10，故对角线$AC=\sqrt{10^2+10^2}=10\sqrt{2}$，且$AC=AO_1+O_1C$，其中$O_1C=\sqrt{r^2+r^2}=\sqrt{2}r$。
代入得：$10\sqrt{2}=10+r+\sqrt{2}r$
整理得：$r(1+\sqrt{2})=10(\sqrt{2}-1)$
分母有理化得：$r=\frac{10(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}+1}=\frac{10(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=10(3-2\sqrt{2})=30-20\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\dfrac{10}{3}}$；(2) $\boldsymbol{30-20\sqrt{2}}$
【知识点】
切线的性质；圆与圆的位置关系；解直角三角形
【点评】
本题考查切线和圆与圆相切的相关性质，解题的关键是根据切线性质确定圆心的位置，结合几何特征建立关于半径的方程，计算时注意二次根式有理化的正确处理。
【难度系数】
0.6
(1) 求解第一问时，先根据圆与角两边相切的性质，可得圆心G在∠BAC的角平分线上，设⊙G半径为r，构造含30°角的直角三角形求出AG的长度，再结合圆与弧BC相切的性质，得到AG + r = AB，列方程即可求解。
(2) 求解第二问时，先根据⊙O₁与BC、CD相切的性质，可得O₁到BC、CD的距离都等于半径r，结合正方形对角线的性质，得到A到O₁的距离关系，再结合弧BD所在圆与⊙O₁外切的性质，即圆心距等于两半径之和，列方程求解即可。
【解析】
(1) 设⊙G的半径为$r$。
∵ ⊙G与AB、AC都相切，
∴ 点G在∠BAC的角平分线上，即$∠ BAG=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$。
过G作$GE⊥ AB$于点E，则$GE=r$。
在$Rt△ AGE$中，$\sin∠ BAG=\frac{GE}{AG}$，即$\sin30°=\frac{r}{AG}$，解得$AG=2r$。
又
∵ ⊙G与$\overset{\frown}{BC}$相切，
∴ A、G和$\overset{\frown}{BC}$上的切点三点共线，满足$AG+r=AB=10$。
将$AG=2r$代入得：$2r+r=10$，解得$r=\frac{10}{3}$。
(2) 设⊙$O_1$的半径为$r$。
∵ ⊙$O_1$与BC、CD都相切，
∴ 点$O_1$到BC、CD的距离均为$r$，即$O_1$在∠BCD的角平分线上，也就是正方形的对角线AC上。
∵ 扇形ABD的圆心为A，半径为10，⊙$O_1$与$\overset{\frown}{BD}$相切，
∴ A、$O_1$和$\overset{\frown}{BD}$上的切点三点共线，圆心距$AO_1=10+r$（两圆外切，圆心距等于半径和）。
正方形边长为10，故对角线$AC=\sqrt{10^2+10^2}=10\sqrt{2}$，且$AC=AO_1+O_1C$，其中$O_1C=\sqrt{r^2+r^2}=\sqrt{2}r$。
代入得：$10\sqrt{2}=10+r+\sqrt{2}r$
整理得：$r(1+\sqrt{2})=10(\sqrt{2}-1)$
分母有理化得：$r=\frac{10(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}+1}=\frac{10(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=10(3-2\sqrt{2})=30-20\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\dfrac{10}{3}}$；(2) $\boldsymbol{30-20\sqrt{2}}$
【知识点】
切线的性质；圆与圆的位置关系；解直角三角形
【点评】
本题考查切线和圆与圆相切的相关性质，解题的关键是根据切线性质确定圆心的位置，结合几何特征建立关于半径的方程，计算时注意二次根式有理化的正确处理。
【难度系数】
0.6
1. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AB=CD，⊙O与四边形ABCD各边都相切，连接BD. 若⊙O的半径为2，CD=5，则BD的值是
$\sqrt{41}$
.答案
1. $\sqrt{41}$
解析
【分析】
首先，由AD//BC且AB=CD可判定四边形ABCD是等腰梯形；其次，⊙O与四边形各边都相切，说明它是圆外切四边形，根据圆外切四边形对边和相等的性质，可推出AD+BC=AB+CD=10；然后，内切圆半径为2，平行线AD与BC的距离等于内切圆直径，即梯形的高为4；接下来过D作DE⊥BC于E，先在Rt△CDE中用勾股定理算出CE=3，再结合等腰梯形上下底的关系求出BE的长度；最后在Rt△BDE中用勾股定理即可求出BD的长度。
【解析】
解：
∵AD//BC，AB=CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形。
∵⊙O与四边形ABCD各边都相切，
∴四边形ABCD是圆外切四边形，根据圆外切四边形的性质可得：$AB+CD=AD+BC$。
已知$AB=CD=5$，代入得$AD+BC=5+5=10$。
∵⊙O的半径为2，且AD//BC，
∴梯形ABCD的高等于内切圆的直径，即过D作$DE⊥BC$于E时，$DE=2×2=4$。
在$Rt△CDE$中，$CD=5$，$DE=4$，由勾股定理得：$CE=\sqrt{CD^2-DE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴$BC-AD=2CE=6$，结合$AD+BC=10$，可解得$BC=8$，$AD=2$。
∴$BE=BC-CE=8-3=5$。
在$Rt△BDE$中，由勾股定理得：$BD=\sqrt{BE^2+DE^2}=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}$。
【答案】
$\sqrt{41}$
【知识点】
圆外切四边形的性质，等腰梯形的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了圆的切线相关性质、等腰梯形的特征以及勾股定理的应用，解题的核心是熟练运用圆外切四边形对边和相等的性质，结合等腰梯形的特点构造直角三角形完成计算。
【难度系数】
0.6
首先，由AD//BC且AB=CD可判定四边形ABCD是等腰梯形；其次，⊙O与四边形各边都相切，说明它是圆外切四边形，根据圆外切四边形对边和相等的性质，可推出AD+BC=AB+CD=10；然后，内切圆半径为2，平行线AD与BC的距离等于内切圆直径，即梯形的高为4；接下来过D作DE⊥BC于E，先在Rt△CDE中用勾股定理算出CE=3，再结合等腰梯形上下底的关系求出BE的长度；最后在Rt△BDE中用勾股定理即可求出BD的长度。
【解析】
解：
∵AD//BC，AB=CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形。
∵⊙O与四边形ABCD各边都相切，
∴四边形ABCD是圆外切四边形，根据圆外切四边形的性质可得：$AB+CD=AD+BC$。
已知$AB=CD=5$，代入得$AD+BC=5+5=10$。
∵⊙O的半径为2，且AD//BC，
∴梯形ABCD的高等于内切圆的直径，即过D作$DE⊥BC$于E时，$DE=2×2=4$。
在$Rt△CDE$中，$CD=5$，$DE=4$，由勾股定理得：$CE=\sqrt{CD^2-DE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴$BC-AD=2CE=6$，结合$AD+BC=10$，可解得$BC=8$，$AD=2$。
∴$BE=BC-CE=8-3=5$。
在$Rt△BDE$中，由勾股定理得：$BD=\sqrt{BE^2+DE^2}=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}$。
【答案】
$\sqrt{41}$
【知识点】
圆外切四边形的性质，等腰梯形的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了圆的切线相关性质、等腰梯形的特征以及勾股定理的应用，解题的核心是熟练运用圆外切四边形对边和相等的性质，结合等腰梯形的特点构造直角三角形完成计算。
【难度系数】
0.6
